Lez. 01: 22/09/2025: Introduzione, processo di diramazione ed osservazioni, definizioni di algebra, sigma-algebra, spazio misurabile
Lez. 02: 23/09/2025: Sigma-algebra di Borel, spazi di misura, Pi-sistemi, teorema di Caratheodory, introduzione alla misura di Lebesgue
Lez. 03: 26/09/2025: Proprieta' fondamentali della misura, eventi, limsup, liminf, Lemma di Fatou inverso (con dimostrazione), Lemma di Borel-Cantelli 1 (con dimostrazione), Lemma di Fatou, funzioni misurabili
Lez. 04: 29/09/2025: Proprieta' delle funzioni misurabili, variabili aleatorie, legge e distribuzione di una v.a., Teorema di rappresentazione di Skorokhod (con dimostrazione)
Lez. 05: 30/09/2025: Corollario al teorema di rappresentazione di Skorokhod, indipendenza, pi-sistemi e sigma-algebre, Lemma di Borel-Cantelli 2 (con dimostrazione), esempio, sigma-algebra coda
Lez. 06: 06/10/2025: Legge 0-1 di Kolmogorov (con dimostrazione), esercizi
Lez. 07: 07/10/2025: Esercizi
Lez. 08: 10/10/2025: Introduzione all'integrazione, teorema della convergenza monotona, Lemma di Fatou (per funzioni, con dimostrazione) e lemma di Fatou inverso (per funzioni), Teorema della convergenza dominata (con dimostrazione), diseguaglianza di Jensen, diseguaglianze di Hölder e Cauchy-Schwarz, definizione valore atteso di una variabile aleatoria
Lez. 09: 13/10/2025: Definizione convergenza in probabilita', in distribuzione, quasi certa, in L^p, diseguaglianza di Markov (generalizzata), diseguaglianza di Chebyschev, variabili scorrelate, Legge forte dei grandi numeri con momento quarto limitato (con dimostrazione), derivata di Radon-Nikodym
Lez. 10: 14/10/2025: Esercizi
Lez. 11: 17/10/2025: Introduzione alle misure prodotto, teorema di Fubini con controesempio se non sono verificate le ipotesi, leggi congiunte, distribuzione e densita' della somma di variabili indipendenti
Lez. 12: 20/10/2025: Indipendenza, osservazioni sul teorema di Fubini, Sigma-algebra dei Boreliani di R^n coincide con la sigma-algebra prodotto di n fattori della sigma-algebra dei Boreliani di R; Applicazioni diseguaglianza di Chebyshev: teorema di approssimazione di Weierstrass (con dimostrazione), coupon collector problem
Lez. 13: 21/10/2025: Esercizi
Lez. 14: 24/10/2025: Introduzione all'attesa condizionata, teorema/definizione di Kolmogorov e proprieta'
Lez. 15: 27/10/2025: Esercizi
Lez. 16: 28/10/2025: Esercizi
Lez. 17: 31/10/2025: Esercizi
Lez. 18: 03/11/2025: Introduzione alle martingale, primi esempi, definizione processo prevedibile, dimostrazione che la trasformata di supermartingala tramite processo prevedibile e limitato e' supermartingala
Lez. 19: 04/11/2025: Upcrossings, Teorema di convergenza per sub-martingale limitate in L^1 (con dimostrazione), conseguenze
Lez. 20: 07/11/2025: Optional Stopping Theorem di Doob (con dimostrazione), esercizi
Esonero
Lez. 21: 17/11/2025: Correzione dell'esonero
Lez. 22: 18/11/2025: Recap sulle martingale + inizio Problema dell' "abracadabra"
Lez. 23: 21/11/2025: Fine problema dell' "abracadabra" + esercizio
Lez. 24: 24/11/2025: Esercizi
Lez. 25: 25/11/2025: Esercizi
Lez. 26: 28/11/2025: Teorema di decomposizione di Doob per sub-martingale (con dimostrazione), diseguaglianza massimale di Doob, convergenza di martingale quasi certamente e in L^p (con dimostrazione), ortogonalita' incrementi martingale in L^2, definizione di famiglia di variabili Uniformemente Integrabili
Lez. 27: 01/12/2025: Uniforme integrabilita', teorema di convergenza per successioni in L^1, teorema di rappresentazione di una martingala U.I. (con dimostrazione), "Upward" theorem, "Downward" theorem di Levy, legge forte dei grandi numeri di Kolmogorov (con dimostrazione)
Lez. 28: 02/12/2025: Teorema di limitatezza di martingale in L^2, somma di variabili indipendenti in L^2 (con dimostrazione), Esercizi (branching processes)
Lez. 29: 05/12/2025: Esercizi
Lez. 30: 09/12/2025: Funzione caratteristica e sue proprieta', formula di inversione di Levy (enunciato caso generale e caso continuo; dimostrazione del caso discreto), definizione di convergenza debole
Lez. 31: 12/12/2025: Teorema del limite centrale (con dimostrazione), esempi ed esercizi
Lez. 32: 15/12/2025: Esercizi
Lez. 33: 16/12/2025: Esercizi
Esonero