Differenzialgeometrie I

Dies ist ein Skript zur Vorlesung Differentialgeometrie 1 aus dem Wintersemester 2002/2003 bzw. 2004/2005 von Prof. Helga Baum. Die einzelnen Themen findet man im folgenden Inhaltsverzeichnis. Im Text sind jedoch auch noch viele Fehler versteckt, die es zu finden gilt. Erfolgreiche Sucher können diese in einer Email an an mich schicken. Dafür sei schon mal im Voraus gedankt! Ansonsten viel Spaß beim Lesen!

Inhaltsverzeichnis

• 1 Topologie
  • 1.1 Definitionen und Beispiele
  • 1.2 Topologische Räume mit abzählbarer Basis
  • 1.3 Stetige Abbildungen und Homöomorphismen
  • 1.4 Hausdorff-Räume
  • 1.5 Kompakte und folgenkompakte metrische Räume
  • 1.6 Zusammenhängene und bogenzusammenhängende Mengen in topologischen Räumen
• 2 Differenzierbare Mannigfaltigkeiten
  • 2.1 Definitionen und Beispiele
  • 2.2 Differenzierbare Abbildungen
  • 2.3 Der Tangentialraum und das Differential einer glatten Abbildung
  • 2.4 Vektorfelder und Flüsse
  • 2.5 Immersionen, Einbettungen und Submersionen
  • 2.6 Tensorbündel und Tensorfelder
  • 2.7 Die "Zerlegung der 1" auf einer glatten Mannigfaltigkeit
  • 2.8 Orientierbare Mannigfaltigkeiten
  • 2.9 Integration auf Mannigfaltigkeiten
  • 2.10 Der Satz von Stokes
• 3 Grundbegriffe der semi-Riemannschen Geometrie
  • 3.1 Riemannsche und pseudo-Riemannsche Metriken
  • 3.2 Längen, Winkel und Volumen in semi-Riem. MF
  • 3.3 Isometrien und konforme Abbildungen
  • 3.4 Kovariante Ableitungen und Levi-Civita-Zusammenhang
  • 3.5 Krümmungen einer semi-Riemannschen Mannigfaltigkeit
  • 3.6 Geodätische Linien auf semi-Riemannschen Mannigfaltigkeiten
  • 3.7 Exponentialabbildung und Normalkoordinaten
  • 3.8 Geodäten und Abstände in Riemannschen Mannigfaltigkeiten. Der Satz von Hopf und Rinow
  • 3.9 Jacobifelder, konjugierte Punkte und der Schnittort
• 4 Krümmung und Topologie - Einige Beispiele
  • 4.1 Der Satz vom Gauß - Bonnet
  • 4.2 Lokale Isometrien und semi-Riem. Überlagerungen
  • 4.3 Die Sätze von Hadamard, Bonnet-Myers und Räume konstanter Krümmung