資料分析6：迴歸分析的三個基本概念
迴歸分析的三個基本概念
1. 簡介
迴歸分析是行為醫學與臨床醫學最常使用的工具，但也可能是最常被誤用(或過度解釋)的工具。初學同學經常一頭就栽進複雜的數學公式，就算算出正確答案也不知道如何解釋這些數字的意義。這裡用一種「直觀」的方式來解釋三個與迴歸分析有關的重要概念：迴歸係數，迴歸誤差與變異解釋量。我相信弄懂這三件事，絕對能幫助同學在閱讀相關文獻結果，或是自己進行分析時，更能清楚明白這些分析的用意。
2. 迴歸係數
一般同學都很清楚相關係數，這裡首先要說的是相關係數和迴歸係數是不同的東西。除了名字不同，他們的數學意涵，還有最重要的「直觀上的意義」也大不同。簡單地說，變項Y對變項X的迴歸係數反映出迴歸線的斜率有多「陡」，我們可以解釋成X變項改變一單位時，Y變項改變多少單位。相關係數
如果從直觀上來看(圖1)，相關係數高代表兩個dataset共變的趨勢越明顯。而迴歸係數高 – 參考中間的迴歸線，代表「斜率」越高。這個斜率的直觀解釋就是「當X變項增加一點點，Y變項增加多少」。
在臨床醫學中迴歸係數佔有很重要的地位。例如X軸代表藥物劑量，Y軸代表疼痛的改變量 – 很明顯地，迴歸係數越大(正值)，代表「吃一點點藥，疼痛就可以減緩很多」。這裡要釐清兩個觀念：
A. 相關性高，不見得迴歸係數就大：也就是說r值很大，還是很有可能迴歸係數不高，也就是說，在臨床上這個藥物的效果就不是那麼理想。
B. 兩個變項存在兩個迴歸係數，但只有一個相關係數：你可以計算Y對X的迴歸係數(通常表示成by.x)，或是X對Y的相關係數(bx.y)。以by.x來說，直觀地看就是「以X變項去預測Y變項」。當然你也可以用Y去預測X，所以自然也存在bx.y。但而相關係數反映的是兩者共變的關係，就沒有所謂誰預測誰的問題。
C. 斜率=0，代表一個變項不管怎麼改變，另一個變項都「紋風不動」，表示這個變項的對另一個變項的影響力極小。
簡單地說，迴歸係數告訴我們一個變項對另一個變項的影響力。回到XX的公式，你會注意到迴歸係數是有單位的 – 這裡指的是非標準化迴歸係數(通常用英文b表示)，這也就呼應我們說的，他代表的是「X改變一單位，而Y會改變多少單位)。很多時候你們會在統計報表裡看到beta這個東西，這是標準化迴歸係數。Beta的計算方式很簡單：Beta = b * (X變項的標準差 / Y變項的標準差)
你可以看出來，透過呈上兩個變項標準差的商，原本有單位的b，變成Beta以後就沒有單位了。這基本上就是「標準化」的意涵(去除單位)。無論b或Beta，直觀上的意義都是一樣的，在強調一次：「X變項改變一單位，對Y變項造成的影響(改變多少單位)」。
3. 迴歸誤差
誤差的意思大家都知道，就是「觀察與實際值的差異」，對吧? 其實在迴歸分析中，幾乎就是這麼簡單的一件事。但這裡我們要搞清楚的是，迴歸分析考慮的與其說是觀察值，不如說是「根據迴歸公式所預測的預測值」。另外，迴歸分析還會考慮一件事，就是「平均值」 - 後者很多教課書都一筆帶過，其實是非常重要的概念。
我們想像一下最簡單的迴歸公式，其實就是一直線! 比方我要預測期末可成績，就用Y=85這個全班平均值來預測即可。當然，我們想要做更精密的預測，所以引入了X變項(出席時間)，看看加入個別出席時間這個變項以後，得到的預測值會不會比Y=85來得更好。
直觀地簡單想像，我們比較兩種預測模式：
模式A – 不考慮X變項的影響，直接用一個常數來預測Y值(所以對每個一個Xi，預測的結果永遠都是Y。
模式B – 考慮X變項的影響，除了常數以外，再根據每一個X來預測Y (Y=bX+a)。
下表是用嚴格的符號來表示不同數值的定義：
這裡特別要注意的「預測值離均差」這個概念，實際上就是我們對上述「模式A」與「模式B」比較的結果。假使今天這個值非常接近0 – 也就表示用模式A來預測，與根據模式B來預測的效果幾乎沒啥差異 – 也就等於說明，用X變項來預測的用處並不大。
所謂的迴歸誤差，指的就是殘差(Yi-Yi’)的部分。這個數值也可以表示成「原始值離均差- 預測值離均差」，因為
原始值離均差 = 預測值離均差 + 殘差 ； (Yi – Ӯ) = (Yi’-Ӯ) + (Yi – Yi’)
這點透過圖2應該可以明顯看出。
4. 變異解釋量
如果可以理解上面「原始值離均差 = 預測值離均差 + 殘差」這樣的關係，那麼再帶入計算離散程度的平方和(sum of squares，SS)的概念，會得到下列的關係：
SStotal=SSreg+SSresidual
這裡最重要的是區分前面講的迴歸誤差，是針對任一個X與Y的配對(Xi與Yi)而言。而這裡我們用平方和，表示我們考慮的是「對全體X與Y」，我們要估計原始值離均差，預測值離均差與殘差個別的變異程度。
其中SStotal就代表原始值離均差的變異程度。假定現在一共有20筆資料，那麼用白話來說，SStotal就是「這20個Y值(原始值)的離均差所呈現的離散程度」。
回到一開始說的，原始值離均差可以視為是我們以模式A做預測的效果。因此如果SStotal很小，基本上我們也不需要什麼複雜的迴歸模式啦~ 因為只要一個常數就足以猜中幾乎所有的Y值。在圖2中可以看到，事實上SStotal是蠻大的，也就是光靠一個常數(平均值)不足以作良好的預測。所以這裡再加上迴歸公式的預測值，這部分的變異量就是SSreg。如果SSreg越大，表示「在SStotal這樣的變異程度，有很大一部分可以用迴歸公式算出的預測值來解釋。」事實上也就表示SSresidual很小 – 記得residual(殘差)是迴歸公式預測失準的部分。
所以我們可以把SSreg對SStotal所佔的比例，視為一個「迴歸公式對我們的預測到底多有幫助」的指標。這個SSreg/SStotal的值就是我們常在paper上看到的coefficient of determination(決定係數，R2)，用直觀的話來說，就是「有多少比例的變異量，是我們透過迴歸公式，可以用X去預測Y來獲得的」。如果R2非常小，就表示我們的迴歸公式恐怕沒太大用處，因為相對地表示SSresidual很大。