MFOA'2019 - spiterifr

MFOA'2019

Evaluation d'option sous volatilité stochastique défini par une combinaison

convexe des modèles de Cox Ingersoll Ross et Ornstein Uhlenbeck

Pierre Spiteri ⁽¹⁾

En collaboration avec Elaïd Derbellou ⁽²⁾, Thierry Garcia ⁽¹⁾ et Hacene Boutania⁽²⁾

(1) IRIT – INPT, Université de Toulouse, Toulouse, France

(2) LaPS, Université Badji Mokhtar, Annaba, Algérie

Mots – clés : modèle de Cox Ingersoll Ross, modèle de Ornstein Uhlenbeck, option américaine, problème complémentaire, équation aux dérivées partielles, méthode de relaxation.

Le présent travail est relatif à une action commune menée entre l’université d’Annaba et l’université de Toulouse. Cette action correspond à une collaboration entre probabilistes et numériciens. Le modèle d’option retenu correspond à une situation où la moyenne et la variance du cours de l’action ne sont pas constantes, contrairement à ce qui est retenu dans le modèle classique de Black – Scholes. En particulier, il faut prendre en compte des situations où la variance change de façon aléatoire au cours du temps, ce qui implique une volatilité stochastique. On est donc amené en finance à prendre en compte des modèles où la volatilité est stochastique, en particulier ceux de Cox Ingersoll Ross et Ornstein Uhlenbeck ; dans la présente étude nous considérons plus spécifiquement une combinaison convexe de ces deux derniers modèles afin d’introduire une corrélation stochastique qui présente plus de souplesse pour contrôler le niveau et la pente du profil du « smile ». Ainsi le modèle financier est caractérisé par un problème parabolique défini sur un domaine non borné qu’il est difficile de résoudre numériquement. De façon analogue à ce qui est couramment utilisé pour le modèle de Black – Scholes, nous sommes amenés à montrer dans un premier temps que la solution numérique obtenue dans un domaine borné Ω converge uniformément vers la solution du problème initial défini dans un domaine non borné lorsque la mesure de Ω tend vers l’infini. Ainsi, après discrétisation convenable de l’opérateur aux dérivées partielles du second ordre et en utilisant des schémas implicites en temps, on est amené à résoudre des systèmes algébriques de grande taille qui sont linéaires dans le cas d’options européennes où la maturité est fixée à l’avance à une date fixée et fortement non linéaires dans le cas d’options américaines à cause des contraintes définies sur la solution et où la vente ou l’achat peuvent être exercés n’importe quand. Sur le plan numérique, le modèle d’options européennes conduit donc à la résolution d’équation aux dérivées partielles alors que le modèle d’options américaines conduit à résoudre une inéquation aux dérivées partielles ; dans les deux cas on complétera ces deux types de problèmes par adjonction de conditions aux limites de Dirichlet homogènes. Dans le cas d’options américaines, il est de plus nécessaire de linéariser le problème par le procédé d’Howard, ce qui conduit à la résolution de problème complémentaire. Compte tenu de la grande dimension des systèmes à résoudre, les systèmes linéaires sont résolus par des méthodes itératives et nous avons considéré des méthodes de relaxation séquentielles et / ou parallèles qui sont bien adaptées ici, car les matrices ne sont pas symétriques à cause de la présence dans le modèle de dérivées du premier ordre. Ces méthodes de relaxation sont alors analysées, en particulier leur convergence qui sera assurée moyennant une hypothèse sur le paramètre de corrélation, condition non pénalisante par rapport au modèle retenu dans la mesure où on considère une corrélation faible entre les modèles de Cox Ingersoll Ross et Ornstein Uhlenbeck.

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