Lez. 01: 21/09/2020: Introduzione, processo di diramazione
Lez. 02: 23/09/2020: Osservazioni sul processo di diramazione, definizione di sigma-algebre, algebra di Borel, spazi di misura
Lez. 03: 24/09/2020: Pi-sistemi, teorema di Caratheodory, introduzione alla misura di Lebesgue, prime proprieta' fondamentali della misura
Lez. 04: 30/09/2020: Eventi, limsup, liminf, Lemma di Fatou inverso, Lemma di Borel-Cantelli 1
Lez. 05: 01/10/2020: Lemma di Fatou, funzioni misurabili, variabili aleatorie, legge e distribuzione di una v.a., enunciato del Teorema di rappresentazione di Skorokhod.
Lez. 06: 05/10/2020: Dimostrazione Teorema di rappresentazione di Skorokhod, definizioni di indipendenza, esempio di eventi a due a due indipendenti ma non indipendenti tra loro, indipendenza e pi-sistemi
Lez. 07: 07/10/2020: Lemma di Borel-Cantelli 2, esercizi
Lez. 08: 08/10/2020: Sigma-algebre coda e Legge 0-1 di Kolmogorov (con dimostrazione)
Lez. 09: 12/10/2020: Esercizi
Lez. 10: 14/10/2020: Introduzione all'integrazione, diseguaglianze di Jensen e Hölder.
Lez. 11: 15/10/2020: Teoremi di passaggio al limite sotto il segno d'integrale (senza dimostrazione), valore atteso e varianza di una v.a., diseguaglianze di Markov e Chebyshev, variabili scorrelate, esempio che v.a. scorrelate possono essere dipendenti, applicazione diseguaglianza di Chebyshev
Lez. 12: 19/10/2020: Esercizi
Lez. 13: 21/10/2020: Legge forte dei grandi numeri (con ipotesi limitatezza del momento quarto) con dimostrazione, Tipi di convergenza e loro implicazioni, introduzione alle misure prodotto
Lez. 14: 22/10/2020: Introduzione derivata di Radon-Nikodym, definizione di misura prodotto con applicazione, teorema di Fubini con controesempio
Lez. 15: 26/10/2020: Esercizi
Lez. 16: 28/10/2020: Distribuzione e densita' della somma di variabili indipendenti, leggi congiunte
Lez. 17: 29/10/2020: Esempi con leggi congiunte, introduzione all'attesa condizionata
Lez. 18: 02/11/2020: Esercizi
Lez. 19: 04/11/2020: Attesa condizionata: caso discreto, definizione (con teorema di esistenza ed unicita' quasi certa) e qualche proprieta'
Lez. 20: 05/11/2020: Esercizi
11/11/2020: ESONERO (ONLINE) Testo + Soluzione
Lez. 21: 16/11/2020: Esercitazione: correzione dell'esonero
Lez. 22: 18/11/2020: Proprieta' fondamentali dell'attesa condizionata
Lez. 23: 19/11/2020: Esempio di calcolo attesa condizionata, definizione di martingala, supermartingala e submartingala, esempio e qualche proprieta'
Lez. 24: 23/11/2020: Esercizi
Lez. 25: 25/11/2020: Dimostrazione che la trasformata di supermartingala tramite processo prevedibile e limitato e' supermartingala; tempi d'arresto, esempi e non; upcrossings
Lez. 26: 26/11/2020: Teorema di convergenza per sub-martingale limitate, conseguenze
Lez. 27: 30/11/2020: Esercizi (con applicazioni della teoria ai processi di diramazione)
Lez. 28: 02/12/2020: Optional Stopping Theorem di Doob + esercizio
Lez. 29: 03/12/2020: Problema dell' "abracadabra"
Lez. 30: 09/12/2020: Conclusione problema dell' "abracadabra" + esercizio
Lez. 31: 10/12/2020: Diseguaglianza massimale di Doob, teorema di convergenza per martingale in L^p, uniforme continuita', teorema di convergenza per successioni in L^1, "Downward" theorem di Levy, legge forte dei grandi numeri di Kolmogorov (con dimostrazione)
Lez. 32: 14/12/2020: Funzioni caratteristiche, Teorema del limite centrale
Lez. 33: 16/12/2020: Esercizi
21/12/2021: ESONERO (ONLINE) Testo + Soluzione
Appello A, Gennaio 2021: Testo + Soluzione
Appello B, Febbraio 2021: Testo + Soluzione
Appello C, Giugno 2021: Testo + Soluzione
Appello X, Settembre 2021: Testo + Soluzione