En 1974 se formaliza la teoría de las dependencias y Armstrong enumera los axiomas que permiten obtener todas las dependencias funcionales que existen en un esquema relacional a partir de un subconjunto de dependencias conocidas.
Axiomas de Armstrong: sean X, Y, Z, W descriptores (subconjuntos de atributos) de una relación R:
1.- Reflexividad:
Si Y es un subconjunto de X, entonces X à Y.
2.- Aumentatividad:
Si X àY y Z es un subconjunto de W, entonces XW à YZ. (XW es la unión de X con W, igual que YZ)
3.- Transitividad:
Si X à Y e Y à Z, entonces X à Z.
De estos tres axiomas se derivan otros como los siguientes:
4.- Proyectividad:
Si X àY, entonces X à Y’, si Y’ es un subconjunto de Y.
5.- Aditividad:
Si X àY y X à Z, entonces X à YZ.
6.- Pseudotransitividad:
Si X à Y e YWà Z, entonces XW àZ.
EJEMPLO: Si tenemos la siguiente relación, PRESTAMOS( num_socio, nom_socio, DNI, dirección, cod_libro, titulo, editorial, año, fecha_prestamo)
1.- Reflexividad:
Si Y Í X, entonces X à Y esta dependencia es la trivial y no tienen interés
Cod_libro, título à cod_libro ya que cod_libro Ì cod_libro, título
2.- Aumentatividad:
Si X àY y Z Í W, entonces XW à YZ
cod_libro à título, y editorial Ì editorial, año;
por tanto cod_libro, editorial, año àtítulo, editorial
3.-Transitividad:
Si X à Y e Y à Z, entonces X à Z
Num_socio à DNI y DNI à dirección, por tanto num_socio à dirección
4.- Proyectividad:
Si X à Y, entonces X à Y´ si Y´ Í Y
cod_libro àtítulo, editorial entonces Cod_libro àeditorial, ya que editorial Ì título, editorial
5.- Unión o aditividad:
Si X àY y X à Z, entonces X à YZ
cod_libro à editorial y cod_libro à título entonces cod_libro à editorial, título
6.- Pseudotransitividad:
Si X àY e YW à Z, entonces XW à Z
DNI ànum_socio y cod_libro, num_socio àfecha_prestamo entonces
Cod_libro, DNI àfecha_prestamo