Lez. 01: 27/09/2024: Introduzione, processo di diramazione ed osservazioni, definizioni di algebra, sigma-algebra
Lez. 02: 30/09/2024: Spazi e funzioni misurabili, sigma-algebra di Borel, spazi di misura, Pi-sistemi, teorema di Caratheodory, introduzione alla misura di Lebesgue
Lez. 03: 01/10/2024: Proprieta' fondamentali della misura, eventi, limsup, liminf, Lemma di Fatou inverso (con dimostrazione)
Lez. 04: 04/10/2024: Lemma di Borel-Cantelli 1 (con dimostrazione), Lemma di Fatou, funzioni misurabili, variabili aleatorie, legge e distribuzione di una v.a.
Lez. 05: 07/10/2024: Teorema di rappresentazione di Skorokhod (con dimostrazione), indipendenza, pi-sistemi e sigma-algebre, Lemma di Borel-Cantelli 2 (con dimostrazione)
Lez. 06: 08/10/2024: Esercizio, sigma-algebra coda, Legge 0-1 di Kolmogorov (parte della dimostrazione)
Lez. 07: 11/10/2024: Legge 0-1 di Kolmogorov (fine dimostrazione), esercizi
Lez. 08: 14/10/2024: Esercizi
Lez. 09: 15/10/2024: Esercizi, Introduzione all'integrazione, teorema della convergenza monotona, Lemma di Fatou (per funzioni, con dimostrazione) e lemma di Fatou inverso (per funzioni), diseguaglianza di Jensen
Lez. 10: 17/10/2024: Diseguaglianza di Hölder, definizione di convergenza in probabilita', distribuzione, quasi certa, in L^p, Teorema della convergenza dominata (con dimostrazione), definizione valore atteso, diseguaglianza di Markov, variabili scorrelate, Legge forte dei grandi numeri con momento quarto limitato
Lez. 11: 21/10/2024: Legge forte dei grandi numeri con momento quarto limitato (con dimostrazione), derivata di Radon-Nikodym, esercizi
Lez. 12: 22/10/2024: Esercizi
Lez. 13: 28/10/2024: Introduzione alle misure prodotto, teorema di Fubini con controesempio se non sono verificate le ipotesi, leggi congiunte, esempi con leggi congiunte, distribuzione e densita' della somma di variabili indipendenti; osservazioni sul teorema di Fubini, sigma-algebra dei Boreliani di R^n coincide con la sigma-algebra prodotto di n fattori della sigma-algebra dei Boreliani di R
Lez. 14: 29/10/2024: Applicazioni diseguaglianza di Chebyshev: teorema di approssimazione di Weierstrass (con dimostrazione), coupon collector problem
Lez. 15: 04/11/2024: Introduzione all'attesa condizionata e prime proprieta'
Lez. 16: 05/11/2024: Proprieta' dell'attesa condizionata (con proprieta' torre e dimostrazione), esercizi
Lez. 17: 08/11/2024: Esercizi
Lez. 18: 19/11/2024: Esercizi: correzione dell'esonero
Lez. 19: 22/11/2024: Introduzione alle martingale, primi esempi, definizione processo prevedibile
Lez. 20: 25/11/2024: Dimostrazione che la trasformata di supermartingala tramite processo prevedibile e limitato e' supermartingala, introduzione ai tempi d'arresto con esempi, upcrossings
Lez. 21: 26/11/2024: Teorema di convergenza per sub-martingale limitate in L^1 (con dimostrazione), conseguenze, esercizio
Lez. 22: 29/11/2024: Optional Stopping Theorem di Doob (con dimostrazione), esercizio
Lez. 23 + 24: 02/12/2024: Problema dell' "abracadabra" + Esercizi
Lez. 25: 03/12/2024: Esercizi
Lez. 26: 06/12/2024: Esercizi, teorema di decomposizione di Doob per sub-martingale
Lez. 27: 09/12/2024: Diseguaglianza massimale di Doob, convergenza di martingale quasi certamente e in L^p (con dimostrazione), ortogonalita' incrementi martingale in L^2, definizione di famiglia di variabili Uniformemente Integrabili, uniforme integrabilita', teorema di convergenza per successioni in L^1
Lez. 28: 10/12/2024: "Upward" theorem, "Downward" theorem di Levy, legge forte dei grandi numeri di Kolmogorov (con dimostrazione), teorema di limitatezza di martingale in L^2, somma di variabili indipendenti in L^2; funzione caratteristica e sue proprieta'
Lez. 29: 12/12/2024: Formula di inversione di Levy, convergenza debole, teorema di convergenza di Levy, teorema del limite centrale (con dimostrazione)
Lez. 30: 13/12/2024: Esercizi su branching processes
Lez. 31: 16/12/2024: Esercizi
Lez. 32: 17/12/2024: Esercizi
Lez. 33: 19/12/2024: Esercizi