Programma di massima del corso:
Moto Browniano I. Distribuzione Gaussiana multivariata. Processi con incrementi stazionari e indipendenti. Definizione e proprieta' di continuita' del Moto Browniano. Non-differenziabilita' delle traiettorie. Proprieta' di Markov. Proprieta' di Markov forte e principio di riflessione.
Moto Browniano II. Moto browniano in piu' dimensioni. Funzioni armoniche e problema di Dirichlet. Soluzione del problema di Dirichlet tramite moto browniano per domini regolari. Problema di Poisson e sua soluzione per domini regolari. Legge del logaritmo iterato. Skorohod embedding. Principio di invarianza di Donsker. Applicazioni: leggi arcoseno e legge del massimo di passeggiate aleatorie.
Integrazione stocastica. Integrale di Paley-Wiener-Zygmund. Integrale stocastico rispetto al moto browniano. Formula di Ito e applicazioni. Formula di Ito in piu' dimensioni e per differenziale stocastico generale.
Equazioni differenziali stocastiche. Equazioni differenziali stocastiche lineari: esempi di soluzione. Teorema di esistenza e unicita' per equazioni differenziali stocastiche. Formula di Feynman-Kac. Qualche applicazione alla matematica finanziaria.
Esercizi:
Qui trovate degli esercizi che abbiamo svolto o commentato in classe (e simili).
Riferimenti bibliografici:
Brownian Motion (Moerters and Peres):
An introduction to Stochastic Differential Equations (Evans)
Brownian Motion and Stochastic Calculus (Karatzas and Shreve, 1998)
Applicazioni alla matematica finanziaria: An Introduction to Stochastic Calculus with Applications to Finance (Ovidiu Calin)
Modalita' d'esame:
Solamente esame finale (no esoneri), consistera' di scritto + orale.
SCRITTO: solamente definizioni + esercizi (ovviamente per risolverli bisogna conoscere i risultati della teoria)
ORALE: Definizioni + teoremi + dimostrazioni. La prima domanda sara' per tutti di esporre un argomento a scelta. Link all'elenco delle domande per l'esame orale.
Orario 2019-2020:
Mercoledi' 11:00-13:00 Aula M4
Giovedi' 11:00-13:00 Aula 009
Venerdi' 14:00-16:00 Aula M6
Date Esami 2019-2020:
30/01/2020 aula M6, h 11-13
21/02/2020 aula M5, h 11-13
18/06/2020 aula M6, h 11-13
09/09/2020 aula M6, h 11-13