Estudamos o artigo de Bjorn Poonen, Hilbert‘s tenth problem and Mazur‘s conjecture for large subrings of Q, e investigamos computacionalmente os diversos conjuntos caracterizados no artigo.
Começamos por introduzir a teoria referente às variedades algébricas e às curvas elípticas , conceitos necessários ao entendimento do artigo em estudo.
No artigo de Poonen é demonstrada a inexistência dum algoritmo para decidir se equações polinomiais com coeficientes em certos subanéis de Q têm ou não solução nesses subanéis ou seja o 10º problema de Hilbert para esses anéis tem uma solução negativa.
A ideia da prova é a partir duma curva elíptica construir um modelo diofantino do anel Z. Com esse fim, partindo duma curva elíptica estuda-se alguns conjuntos infinitos de números primos que são recursivos.
Na parte prática definimos alguns algoritmos e calculamos alguns elementos destes conjuntos.