1er PARCIAL

SUCESIONES Y SERIES

En muchos problemas cotidianos se presentan sucesiones, como por ejemplo los días del mes, ya que se trata del conjunto {1, 2, 3, 4, 5, ...., 29, 30}; o bien cuando por alguna razón se tiene solamente al conjunto de los números pares {2, 4, 6, 8, 10, ... } ; o quizás los nones {1, 3, 5, 7, 9, ... } , etc.

De cualquier forma, existe siempre una regla bajo la cual se forma el siguiente elemento de la sucesión a partir del primero. En el caso del conjunto de los pares y también de los nones, la regla es sumar 2 al último número formado. La primera parte del estudio de las sucesiones consistirá en descubrir por simple intuición cuál es dicha regla.

Ejemplo 1: Investigar la regla de formación de la siguiente sucesión:

7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, ...

Solución: Puede verse fácilmente que cada número se forma sumando 3 al que le precede, por lo que esa es la regla.

Ejemplo 2: Investigar la regla de formación de la siguiente sucesión:

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, ...

Solución: En este ejemplo la sucesión está formada por los cuadrados de cada número natural.

ELEMENTO GENERAL DE LA SUCESIÓN

El siguiente paso en el estudio de las sucesiones es encontrar una manera de escribir matemáticamente la regla de formación de una sucesión determinada, una vez que por intuición, como se hizo en el tema anterior, se descubrió ésta. A dicha fórmula se le llama elemento general de la sucesión , ya que a partir de él se pueden formar uno por uno todos los demás elementos.

El elemento general de la sucesión debe ser una función de n , en donde n solamente puede tomar valores enteros positivos, de tal manera que cuando se le dé el valor de n = 1 , al sustituir en la fórmula se obtenga el primer elemento; que cuando n = 2 , al sustituir en la fórmula se obtenga el segundo elemento; que cuando n = 3 , al sustituir en la fórmula se obtenga el tercer elemento; y así sucesivamente.

Deducir la fórmula del elemento general de la siguiente sucesión:

La regla de formación del numerador de esta sucesión son los cuadrados de los números naturales a partir del 3, o sea existe un desplazamiento de + 2 .

Por lo tanto, la fórmula del numerador es (n + 2)2 .

Por su parte, el denominador está formado por los números nones a partir del 5, que equivale a sumar 2. El primer término del denominador es entonces 2n .

Para encontrar el desplazamiento, o sea el segundo término de la fórmula en el denominador, basta sustituir n = 1 en 2n , lo que resulta 2(1) = 2 y comparar con el denominador del primer elemento de

la sucesión dada que es el 5 . La conclusión es que hay que sumar 3 al resultado obtenido.

Por lo tanto, el elemento general del denominador es 2n + 3

De manera que el elemento general de la sucesión dada es

PROBLEMA INVERSO

El problema inverso a lo estudiado en el tema anterior consiste en que dada la fórmula del elemento general de una serie, a partir de ella se escriban los primeros k elementos.

Escribir los primeros cinco elementos de la sucesión:

SERIES

Las sucesiones vistas como sucesiones nada más, no sirven realmente para nada, no aportan nada en la resolución de problemas; si acaso su única utilidad es el ejercicio mental que con ellas se puede realizar, como lo fue en los ejercicios anteriores.

Cuando los elementos de una sucesión se suman se convierten en series y es allí en donde aparece lo verdaderamente utilizable desde el punto de vista matemático. Se podría decir que para no tratar con desprecio a las sucesiones, puede afirmarse que éstas son las madres de las series porque a partir de las sucesiones se forman las series.

SUMATORIAS

Como una serie es una sumatoria de términos, ésta se puede escribir con el símbolo universal de sumatoria en Matemáticas, o sea

que significa que se deben sumar los términos que resulten desde que n = a hasta n = b , donde a y b son los números definidos que limitan desde qué valor hasta qué otro valor deberá efectuarse la suma.

Efectuar la sumatoria

SUMA DE RIEMANN