Diario delle lezioni
Lez. 01: 19/09/2022: Introduzione, processo di diramazione ed osservazioni, definizione di algebra e sigma-algebra
Lez. 02: 21/09/2022: Algebra di Borel, spazi di misura, Pi-sistemi, teorema di Caratheodory, introduzione alla misura di Lebesgue
Lez. 03: 22/09/2022: Prime proprieta' fondamentali della misura, Eventi, esempi
**NOTA: il giorno 26/09/2022 la didattica e' sospesa per le elezioni politiche**
Lez. 04: 28/09/2022: limsup, liminf, Lemma di Fatou inverso (con dimostrazione), Lemma di Borel-Cantelli 1 (con dimostrazione), Lemma di Fatou, funzioni misurabili, variabili aleatorie
Lez. 05: 29/09/2022: legge e distribuzione di una v.a., Teorema di rappresentazione di Skorokhod (con dimostrazione), Definizioni di indipendenza
Lez. 06: 03/10/2022: pi-sistemi e sigma-algebre, Lemma di Borel-Cantelli 2 (con dimostrazione), esempio, sigma-algebra coda
Lez. 07: 05/10/2022: Legge 0-1 di Kolmogorov (con dimostrazione), esercizi
Lez. 08: 06/10/2022: Esercizi, introduzione all'integrazione, teorema della convergenza monotona, Lemma di Fatou (per funzioni, con dimostrazione) e lemma di Fatou inverso (per funzioni)
Lez. 09: 10/10/2022: Diseguaglianza di Jensen, diseguaglianza di Hölder, definizione di convergenza in probabilita', distribuzione, quasi certa, in L^p (con loro implicazioni); Teorema della convergenza dominata (con dimostrazione), diseguaglianza di Markov (generalizzata), variabili scorrelate, Legge forte dei grandi numeri con momento quarto limitato
Lez. 10: 12/10/2022: Dimostrazione LFGN, esercizio
Lez. 11: 13/10/2022: Esercizi
Lez. 12: 17/10/2022: Derivata di Radon-Nikodym, introduzione alle misure prodotto, teorema di Fubini con controesempio se non sono verificate le ipotesi
Lez. 13: 19/10/2022: Leggi congiunte, esempi con leggi congiunte, Distribuzione e densita' della somma di variabili indipendenti; osservazioni sul teorema di Fubini
Lez. 14: 20/10/2022: Esercizi
Lez. 15: 24/10/2022: Sigma-algebra dei Boreliani di R^n coincide con la sigma-algebra prodotto di n fattori della sigma-algebra dei Boreliani di R; Applicazioni diseguaglianza di Chebyshev: teorema di approssimazione di Weierstrass (con dimostrazione), coupon collector problem.
Lez. 16: 26/10/2022: Introduzione all'attesa condizionata e prime proprieta', inclusa proprieta' torre (con dimostrazione)
Lez. 17: 27/10/2022: Esercizi
Lez. 18: 31/10/2022: Ulteriori proprieta' dell'attesa condizionata, esempi ed esercizi
Lez. 19: 02/11/2022: Introduzione alle martingale, primi esempi, definizione processo prevedibile
Lez. 20: 03/11/2022: Esercizi
*7-11 novembre: pausa esoneri*
Lez. 21: 14/11/2022: Esercizi: correzione dell'esonero
Lez. 22: 16/11/2022: Dimostrazione che la trasformata di supermartingala tramite processo prevedibile e limitato e' supermartingala; tempi d'arresto, esempi e "non esempi"
Lez. 23: 17/11/2022: Upcrossings, Teorema di convergenza per sub-martingale limitate in L^1 (con dimostrazione), conseguenze
Lez. 24: 21/11/2022: Optional Stopping Theorem di Doob (con dimostrazione), esercizio
Lez. 25: 28/11/2022: Problema dell' "abracadabra"
Lez. 26: 30/11/2022: Fine problema dell' "abracadabra" + esercizio
Lez. 27: 01/12/2022: Esercizi sulle martingale
Lez. 28: 05/12/2022: Conclusione esercizio, teorema di decomposizione di Doob per sub-martingale (con dimostrazione ma non esaminabile), diseguaglianza massimale di Doob, convergenza di martingale quasi certamente e in L^p (con dimostrazione)
Lez. 29: 07/12/2022: Uniforme integrabilita', teorema di convergenza per successioni in L^1, "Upward" theorem, "Downward" theorem di Levy, legge forte dei grandi numeri di Kolmogorov (con dimostrazione), teorema di limitatezza di martingale in L^2
Lez. 30: 12/12/2022: Funzioni caratteristiche, convergenza debole, formula d'inversione di Levy, preambolo per il teorema del limite centrale
Lez. 31: 14/12/2022: Teorema del limite centrale (con dimostrazione), esercizi
Lez. 32: 15/12/2022: Esercizi
Lez. 33: 19/12/2022: Esercizi