Cálculo

Historia: La memoria, cálculo mental y las matemáticas

Todos los matemáticos cuyas biografías se dan en nuestro archivo exhibieron poderes mentales extraordinarios. En este artículo veremos unos matemáticos que han mostrado los poderes extraordinarios de la memoria y de cálculo. También tenemos en cuenta una serie de personas que no tenían habilidades matemáticas, por lo general sin educación, sin embargo, fueron capaces de mostrar las hazañas de las habilidades aritméticas mentales que asombraron a sus contemporáneos y aún hoy nos asombran.

En primer lugar podemos mencionar John Wallis, cuyo cálculo poderes se describe en [2]: -

[Wallis] se ocupó en la búsqueda (mentalmente) la parte entera de la raíz cuadrada de 3 × 10 ⁴⁰ , y varias horas más tarde escribieron por el resultado de la memoria. Este hecho de haber atraído aviso, dos meses más tarde tuvo el desafío de extraer la raíz cuadrada de un número de 53 dígitos, lo que él realizó mentalmente, y un mes más tarde se dictó la respuesta que él no había cometido mientras tanto a la escritura.

Esto, aunque es bastante notable, es bastante típico de las hazañas que describiremos en este artículo. Es la combinación de la memoria excepcional y capacidad de calcular lo que parece combinar en muchos de los que tenemos en cuenta. Sin embargo, en un aspecto Wallis es muy diferente a otros que describimos en la que él tenía 53 años cuando realizó las hazañas anteriores. La mayoría de los otros que describimos estaban a la altura de sus poderes cuando los niños pequeños, a menudo alrededor de 10 años de edad.

Tras mirar un matemático de un período temprano, vamos a considerar a continuación von Neumann cuyas hazañas memorísticas son descritos por Herman Goldstine en [8]: -

Por lo que yo pude ver, von Neumann fue capaz en vez de leer un libro o un artículo para citar de nuevo textualmente, y además podía hacerlo años más tarde sin dudarlo. También podía traducirlo a ninguna disminución en la velocidad de su lengua original en Inglés. En una ocasión, he probado su habilidad al pedirle que me diga cómo comenzó la 'Historia de dos ciudades ". Con lo cual, sin pausa, de inmediato comenzó a recitar el primer capítulo y continuó hasta pidió que parar después de unos diez o quince minutos.

La capacidad de Von Neumann hacer aritmética mental es la fuente de un gran número de historias que sin duda han crecido aún más impresionante con la narración. Es difícil decidir entre la realidad y la ficción. Sin embargo, es claro que la multiplicación de dos números de ocho dígitos en su cabeza era una tarea que podía lograr con poco esfuerzo. Una vez más, parece que la memoria "casi perfecto" de von Neumann jugó un papel importante en su capacidad de calcular.

Otros matemáticos que han mostrado grandes potencias en el cálculo mental incluyen Ampere, Hamilton y Gauss. Sólo un matemático ha descrito nunca en detalle cómo fue capaz de realizar increíbles hazañas de la memoria y de cálculo. Esto es AC Aitken, ver [9], [1] y [7], y vamos a considerar sus métodos más adelante en este artículo. En primer lugar, sin embargo, vamos a describir las hazañas de una serie de prodigios de cálculo que no tenían formación matemática.

Los poderes de Zera Colburn en el cálculo se describen en [2], [12] y [13]. Nació en Cabut, Vermont, EE.UU. en 1804 y visitó Europa en 1812, cuando sólo tenía ocho años para demostrar sus habilidades: -

Al instante se podría dar el producto de dos números cada uno de los cuatro dígitos pero dudó si ambos números superaron 10.000 . Entre las preguntas le pregunté en ese momento iban a recaudar 8 a la 16 ª potencia, y en pocos segundos se dio la respuesta 281.474.976.710.656 que es correcto. ... Trabajó menos rápidamente cuando se le preguntó para elevar el número de dos dígitos, como 37 o 59 a los altos poderes. ... Preguntado por los factores de 247.483 Él respondió 941 y 263 ; pidió los factores de 171.395 que dio 5, 7, 59 y 83 , se le preguntó por los factores de 36.083 que dijo que no había ninguno. Él, sin embargo, tuvo dificultades para responder preguntas acerca de los números más altos de 1.000.000.

Colburn es interesante para un número de razones. En primer lugar influyó Hamilton para tomar las matemáticas, en segundo lugar, que él exhibió una característica común de los prodigios de calcular la mayoría sin educación, a saber, que sus capacidades disminuidas cuando se sometió a la educación. Esto puede ser debido al simple hecho de que este tipo de habilidades de cálculo requieren práctica continua durante muchas horas cada día y la educación ocupa demasiado tiempo para permitir que esto continúe. Colburn también es interesante ya que fue capaz de dar una idea de cómo se llevó a cabo los cálculos, el método principal es mediante la factorización de los números en cuestión: -

Cuando se le preguntó por el cuadrado de 4.395 vaciló, pero en la pregunta que se repite que él dio la respuesta correcta, es decir, 19.316.025 . Interrogado sobre la causa de su vacilación, dijo que no le gustaba a multiplicarse cuatro figuras de cuatro cifras, pero dijo que "me enteré de otra manera, yo multipliqué 293 por 293 , multiplicado este producto dos veces por 15 '. En otra ocasión, cuando se le preguntó por el producto de 21.734 por 543 , inmediatamente respondió 11.801.562 , y ser interrogado explicó que había llegado a esta multiplicando 65,202 por 181.

Licitador de George Parker nació en 1806 en Moreton Hampstead, en Devonshire, Inglaterra. Él no era uno a perder sus habilidades cuando educado y escribió un interesante relato de sus poderes en [3].Una vez más, cabe destacar que otros miembros de su familia tenían poderes excepcionales de la memoria y de cálculo. Uno de sus hermanos conocían la Biblia de memoria, otro hermano, que era un actuario, tuvo la mala suerte de tener todos sus libros destruidos en un incendio. Este no era el problema que podría haber sido la de una persona común, ya que fue capaz, en el plazo de seis meses, para volver a escribir de la memoria. Uno de los hijos del Postor era capaz de multiplicar dos números de 15 dígitos pero era lento y menos preciso, en comparación con su padre. Postor explicó cómo el sonido de los números era mucho más importante para él que su representación visual, algo que Aitken también era enfatizar. Postor escribió, ver [3]: -

... Si me esfuerzo para conseguir cualquier número de figuras que se representan en papel fijo en mi memoria, me lleva un tiempo mucho más largo y un muy mucho más esfuerzo que cuando se expresan o enumerar verbalmente. ... Si es necesario para encontrar el producto de dos números cada uno de los nueve dígitos que se leyeron a mí, yo no debería exigir que esto se haga más de una vez, pero si ellos estuvieron representados en la forma habitual, y los pusieron en mis manos, probablemente me tomaría cuatro veces a que los examinen antes de lo que sería en mi poder para repetirlas, y después de todo no estaría impresionado tan vivamente en mi imaginación.

El último no matemático cuyas hazañas que describimos es Dase. Él es de particular interés ya que sus talentos fueron investigados por Gauss, Encke y otros matemáticos. Como ejemplos de la capacidad de cálculo de Dase aquí está un ejemplo: 79532853 × 93758479 = 7456879327810587, tiempo tomado 54 segundos. Se multiplica dos números de 20 dígitos en 6 minutos, dos números de 40 dígitos en 40 minutos, dos números de 100 dígitos en 8 horas y 45 minutos. Gauss comentó que él pensaba que alguien experto en cálculo podría haber hecho el ejemplo 100 dígitos en aproximadamente la mitad de ese tiempo con lápiz y papel.

Aunque Dase tenía educación matemática se ofreció a usar sus poderes para ayudar a las matemáticas. Se le mostró cómo usar la fórmula

π / ₄ = tan ^-1 ( ¹ / ₂ ) + tan ^-1 ( ¹ / ₅ ) + tan ^-1 ( ¹ / ₈ )

y, con esto, se calcula π correctamente para 200 plazas en un período de unos dos meses. En su tiempo libre, entre 1844 y 1847, calculó el logaritmo natural de los primeros 1.005 millones de números de 7 cifras decimales.

En la 19 ^ª siglo, parece haber sido todo un espectáculo popular de ver los niños extraordinariamente dotados realizan cálculos sobre el escenario. Por supuesto, ya que había un mercado para este tipo de actuaciones niños que parecían dotados de esta manera fueron animados a practicar mucho para que puedan ganar dinero. Colburn, Oferente y Dase todos daban representaciones teatrales.

Otro tipo de calculadora relámpago era Trueman Henry Stafford de Royalton, Vermont en los Estados Unidos. Stafford decidió no realizar en el escenario, aunque, como un niño de diez años, había calcular habilidades para competir con cualquiera de los otros. Si hubiera realizado en el escenario que bien podría haber llevado a la multitud en el acuerdo con la descripción dada por HW Adams, ver [12], [12]: -

Multiplica en su cabeza 365.365.365.365.365.365 y 365.365.365.365.365.365 . Voló por la habitación como un trompo, sacó sus pantalones sobre las copas de sus botas, se mordió las manos, puso los ojos en sus cuencas, a veces sonriendo y hablando, y luego parecía estar en agonía, hasta que, en no más de un minutos, dijo que133.491.850.208.566.925.016.658.299.941.583.225 !

Stafford se graduó en Princeton y se convirtió en un astrónomo profesional. Su habilidad para realizar cálculos mentales lentamente apartó a medida que envejecía.

En muchos aspectos, el más interesante de toda esta gente era AC Aitken. La razón es que

no exhibió su talento a una edad temprana como la mayoría de los descritos anteriormente. Más bien, él desarrolló la habilidad como él explicó, ver [7]: -

Sólo a la edad de 15 me sentía yo podría desarrollar una potencia real y desde hace algunos años en esa época, sin decírselo a nadie, he practicado el cálculo mental de la memoria como un brahmán Yogi, un poco más aquí, un poco más allá, hasta que gradualmente lo que había sido difícil al principio se hizo más fácil y más fácil ...

Aitken se convirtió en un excelente matemático profesional que sostiene la cátedra de matemáticas en Edimburgo en Escocia. Puso su memoria para un buen uso de muchas maneras en su papel como un matemático. Para dar sólo un ejemplo, ver [6]: -

Cuando examinó un nuevo número de una revista matemática sólo tenía que escanear página por página, pasando las páginas sobre a una velocidad que el lector corriente registraría solamente media docena de líneas más o menos. La discusión subsiguiente dejó en claro que él ha registrado todo el material. Y, como él dijo, él nunca olvidó lo que había visto una vez.

La vida de Aitken se describe en [7], sus capacidades mentales se registran y analizan por él mismo en [1] y por un psicólogo de Edimburgo en [9]. El aspecto más fascinante de la capacidad de Aitken hacer cálculo mental, a mi [EFR] mente, es la manera en la que fue capaz de combinar su habilidad de calcular y hazañas extraordinarias de la memoria con un profundo conocimiento de los métodos de las matemáticas numéricas.

En [9] Hunter describe Aitken recitando los primeros 1000 dígitos de π a él: -

Sentado relajado y aún así, él habla de los primeros 500 dígitos sin errores ni dudas. Luego hace una pausa, casi literalmente el aliento. El tiempo total necesario es de 150 seg. El ritmo y el tempo de discurso es evidente, unas cinco dígitos por segundo separados por una pausa de alrededor de ¹ / ₂ seg. La regularidad temporal es casi mecánico, para ilustrar, cada bloque sucesivo de cincuenta dígitos se habla exactamente de 15 seg.

Entonces Aitken recitó correctamente los segundos 500 dígitos de π. Aquí, sin embargo Hunter informa que Aitken vaciló y, a veces corrigió. Cuando se le preguntó por qué se encontró el segundo 500 mucho más difícil que la primera 500 Aitken tuvo una respuesta interesante. Parcialmente dijo que era debido al cansancio ya revocatorio requiere un gran esfuerzo. Más interesante, sin embargo era la otra razón: -

Antes de los días de las máquinas de computación que había un tipo de competencia (humanos, quiero decir) en ver hasta dónde podían calcular π. En 1873 , Shanks lleva esto a 707decimales, pero no fue hasta 1948 que se descubrió que el último 180 de ellos estaban equivocados. Ahora, en 1927 había memorizado los 707 dígitos para una demostración informal a una sociedad a los estudiantes, y, naturalmente, yo estaba bastante disgustado, en 1948 , al descubrir que había memorizado algo erróneo. Cuando π se calculó para 1000y, de hecho más decimales, me re-memoricé. Pero tuve que reprimir mi memoria más temprana de esos dígitos erróneos, 180 de ellas ...

Así que el problema de Aitken era que él no podía olvidar los 180 dígitos incorrectos!

¿Y su capacidad de calcular? En primer lugar cuando se presenta con un número, Aitken instante vio una variedad de diferentes formas de expresarlo. Por ejemplo

1961 = 37 × 53 = 44 ² 5 + ² = 40 ² + 19 ²

se le ocurrió al instante. De hecho, un número al instante se le apareció en una forma particularmente adecuada para la tarea requerida. Por ejemplo si se le pide para la expansión decimal de ¹ / ₈₅₁ que pensaría de 851 como 23 × 37, si se le pregunta por la raíz cuadrada de 851 entonces pensó en ella como 29 ² + 10, si se le pide para la expansión decimal de ¹⁷ / ₈₅₁ entonces se podría pensar en él como casi 0.02.

Números llenaron el mundo de Aitken. Dijo: -

Si me voy a dar un paseo y si un automóvil pasa y tiene el número de registro 731 , no puedo dejar de observar que es 17 veces 43 . ... Cuando veo a un conductor de autobús con un número en la solapa, I cuadrado que ... esto no es deliberada, sólo que no lo puedo evitar. ... [Dado un número] es un primo de la forma 4 n +1 , y así puede expresar como la suma de dos cuadrados de una sola manera? ¿Es el numerador de un número de Bernoulli, o uno que ocurre en alguna fracción continua? Y así sucesivamente. A veces, un número casi no tiene propiedades en absoluto, al igual que 811 , ya veces un número, como 41 , está profundamente involucrado en muchos teoremas que conoce.

Aitken mostró una brecha capacidad, y por lo tanto para el cálculo de las expansiones decimales de números racionales, que otras calculadoras no podían hacer. Siempre fue una regla en las exposiciones de cálculo de los descritos anteriormente que, cuando se le pidió al público a sugerir sumas, sumas división fueron prohibidos. Aitken sin embargo fue capaz de utilizar ciertos trucos. El pedido para calcular la expansión decimal de ¹ / ₆₉₇ , explicó su método. Vio inmediatamente que 697 = 17 × 41. Entonces: -

Mentalmente funcionó un 41 º y dividí por 17 al mismo tiempo. Hice dos cosas. Eso es grave por cierto. Un doble proceso es muy severa. Ya ves lo que tienes que ejecutar una décima y se divide a la vez por algo más. Hay que alternar atrás y adelante tengo que tener en cuenta que un 41 st es el punto , 0, 2, 4, 3, 9, y a dividir por 17 el tiempo.

Sin embargo muchas divisiones se llevaron a cabo por Aitken utilizando trucos ingeniosos. Explicó cuántas expansiones decimales podría llevarse a cabo por la división corta. Él dijo, ver [9]: -

Uno puede dividir por un número como 59 , o 79 , o 109 , o 599 , y así sucesivamente, por la división corta. Tomemos, por ejemplo, ¹ / ₅₉ , que es casi ¹ / ₆₀ . Establecer la división fuera así

6) 1,0 1 6 9 4 9 5 1 2 ...

------------------------

0,0 1 6 9 4 9 1 5 2 5 ...

Aquí tenemos el decimal de ¹ / ₅₉ , que se obtiene dividiendo 1 por 60 , como se obtiene cada dígito que simplemente entramos en el dividendo, un lugar más tarde, y continuamos con la división. Como otro ejemplo, consideremos ⁵ / ₂₃ . Escríbelo como ¹⁵ / ₆₉ . A continuación, proceder

7) 15,2 1 7 3 9 1 3 0 ...

------------------------

0,2 1 7 3 9 1 3 0 4 ...

De hecho ⁵ / ₂₃ = 0,2173913043478260869565 , un decimal recurrente con un período de 22 dígitos. Se podría igualmente bien han escrito como ⁶⁵ / ₂₉₉ , a continuación, llevar a cabo la división por 3 , dos dígitos a la vez, y entrar en el dividendo dos lugares más a lo largo. Hay otras posibilidades: por ejemplo, la calculadora mental es, o debería ser, muy familiarizado con la factorización de números, sino que debe saber no sólo que 23 hora 13 es 299 , pero 23 veces 87 es 2001 . Por ejemplo ⁵ / ₂₃ es igual a ⁴³⁵ / ₂₀₀₁ , y si tenemos en cuenta que 435 es el mismo que 434.999999999 ... , tenemos otro método, en el que, como se obtienen las cifras, restamos desde el dividendo, por lo que muchos lugares más tarde.Así, en el presente caso

2) 434 782 608 695 652 ...

-------------------------

217 391 304 347 ...

Por ejemplo, 217 de 999 da 782 , que luego se divide por 2 , obteniendo 391 ; esto, se resta de 999 , da 608 , y así sucesivamente. Mi objetivo ha sido demostrar, en estos diversos ejemplos bien simples, alguna parte del repertorio, el arsenal de recursos de la que una calculadora mental puede dibujar, y en lo que respecta a la elección de la que debe tomar decisiones instantáneas, y mantener con ellos .

Cuando se le preguntó a explicar exactamente lo que hace cuando se le preguntó para multiplicar 123 por 456 Aitken respondió: -

Veo a la vez que 123 veces 45 es 5535 y que 123 veces 6 es 738 , yo apenas tengo que pensar. Entonces 5535 plus 738 da 56.088 . Incluso en el momento de registrarse 56.088 , he comprobado que al dividirlo por 8 , para 7011 , y esto por 9 da 779 . Reconozco 779 como 41 por 19 . Y 41 por 3 es 123 , mientras que 19 por 24 es 456 . Un cheque, nos vemos, y que pasa por en aproximadamente 1 seg.

Por qué no podemos todo, entonces, después de haber aprendido los trucos de Aitken, realizar cálculos rápidos como pudo. Aitken, cuando se le preguntó lo que él creyó le hizo más capaz de calcular que la persona promedio, lo dejó a su capacidad de recordar fácilmente los números. Dijo: -

Puedo dejar a un lado en el almacenamiento para una ocasión futura resultado que ya se ha obtenido. Sé que puedo llevarla a cabo correctamente. .. [Esto] es lo que distingue a la calculadora desde el hombre de la calle. El hombre de la calle se olvida de las etapas en el medio.

Algunas hazañas memorísticas son ciertamente de naturaleza visual. El interesado puede "ver" el número de objetos que se han cometido en la memoria y en cierto sentido leerlos off como si hubieran sido escritas en papel. Aitken dijo que su memoria pudiera funcionar de esa manera, pero lo frenó.

Al ver me diera. Si me viera obligado a visualizar, yo sería mucho más lento.

Sin embargo, cuando se le preguntó a recitar los dígitos de π revés Aitken tenía, curiosamente, no hay otra opción que la de llevar los números en una forma visual y leerlos fuera al revés de su imagen visual.Su comentario "mucho más lento" puede ser cierto, pero la velocidad era todavía impresionante. Los últimos 50 dígitos de la expansión requiere 18 segundos para que se recitan los forwards y 34 segundos para recitarlos al revés.

Terminamos con dos ilustraciones finales de la memoria de Aitken. Mientras servía en la Compañía de Otago en Armentières durante la Primera Guerra Mundial, el libro pelotón fue destruida. Aitken recitó los nombres y los números de todos los miembros de su pelotón. La segunda ilustración viene de la prueba de los poderes de Aitken por el Departamento de Psicología en Edimburgo. En la década de 1930, Aitken ha sido probado por el Departamento. Una de las pruebas participaron 25 palabras al azar que han sido seleccionados a partir de un diccionario. Estas palabras fueron leídas a Aitken y él fue capaz de repetirlas. Cuando Hunter entrevistó Aitken en 1961 que tenía ante él un registro de la prueba de 1930 y preguntó si se acordaba de Aitken le pide que recite una secuencia aleatoria de palabras. De hecho Aitken hizo y todavía era capaz de recitar correctamente casi 30 años después.