Dit vak is onderdeel van het algebracurriculum en volgt op Inleiding Groepen en Ringen (WISB124), dat verondersteld wordt als voorkennis. In het eerste deel van dit vak bestuderen we lichamen en lichaamsuitbreidingen. Een lichaam is een commutatieve ring waarin je door elk element ongelijk 0 kunt delen. Voorbeelden zijn de rationale, reële en complexe getallen, maar ook de gehele getallen modulo een priemgetal p. Het tweede deel van het college gaat over Galoistheorie: hier passen we begrippen uit de groepentheorie toe om de symmetrieën van lichamen en polynomen te bestuderen.
De begrippen die je in dit vak leert spelen een cruciale rol binnen de algebra. We zullen in het college toepassingen zien op algebraïsche, getaltheoretische en meetkundige problemen. Belangrijke voorbeelden zijn de (on)mogelijkheden van constructies met passer en liniaal en het bewijs van de onoplosbaarheid van een algemene vijfdegraadsvergelijking.
Hoorcollege: dinsdag 9:00-10:45 in Ruppert A, donderdag 13:15-15:00 in Educatorium Theatron. Het eerste college is op 14 september. Update: op donderdagen zijn de zalen aangepast! Zie hieronder voor de nieuwe locaties.
Werkcollege: dinsdag 11:00-12:45, donderdag 15:15-17:00.
Er zijn drie werkcollegegroepen. De zalen wisselen nogal eens, kijk goed op het rooster!
Toetsing: Je eindcijfer wordt bepaald op basis van het tentamen (80%) en 4 inleveropgaven (20%, als het tentamencijfer tenminste 5 is). Het tentamen vindt plaats op 9 november, 11:30, in BBG109 en Olympos Hal 1 (let goed op waar je zit!). Bij het hertentamen vervallen de inleveropgaven, dus het hertentamen telt 100%. Het hertentamen is op 21 december, 17:00, in Ruppert 002.
Materiaal: We gebruiken het boek Abstract Algebra van Dummit & Foote, net als in de algebravakken Inleiding Groepen en Ringen (WISB124) en Groepen, Modulen en Voorstellingen (WISB223).
Hieronder volgt in detail het behandelde materiaal per college. Nummers verwijzen naar secties en opgaven in Dummit & Foote.
14 sept: Inleiding, quotiëntenlichamen (7.5), lichaamsuitbreidingen (13.1).
Opgaven: 13.1:1-8.
16 sept: Algebraïsche uitbreidingen (13.2).
Opgaven: 13.2:1-10.
21 sept: Constructies met passer en liniaal (13.3).
Opgaven: 13.3:1-5 en 13.2:11-15.
23 sept: Splijtlichamen en algebraïsche afsluitingen (13.4).
Opgaven: 13.4: 1-6 en 13.2:16-19.
Inleveropgaven: 13.2.20 en 13.2.21, inleveren bij het werkcollege van 30 september. Voor 13.2.20: het karakteristieke polynoom van een matrix wordt gedefinieerd op p. 473 (Sectie 12.2). De stelling van Cayley-Hamilton (zie p. 478 van het boek) stelt dat invullen van een matrix A in zijn karakteristieke polynoom 0 geeft; je mag deze stelling gebruiken.
28 sept: Separabiliteit (13.5).
Opgaven: 13.5:1-11.
30 sept (Ruppert A): Cyclotomische polynomen en uitbreidingen (13.6).
Opgaven: 13.6:1-10.
5 okt: Klassevergelijking en de Sylowstelling, simpele groepen: I (4.3 en 4.5).
Opgaven: 4.3: 2, 3, 5-8, 13.
7 okt (Theatron): Klassevergelijking en de Sylowstelling, simpele groepen: II (4.3 en 4.5).
Opgaven: 4.5:1-8.
Inleveropgave: 4.5.16, inleveren bij het werkcollege van 14 oktober. (Hint: neem aan dat geen van de p-, q-, of r-Sylowgroepen normaal is. Laat zien dat er dan tenminste pq r-Sylowgroepen, r q-Sylowgroepen en q p-Sylowgroepen bestaan. Leidt een tegenspraak af.)
12 okt: Ondergroepen, oplosbare groepen (2.5 en 3.4).
Opgaven: 2.5:3-6 en 3.4:1-5,11,12.
14 okt (Theatron): Galoistheorie: I (14.1).
Opgaven: 14.1:1-10.
19 okt: Galoistheorie: II (14.2).
Opgaven: 14.2:1-9.
21 okt (Ruppert A): Eindige lichamen (14.3) + restant Sectie 14.2.
Opgaven: 14.3:1-4, 14.2:13,14.
Inleveropgaven: 14.2.11 en 14.2.12, inleveren bij het werkcollege van 28 oktober.
26 okt: Enkelvoudige uitbreidingen (14.4).
Opgaven: 14.2:15, 14.3:6-9.
28 okt (Ruppert A): Cyclotomische en abelse uitbreidingen (14.5).
Opgaven: 14.2:16-22, 14.3:11.
2 nov: Galoisgroepen van polynomen (14.6).
Opgaven: 14.4:1-2, 14:5:2-7, dan 1.
Inleveropgaven: 14.2.23 en 14.2.24, inleveren bij het tentamen. (Opmerking: de norm N_{K/F}(x) is gedefinieerd als het product van alle g(x) met g de elementen van Gal(K/F), zie opgave 14.2.17.)
4 nov (BOL 1.065): Oplosbare uitbreidingen, polynomen oplossen in radicalen (14.7).
Opgaven: 14.6:1-5,11.