De draaiende maan
De maan draait
De experimentele waarheid:
De onderkant van de foto is dan de raaklijn aan deze snijcirkel.
De hoek die de maan met de onderkant van de foto maakt is dus niet β maar α en dit klopt met de werkelijkheid en met de simulatie.
Wat er allemaal verteld werd is wel juist, maar ….
De onderkant van de foto genomen met een fototoestel op gewoon statief is wel evenwijdig aan de horizon maar de hoek die deze onderkant maakt met de meridiaan is niet dezelfde als deze die de horizon maakt met deze meridiaan. De hoek van de maan op de foto is dus niet dezelfde als de hoek die haar meridiaan vormt met de horizon.
De optische as van het fototoestel beschrijft een kegel rond deze zenitas die de hemelbol snijdt volgens een cirkel met pool Z die door M(aan) gaat (zie figuur) en toevallig bijna door P.
Bij het verder uitwerken van mijn foto's zoals op bovenstaande figuur stel ik plots vast dat er iets niet klopt:
Bij deze twee foto's genomen tijdens de nacht van twee op drie november, waarbij de declinatie van de maan +19° was stellen we een draaiing vast van 27° op nauwelijks 2u tijd, of een rotatiesnelheid van 13°30' per uur. Ook bij een simulatie met "Cartes du ciel" met dezelfde parameters vind ik op enkele graadminuten na identiek hetzelfde, dus het resultaat kan niet te wijten zijn aan een toevallige te schuine stand van mijn statief. De foto's zijn wel genomen rond de maximale draaisnelheid (bij de laatste foto staat de maan op 177° azimut).
En dit klopt helemaal niet met mijn berekende maximumsnelheid op dat moment (op 180° azimut) van 9,44° per uur. Wat liep er fout???
De fout:
Maar wat me snel deed inzien dat mijn bepaling van de hoeksnelheid fout was is hetgeen dat Ivo reeds opmerkte: is dat ook zo aan de pool? Dit is waar voor de hoek die de vastgeprikte maan vormt met de horizon, maar dit is niet meer waar voor de hoek die ze maakt met de onderste rand van de foto of met de raaklijn aan de cirkel Z(M). Inderdaad, als de maan circumpolair wordt dan maakt ze een draaiing van 180° (zoals ook de Grote Beer omgekeerd staat bij zijn benedenculminatie t.o.v. zijn bovenculminatie).
Voor een maan die juist door het zenit gaat zitten we met een probleem, de optische as van het fototoestel gaat door het zenit en staat verticaal. We kunnen de maan dus beschouwen als staande in het zuiden en dan staat de zuidkant van de maan naar de onderkant van de foto gericht en dat zal ook zo zijn als ze in haar benedenconjunctie staat: ze zal dus alleen maar wat schommelen t.o.v. de onderkant van de foto.
Maar vermits de optische as verticaal staat kunnen we het fototoestel 180° draaien en de maan ook fotograferen met haar noordkant naar de onderkant van de foto. Bij haar benedenconjunctie zal ze dan omgekeerd staan. Op dat moment hebben we dus de keuze, of we laten de maan schommelen of we laten ze een draaiing maken van 180°. Dit geval waarbij de optische as van het toestel naar het zenit komt te staan moet een onbepaalde waarde van de functie opleveren, oneindig of complex of zoiets.
De nieuwe formule is:
δ is de declinatie, b de breedte en ω de hoeksnelheid of 15°/u van de uurhoek gemeten vanaf de benedenmeridiaan (vanaf het Noordpunt)
De afgeleide is:
Dit is op wiskundig gebied een zeer interessante formule. Voor δ=51° (zenit) vinden we voor t = 12 (zenitposite) de onbepaalde vorm 0/0.
Bij het bepalen van de limiet voor t neigende naar 12 door middel van het procédé om telkens de afgeleide van de teller en de noemer te nemen, blijven we steeds de onbepaaldheid 0/0 vinden. En dit moest, want de fictieve maan staat in het zenit dus ik kan het fototoestel in alle richtingen draaien rond de zenitas zodat de hoek die de maan vormt met de onderkant van de foto eender wat is.
De functie maakt in dat punt een sprong van 0 tot 180. En dat moest ook, want als ik de maan verder wil volgen moet ik het fototoestel omdraaien. Bij het volgen van de maan in oostelijke richting kwam het fototoestel verticaal te staan en het kan dus niet meer verder. Ik moet het 180° draaien zodat ik het terug kan laten zakken in westelijke richting.
Prachtig hoe de wiskunde dit kan beschrijven.
Nog interessant is dat wanneer de maan circumpolair wordt, ze horizontaal kan komen te liggen t.o.v. de onderkant van de foto, er zijn dus nulpunten.
1. De grafiek voor declinatie - 30°, dus de maan komt heel even boven de zuidelijke horizon.
2. De grafiek voor declinatie - 20°
3. De grafiek voor declinatie - 10°
4. De grafiek voor declinatie 0, dus de maan op de evenaar.
Vóór 6u (azimut 90° of het oosten) zit de maan onder de horizon. Om 6u staat ze op, de hoek die ze vormt met de onderkant van de foto is op dat moment 129° (180° - 51°). Deze hoek neemt af tot ze in het westen (18u of azimut 270°).ondergaat onder een hoek van 51°. Na 12u of op azimut 180° of in het zuiden vormt de maan een hoek van 90° met de onderkant van de foto en ze staat dus recht.
5. De grafiek voor declinatie 10°
6. De grafiek voor declinatie 20°.
7. De grafiek voor declinatie 30°.
8. De grafiek voor declinatie 40°.
9. De grafiek voor declinatie 50°
10. De grafiek voor declinatie 51°.
Dit is het geval wanneer de maan door het zenit zou gaan en zich dus op declinatie 51° zou bevinden. op dat moment, voor uurhoek 12, kan de maan dan t.o.v. de onderkant van de foto eender welke hoek maken. Dit is logisch, want de optische as van het fototoestel staat dan juist verticaal en men kan het over 360° draaien, de maan zal steeds in beeld blijven..
Van de ooststand waarin het fototoestel zich bevond moet nu overgeschakeld worden naar de westkant. Men moet het fototoestel 180° draaien zodat ook de fictieve maan een draai maakt van 180° t.o.v. de onderkant van de foto.
Dit is dezelfde grafiek, maar reeds aangepast aan hetgeen volgt, namelijk de situatie waarbij de fictieve maan circumpolair wordt. Zo ziet men het verband tussen de vorige grafieken en de volgende.
11. De grafiek voor declinatie 60°.
De maan wordt nu circumpolair. Als we ze volgen met het fototoestel blijft het steeds in noordelijke richting gericht. Bij het volgen draait het rond de hemelnoordpool. Se fictieve maan draait dus over 360° t.o.v. de onderkant van de foto.
12. De grafiek voor declinatie 70°.
13. De grafiek voor declinatie 80°.
14. De grafiek voor declinatie 89°.
De fictieve maan staat nu ongeveer op de hemelnoordpool en draait rond zichzelf.
Jos