Dit vak is een introductie in de complexe analyse, dat wil zeggen de studie van differentieerbare functies van een complexe variabele, en de Fourieranalyse, waarbij we periodieke functies beschrijven door middel van lineaire combinaties van de standaard goniometrische functies. Dit zijn klassieke en hele mooie onderwerpen binnen de wiskunde, die overal (en op verrassende manieren!) opduiken.
Hoorcollege: maandag 15:15-17:00 in Ruppert Paars, dinsdag 13:15-15:00 in Ruppert 040. Let op: het eerste college van 12 november is niet "live", maar zal bestaan uit verschillende video's op Blackboard. Het eerste echte hoorcollege vindt plaats op maandag 18 november.
Werkcollege: maandag 17:15-19:00, dinsdag 15:15-17:00. De assistenten zijn Jesse Straat, Ashkan Sadat Kyaee, Max Blans, Miguel Barata en Yann Guggisberg. Er zijn vier werkcollegegroepen. De zalen wisselen nogal eens, kijk goed op het rooster!
Toetsing: Je eindcijfer wordt bepaald op basis van het tentamen (80%) en 4 inleveropgaven (20%, als het tentamencijfer tenminste 5 is). Het tentamen vindt plaats op maandag 27 januari, 13:30-16:30, op de 7de etage van het Beatrixtheater. Bij het hertentamen vervallen de inleveropgaven, dus het hertentamen telt 100%.
Materiaal: We gebruiken het Dictaat Functies en Reeksen van Erik van den Ban. Zie Blackboard voor het pdf-bestand.
Hieronder volgen in detail het behandelde materiaal per college en de opgaven voor het werkcollege.
12 nov: Inleiding. Uniforme convergentie: definitie, integraal van een uniform convergente rij, continuïteit van een uniforme limiet. (Dit is sectie 1.1 van het dictaat t/m Stelling 1.15.) Let op: Het eerste hoorcollege is niet live, maar bestaat uit drie video's op Blackboard.
Opgaven: 1.1, 1.2, 1.5(a).
18 nov: Reeksen van complexe getallen en van functies. Absolute convergentie van een reeks getallen, absoluut uniforme convergentie van een reeks functies. (Secties 1.2 en 1.3 uit het dictaat.)
Opgaven: 1.6, 1.8. Mits genoeg tijd: 1.5(b), 1.11.
19 nov: Machtreeksen. De convergentiestraal van een machtreeks. (Sectie 2.1.)
Opgaven: 2.1, 2.2, 2.3.
25 nov: Meer over de convergentiestraal (einde Sectie 2.1). Complex differentieerbare functies, de Cauchy-Riemann vergelijkingen (Sectie 2.2).
Opgaven: 2.5, 2.7, 2.8. (Mocht je tijd over hebben, doe dan ook 2.6.)
Eerste inleveropgave: 2.4. Lever deze uiterlijk vrijdag 6 december, 23.59u in via Blackboard.
26 nov: De inverse functiestelling (Sectie 2.3). Differentieerbaarheid van machtreeksen (Sectie 2.4). De complexe e-macht (begin van Sectie 2.5).
Opgaven: 2.11, 2.15, 2.12. (Als je genoeg tijd hebt, doe dan ook 2.14.)
2 dec: Complexe e-machten, formule van Euler, de logaritme (Sectie 2.5). Analytische voortzetting (Sectie 2.6).
Opgaven: 2.16, 2.19, 2.21. (Als je genoeg tijd hebt, doe dan 2.20 en 2.25.)
3 dec: Complexe lijnintegralen. (Secties 3.1 en 3.2 t/m Opmerking 3.26.)
Opgaven: 3.1 t/m 3.4. (Doe als je tijd hebt ook 3.5.)
9 dec: De stelling van Cauchy (Stelling 3.27). De formule van Cauchy (3.34), hoofdstelling van de algebra (3.37). (Eind Sectie 3.2, begin Sectie 3.3.)
Opgaven: 3.8, 3.9(a), 3.10(b), 3.11.
10 dec: Iedere holomorfe functie is analytisch (Stelling 3.39/Gevolg 3.40), de stelling van Liouville (3.44). (Rest van Sectie 3.3.)
Opgaven: 3.21(a-e), 3.22, 3.23.
17 dec: Laurentreeksen en de residuenstelling (Sectie 3.4 t/m Stelling 3.50, Definitie 3.56, Stelling 3.63). Een integraal met behulp van de residuenstelling (voorbeeld 3.70).
Opgaven: 3.21(f), 3.24, 3.28, 3.33.
18 dec: Singulariteiten en polen (Definitie 3.52 en voorbeelden daarna), bewijs van de residuenstelling (Sectie 3.5), meer voorbeelden van integralen (Sectie 3.7).
Opgaven: 3.30, 3.34, 3.29, 3.32.
Tweede inleveropgave: 3.13 (de stelling van Goursat). (Je mag resultaten uit eerdere opgaven gebruiken, in het bijzonder die uit 3.11 en 3.12.) Lever deze uiterlijk maandag 23 december, 23.59u in via Blackboard.
Derde inleveropgave: zie Blackboard. Lever deze uiterlijk vrijdag 17 januari, 23.59u in.
6 jan: Periodieke functies, Fourierreeksen, de Fouriertransformatie. (Secties 4.1 en 4.2.)
Opgaven: 4.1-4.3, 4.5(a-c). (Als je genoeg tijd hebt, doe dan ook 4.4.)
7 jan: De Abel-Poisson benadering. (Sectie 4.3.)
Opgaven: 4.5(d-f), 4.8, 4.6.
Vierde inleveropgave: 4.12(a). Lever deze uiterlijk voor het tentamen, dus maandag 27 januari, 13.30u in.
13 jan: Fourierreeksen van differentieerbare functies en van functies met sprongen. (Secties 4.4 en 4.5.)
Opgaven: 4.17(ii),(iii) (hint: je hebt (ii) niet nodig om (iii) te bewijzen), 4.19, 4.9.
14 jan: De identiteit van Parseval. (Secties 5.1 en 5.2.)
Opgaven: 5.1, 5.4 (met verwijzingen naar voorbeelden vervangen door 4.21 en 4.48), 5.3.
21 jan: Q&A voor tentamen, 15.15-17u, Ruppert Paars.
22 jan: Q&A voor tentamen, 15.15-17u. Groepen 1 & 4 in BBG007, groepen 2 & 3 in BBG071.