2023-24

Lez. 01: 18/09/2023: Introduzione, processo di diramazione ed osservazioni, definizioni di algebra, sigma-algebra, spazi e funzioni misurabili, 

Lez. 02: 20/09/2023: Algebra di Borel, spazi di misura, Pi-sistemi, teorema di Caratheodory, introduzione alla misura di Lebesgue, Prime proprieta' fondamentali della misura 

Lez. 03: 22/09/2023: Eventi, limsup, liminf, Lemma di Fatou inverso (con dimostrazione), Lemma di Borel-Cantelli 1 (con dimostrazione), Lemma di Fatou, funzioni misurabili, variabili aleatorie 

Lez. 04: 25/09/2023: Legge e distribuzione di una v.a., Teorema di rappresentazione di Skorokhod (con dimostrazione) 

Lez. 05: 27/09/2023: Indipendenza, pi-sistemi e sigma-algebre, Lemma di Borel-Cantelli 2 (con dimostrazione), esempio, sigma-algebra coda, Legge 0-1 di Kolmogorov (inizio dimostrazione) 

Lez. 06: 29/09/2023: Legge 0-1 di Kolmogorov (con dimostrazione), esercizi

Lez. 07: 02/10/2023: Introduzione all'integrazione, teorema della convergenza monotona, Lemma di Fatou (per funzioni, con dimostrazione) e lemma di Fatou inverso (per funzioni), diseguaglianza di Jensen, diseguaglianza di Hölder, definizione di convergenza in probabilita'

Lez. 08: 09/10/2023: Teorema della convergenza dominata (con dimostrazione), definizione valore atteso, diseguaglianza di Markov (generalizzata), diseguaglianza di Chebyschev, esercizi

Lez. 09: 11/10/2023: Variabili scorrelate, Legge forte dei grandi numeri con momento quarto limitato (con dimostrazione), derivata di Radon-Nikodym  

Lez. 10: 13/10/2023: Esercizi

Lez. 11: 16/10/2023: Introduzione alle misure prodotto, teorema di Fubini con controesempio se non sono verificate le ipotesi, leggi congiunte, distribuzione e densita' della somma di variabili indipendenti, indipendenza 

Lez. 12: 18/10/2023: Osservazioni sul teorema di Fubini, Sigma-algebra dei Boreliani di R^n coincide con la sigma-algebra prodotto di n fattori della sigma-algebra dei Boreliani di R; Applicazioni diseguaglianza di Chebyshev: teorema di approssimazione di Weierstrass (con dimostrazione), coupon collector problem, esercizio 

Lez. 13: 20/10/2023: Esercizi 

Lez. 14: 23/10/2023: Introduzione all'attesa condizionata, teorema/definizione di Kolmogorov e prime proprieta' 

Lez. 15: 25/10/2023: Ulteriori proprieta' dell'attesa condizionata, esempi ed esercizi 

Lez. 16: 27/10/2023: Esercizi 

Lez. 17: 30/10/2023: Esercizi 

Lez. 18: 03/11/2023: Introduzione alle martingale, primi esempi, definizione processo prevedibile, dimostrazione che la trasformata di supermartingala tramite processo prevedibile e limitato e' supermartingala  

Lez. 19: 13/11/2023: Correzione dell'esonero; Introduzione ai tempi d'arresto con esempi

Lez. 20: 15/11/2023: Upcrossings, Teorema di convergenza per sub-martingale limitate in L^1 (con dimostrazione), conseguenze, enunciato dell'optional stopping theorem di Doob  

Lez. 21: 17/11/2023: Optional Stopping Theorem di Doob (con dimostrazione), esercizi 

Lez. 22: 20/11/2023: Fine esercizio + inizio Problema dell' "abracadabra" 

Lez. 23: 22/11/2023: Fine problema dell' "abracadabra" + esercizio 

Lez. 24: 24/11/2023: Esercizi

Lez. 25: 27/11/2023: Teorema di decomposizione di Doob per sub-martingale (con dimostrazione), diseguaglianza massimale di Doob, convergenza di martingale quasi certamente e in L^p (con dimostrazione), ortogonalita' incrementi martingale in L^2, definizione di famiglia di variabili Uniformemente Integrabili 

Lez. 26: 01/12/2023: Uniforme integrabilita', teorema di convergenza per successioni in L^1, "Upward" theorem, "Downward" theorem di Levy, legge forte dei grandi numeri di Kolmogorov (con dimostrazione), teorema di limitatezza di martingale in L^2 

Lez. 27: 04/12/2023: Esercizi (branching processes)

Lez. 28: 06/12/2023: Esercizi

Lez. 29: 11/12/2023: Somma di variabili indipendenti in L^2 (con dimostrazione); funzione caratteristica e sue proprieta', formula di inversione di Levy

Lez. 30: 13/12/2023: Convergenza debole, teorema di convergenza di Levy, teorema del limite centrale (con dimostrazione), esempi ed esercizi

Lez. 31: 15/12/2023: Esercizi

Lez. 32: 18/12/2023: Esercizi