Examen. Partie I: À faire à domicile et à rendre avant Avril 26 2024.
Partie II: 6 mai, 13.00 - 16.00
Partie 1,
2024
Fonctions harmoniques sur les groupes
lundi de 13h30 à 15h30
et mercredi de 15h15 à 17h15, à partir de 26 février 2024.
Salle W, ENS
2020
Marches aléatoires sur les graphes et sur les groupes
mercredi de 10h15 à 12h15 ,
a partir de 11 mars: 10h.45-12.45
et vendredi de 09h00 à 11h00
En raison de l'épidémie de coronavirus, la fin du cours va se faire en télé-enseignement.
Mercredi (10.45 -12.45) et Vendredi (09.00-11.00), par ZOOM.
1er cours mercredi 26 fevrier et vendredi a partir de 13 mars
W. Woess. Random Walks on Infinite Graphs and Groups. Cambridge Tracts in Mathematics 138, Cambridge University Press,2000
V.A.Kaimanovich, A.M.Vershik. Random walks on discrete groups: boundary and entropy.. Ann. Probab. 11 (1983), no. 3, 457 - 490.
R. Lyons, Yu. Peres. Probability on trees and networks.. Cambridge Series in Statistical and Probabilistic Mathematics, 42. Cambridge University Press, New York, 2016 http://mypage.iu.edu/~rdlyons/prbtree/book_corr.pdf
Exercises (liste 2)
2019
Marches aléatoires sur les groupes
mercredi/jeudi
1er cours: mercredi 6 mars
ll y en a une double motivation possible pour une étude des marches
aléatoires sur les groupes. Du point de vue de la théorie des groupes, les marches aléatoires sur les groupes fournissent de nombreux invariants
probabilistes du groupe. Dans le cas de groupes de type fini, ces invariants sont étroitement liés à la géométrie des graphes
de Cayley correspondants. Un problème plus difficile qui reste un défi est de relier les invariants probabilistes aux
propriétés algébriques du groupe en question.
Du point de vue des marches aléatoires, les espaces homogènes fournissent un contexte riche qui généralise des exemples classiques de marches aléatoires sur Z^d.
L'invariance du noyau de Markov par rapport a l'action de groupe impose la structure naturelle et des propriétés stochastiques
intéressantes de marches aléatoire et de leurs trajectoires.
Les sujets du cours incluront la récurrence / la transience, les probabilités de transition, l'isopérimétrie, la vitesse de la fuite et l'entropie, comportement asymptotique des trajectoires, bord
de Martin et de Poisson des marches aléatoires. Nous commençons par des résultats basiques, tels que les estimations
gaussiennes de Carne Varopoulos, les inégalités entre les probabilités de transition et le profil isopérimétrique, le résultat de Margulis sur l'absence de fonctions harmoniques positives pour les marches
aléatoires symétrique sur les groupes nilpotents, le critère d'entropie de Kaimanovich Vershik et Derriiennic, characterisation de groupes moyennables par l’existence de la mesure dont
le bord de Poisson est trivial (Furstenberg, Rosenblatt, Kaimanovich Vershik)
A la fin du cours nous prévoyons de discuter des progrès très récents dans le domaine, tels que la construction des mesures
dont le bord de Poisson est non triviale sur tous les groupes de type fini, à l'exception de groupes virtuellement nilpotents
(Hartmann, Frisch, Tamuz et Vahidi-Ferdowsi, 2018).
Aucun prérequis spécifique en probabilité n'est requis.
2018
"Invariants géométriques des groupes infinis",
niveau: M2
a partir de 28 février
mercredi et jeudi, 10.15-12.15, Salle W
2016/2017
Groupe de travail
"La Propriété T de Kazhdan"
a partir de 13 septembre.
*****
Un groupe G a la propriété T si toutes représentations unitaires de G sur un espace de Hilbert admettants vecteurs presque invariants admettent un vecteur invariant. Cette propriété remarquable des groupes localement compacts a été découvert en 1967 par Kazhdan, qui a démontré que SL (n, R), n> = 3, a la propriété T, qu'un réseau dans un groupe de Lie a la propriété T si le groupe de Lie le possède,
que chaque groupe avec la propriété T est compactement engendré et qu'un l’abélianisé d'un groupe discret avec la propriété T est finie. En particulier, l’abélianisé de chaque
sous-groupe d'index fini dans SL (n, Z), n> = 3, est fini.
En suite, on a trouvé de nombreuses définitions équivalentes de la propriété T.
Cette propriété a rapidement donné lieu à des applications frappantes dans les divers domaines des mathématiques: dans le combinatoire, dans la théorie de la mesure, dans les algèbres d'opérateurs.
La propriété T a été utilisé par Margulis en début des années 70s pour sa construction explicite des graphes expanseurs , et par Margulis et Sullivan au début des années 80s pour leur solution dans dimension n> = 4 du problème de Ruziewicz. Ce problème concerne l'unicité, à une constante multiplicative près, de la mesure de Lebesgue parmi toutes les mesures finiment additives sur la sphère de dimension n, invariantes par rotation. La solution pour n = 2 et 3 est ensuite obtenu par Drinfeld.
En contrast avec certaines propriétés fortes de finitude pour les groupes discrets avec la propriété T, ils ne sont pas nécessairement de présentation finie, une riche famille provenantes de quotients de groupes hyperboliques avec la propriété T, construits par Gromov.
La propriété T peut être considérée comme un fort opposé de moyennabilité , et il peut être difficile de comprendre si un groupe a cette propriété.
Nous commençons notre groupe de lecture par l’étude de certaines propriétés bien connues, des applications et des exemples (voir [1], [2}, [3], [4]), en continuant par l’étude
des articles récents dans ce domaine.
[1] Pierre de la Harpe, Alain Valette, La propriété (T) de Kazhdan pour les groupes localement compacts
Astérisque No. 175 (1989),
[2] Bachir Bekka, Pierre de la Harpe, Alain Valette,
Kazhdan's property (T). New Mathematical Monographs, 11. Cambridge University Press, Cambridge, 2008.
https://perso.univ-rennes1.fr/bachir.bekka/KazhdanTotal.pdf
[3] Alexander Lubotzky, Discrete groups, expanding graphs and invariant measures,Progress in Mathematics, vol.125, BirkhäuseR Verlag, Basel,
1994.
[4] Etienne Ghys, Pierre de la Harpe, Sur les groupes hyperboliques d'après Mikhael Gromov, Papers from the Swiss Seminar on Hyperbolic Groups held in Bern, 1988, Progress in Mathematics, 83. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 1990.
[5] Damian Osajda, "Group cubization", preprint 2016, https://arxiv.org/abs/1605.06915
[6] Cornelia Drutu, John M. MacKay, Random groups, random graphs and eigenvalues of p-Laplacian, preprint 2016, https://arxiv.org/abs/1607.04130
2015-2016
Semestre 2
a partir de Mercredi 10 fevrier
Mercredi 15h-16h30 + Jeudi 10h-11h30
(ENS, DMA, Salle R)
Moyennabilité de groupes
Niveau : M1
Anna Erschler & Laurent Bartholdi
Les groupes moyennables sont des groupes admettant une mesure finiment additive définie sur la totalité de leurs sous-ensembles. Ces groupes forment une classe très riche, qui généralise en quelque sorte la notion de «finitude». Il est particulièrement intéressant de se concentrer sur ceux d’entre eux qui sont de génération finie. Les groupes élémentairement moyennables (p.ex. résolubles) sont les groupes qu’on peut obtenir à partir des exemples «élémentaires» : finis ou abéliens, au moyen d’extensions, limites dirigées, sous-groupes et quotients. Du point de vue géométrique, la classe des groupes élémentairement moyennables est substantiellement plus riche que la classe des groupes résolubles, mais ils partagent plusieurs propriétés algébriques en ce qui concerne la structure de leurs sous-groupes et quotients. La diversité de la classe des groupes moyennables est apparue plus clairement après la découverte, par Grigorchuk dans les années quatre-vingt, des premiers exemples de groupes moyennables non-élémentaires. Ses exemples sont des groupes de croissance des mots intermédiaire, et aucun d’entre eux ne peut être moyennable par un résultat de Chou. Il y a eu des progrès récents dans notre compréhension des groupes moyennables et nonmoyennables (de nouvelles classes de groupes non-élémentairement moyennables de croissance exponentielle provenant des groupes de monodromie itérée [1], les premiers exemples de groupes simples infinis moyennables de type fini (Matui et [4]), et de nouvelles constructions de groupes moyennables sans sous-groupes libres [5]) ; toutefois, plusieurs aspects de la moyennabilité ne sont toujours pas bien compris. On ne sait pas, par exemple, s’il existe des groupes G moyennables de type fini tels que G = G × G, si tout groupe moyennable récursivement présenté se plonge dans un groupe moyennable finiment présenté, et s’il existe des groupes de présentation finie de croissance intermédiaire. C’est toujours un défi de comprendre la moyennabilité ou non-moyennabilité d’exemples spécifiques (la plus célèbre question dans cette direction est la (non-)moyennabilité du groupe de Richard Thompson). Dans ce cours, nous étudierons différentes définitions de la moyennabilité, son lien avec la croissance des mots dans les groupes, les inégalités isoperimétriques dans les groupes, et les marches aléatoires. Nous étudierons diverses classes de groupes moyennables et non-moyennables, commençant par les constructions classiques et passant ensuite en revue certaines très récentes. Les propriétés fondamentales des groupes moyennables sont expliquées dans [2, 6]. Le livre [3] est une bonne référence pour la théorie géométrique des groupes. Références [1] Laurent Bartholdi, Vadim A. Kaimanovich, and Volodymyr V. Nekrashevych, On amenability of automata groups, Duke Math. J. 154 (2010), no. 3, 575–598, DOI 10.1215/00127094-2010-046, available at arXiv:math/ 0802.2837. MR2730578 (2011k :20048) [2] Tullio G. Ceccherini-Silberstein, Rostislav I. Grigorchuk, and Pierre de la Harpe, Amenability and paradoxical decompositions for pseudogroups and discrete metric spaces, Trudy Mat. Inst. Steklov. 224 (1999), no. Algebra. Topol. Differ. Uravn. i ikh Prilozh., 68–111. Dedicated to Academician Lev Semenovich Pontryagin on the occasion of his 90th birthday (Russian). MR1721 355 [3] Pierre de la Harpe, Topics in geometric group theory, University of Chicago Press, Chicago, IL, 2000. MR2001i :20081 [4] Kate Juschenko and Nicolas Monod, Cantor systems, piecewise translations and simple amenable groups, Ann. of Math. (2) 178 (2013), no. 2, 775–787, DOI 10.4007/annals.2013.178.2.7, available at arXiv:math/1204.2132. MR3071509 [5] Nicolas Monod, Groups of piecewise projective homeomorphisms, Proc. Natl. Acad. Sci. USA 110 (2013), no. 12, 4524–4527, DOI 10.1073/pnas.1218426110, available at arXiv:math/1209.5229. MR3047655 [6] Stan Wagon, The Banach-Tarski paradox, Cambridge University Press, Cambridge, 1993. With a foreword by Jan Mycielski ; Corrected reprint of the 1985 original. MR1251963 (94g :04005)
Amenability of groups
Anna Erschler & Laurent Bartholdi
Amenable groups are groups admitting an invariant finitely additive measure defined on all theirsubsets. Such groups form a large and rich class of groups, generalizing in some sense the notion of “finiteness”. There is particular interest in studying those of them that are finitely generated. Elementarily amenable groups (e.g. solvable ones) are groups that one can obtain from “elementary” ones, that is finite and Abelian groups, by taking extensions, direct limits, subgroups and quotients. The class of elementarily amenable groups is already significantly richer from the geometric point of view than the class of solvable groups, yet all of them share some common algebraic property with the solvable groups as far as their subgroups and quotients are concerned. The diversity of the class of amenable groups started to emerge after Grigorchuk has discovered, in the early eighties, the first examples of non-elementarily amenable groups. His examples are groups of intermediate word growth, none of which can be elementarily amenable by a result of Chou. While there has been progress in recent years in understanding both amenable and non-amenable groups (new classes of non-elementary amenable groups of exponential growth among iterated monodromy groups [1], the first examples of infinite simple amenable finitely generated groups (Matui and [4]), and new constructions of non-amenable groups without free subgroups [5]), many features of amenability are still not well understood. It is not known for example whether there exist finitely generated amenable groups G such that G= G×G, whether any recursively presented amenable group can be imbedded as a subgroup into a finitely presented amenable group, and whether there exist finitely presented groups of intermediate growth. It remains a challenging question to understand amenability or non-amenability of some specific groups (the most well-known question in this direction is (non)-amenability of the Richard Thompson group). In this course, we will study different definitions of amenability, its relation to word growth of groups, isoperimetric inequalities in groups and random walks. We will study various classes of amenable and non-amenable groups, starting from classical constructions and then reviewing some very recent ones. Basic properties of amenable groups are covered by [2, 6]. The book [3] is a good reference for geometric group theory. References [1] Laurent Bartholdi, Vadim A. Kaimanovich, and Volodymyr V. Nekrashevych, On amenability of automata groups, Duke Math. J. 154 (2010), no. 3, 575–598, DOI 10.1215/00127094-2010-046, available at arXiv:math/ 0802.2837. MR2730578 (2011k :20048) [2] Tullio G. Ceccherini-Silberstein, Rostislav I. Grigorchuk, and Pierre de la Harpe, Amenability and paradoxical decompositions for pseudogroups and discrete metric spaces, Trudy Mat. Inst. Steklov. 224 (1999), no. Algebra. Topol. Differ. Uravn. i ikh Prilozh., 68–111. Dedicated to Academician Lev Semenovich Pontryagin on the occasion of his 90th birthday (Russian). MR1721 355 [3] Pierre de la Harpe, Topics in geometric group theory, University of Chicago Press, Chicago, IL, 2000. MR2001i :20081 [4] Kate Juschenko and Nicolas Monod, Cantor systems, piecewise translations and simple amenable groups, Ann. of Math. (2) 178 (2013), no. 2, 775–787, DOI 10.4007/annals.2013.178.2.7, available at arXiv:math/1204.2132. MR3071509 [5] Nicolas Monod, Groups of piecewise projective homeomorphisms, Proc. Natl. Acad. Sci. USA 110 (2013), no. 12, 4524–4527, DOI 10.1073/pnas.1218426110, available at arXiv:math/1209.5229. MR3047655 [6] Stan Wagon, The Banach-Tarski paradox, Cambridge University Press, Cambridge, 1993. With a foreword by Jan Mycielski ; Corrected reprint of the 1985 original. MR1251963 (94g :04005)
Papers for "groupe de lecture", under construction
- Følner function and Følner sequences and in polycyclic groups
Pittet, Christophe, Følner sequences in polycyclic groups. Rev. Mat. Iberoamericana 11 (1995), no. 3, 675–685. requires subscription
-Orderable amenable groups admits an infinite cyclic quotient
Morris, Dave Witte, Amenable groups that act on the line. Algebr. Geom. Topol. 6 (2006), 2509–2518, front.math.ucdavis.edu/0606.5232
-Automata groups of polynomial activity do not have free subgroups
Sidki, Said, Finite automata of polynomial growth do not generate a free group , Geom. Dedicata 108 (2004), 193–204. requires subscription
It is an open question whether all such groups are amenable
Nekrashevych, Volodymyr, Free subgroups in groups acting on rooted trees. Groups Geom. Dyn. 4 (2010), no. 4, 847–862, front.math.ucdavis.edu/0802.2554
- Properties of Thompson's group
Cannon, James W., William J. Floyd, and Walter R. Parry. "Introductory notes on Richard Thompson's groups." Enseignement Mathematique 42 (1996): 215-256. http://www.math.binghamton.edu/matt/thompson/cfp.pdf
It is a celebrated open question whether Thompson's group is amenable
-Thomposon group is not Liouville
V.Kaimanovich, Thompson's group F is not Liouville, http://lanl.arxiv.org/abs/1602.02971
P.Michshenko, Boundary of the action of Thompson group F on dyadic numbers, http://front.math.ucdavis.edu/1512.03083
(The papers above use the description of the Schreier graph given in Proposition 1 of Savchuk, Dmytro. Some graphs related to Thompson's group F http://arxiv.org/pdf/0803.0043.pdf)
-Further properties of full topological groups,
Y. de Cornulier, Groupes pleins-topologiques, d'après Matui, Juschenko-Monod..., Séminaire Bourbaki, volume 2012/2013, exposés 1059-1073 Astérisque 361 (2014), pdf
-Sofic groups
G.Elek, E.Szabó, On sofic groups, J.Group Theory, 9, 2006, 161–171, http://front.math.ucdavis.edu/0305.5352
The existence of non-sofic groups is an open question (they are believed to exist)
-Metric on subgroups of amenable groups
A. Olshanskii, D.Osin, A quasi-isometric embedding theorem for groups, front.math.ucdavis.edu/1202.6437
