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RECURSOS PARA EL CURSO DE MATEMÁTICA
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3.- http://www.stecyl.es/informes/curriculoeso/12currcyl_Matematicas.pdf
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¿Para qué sirven
las matemáticas?
Una introducción a sus propósitos
y posibilidades
En el siglo xxi, las matemáticas son una amplia disciplina
con múltiples facetas. Abarcan un extenso espectro de
actividades, que hace que parezca difícil que se puedan clasificar
todas sus manifestaciones dentro una única materia. En un
extremo, definen las bases del cálculo, tiempo y dinero que
permiten a la vida cotidiana seguir su curso. En el otro extremo,
pueden parecer un mundo cerrado, en el que grandes mentes
académicas diseñan acertijos de una colosal complejidad y
luego dedican años a tratar de resolverlos. Al mismo tiempo,
nuestros políticos insistentemente nos dicen que necesitamos más
matemáticas. ¿De qué va, entonces, todo esto de las matemáticas
y cómo encaja en nuestro mundo?
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aplicaciones obvias. También empezaron a crear, por curiosidad y
placer intelectual, acertijos matemáticos, por la misma razón por
la que nosotros podemos disfrutar con el sudoku del periódico.
Las matemáticas habían empezado a mirarse a sí mismas. Había
nacido el matemático.
Los griegos hicieron enormes progresos en torno al año
500 a.C., cuando la verdadera cultura matemática floreció. Los
estudios que realizaron han resultado influyentes a lo largo de los
siglos y todavía se estudian hoy. Las matemáticas eran consideradas como la esencia del bien supremo y eran una parte esencial
en la educación clásica. Pitágoras, Platón, Arquímedes o Euclides
son sólo algunos de los filósofos griegos que abogaron por las matemáticas y que ejercieron una influencia cientos, incluso miles,
de años después.
En los primeros siglos del Cristianismo, el péndulo se movió
hacia el otro lado, y aquellos que mostraban interés en matemáticas podían encontrarse desterrados a la periferia del mundo cultural. Alrededor del año 400, san Agustín de Hippo sugirió que «el
buen cristiano debería cuidarse de los matemáticos y aquellos que
hacen profecías vanas», condenándolos por hacer «un pacto con el
diablo para oscurecer el espíritu y recluir al hombre en las cadenas
del infierno». En aquellos días, los matemáticos estaban estrechamente conectados con las prácticas tenebrosas de los astrólogos
y la sospecha sobre propósitos potencialmente viles o heréticos
gravitó alrededor de las matemáticas por un largo período.
En el siglo xvi, el filósofo Francis Bacon lamentó el hecho
de que «el excelente uso de la matemática pura» no fuese bien
entendido, pero un signo de mejoras fue la toma de posesión de
Galileo del puesto de profesor de matemáticas en la Universidad
de Padua. Los encontronazos de Galileo con la Iglesia católica, la
cual rechazó algunos de sus hallazgos, mostraron que la tolerancia
hacia las matemáticas y sus implicaciones con la física y la astronomía tenía limitaciones. Pero a finales del siglo xvii, con Isaac
Newton y sus contemporáneos, se desata una revolución científica
y matemática, la cual cambiará para siempre la balanza cultural
de poder. Puede que el Romanticismo de finales del siglo xviii y
principios del xix menosprecie estas nuevas visiones del mundo,
y William Blake satirice sobre Newton, pero, con las matemáticas
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como el lenguaje de la ciencia, el futuro estaba seguro. El siglo xix
vio cómo las matemáticas se establecían en las universidades de
todo el mundo y fue testigo de una avalancha de nuevos estudios
que plantean muchas cuestiones. Las matemáticas habían llegado
para quedarse.
Practicidad y pureza
Existe un debate popular sobre las matemáticas, sobre si necesitarlas
es el origen de la invención matemática o si las matemáticas innovadoras crean oportunidades para su aplicación. Históricamente, las
consideraciones prácticas fueron las que guiaron a las matemáticas,
pero una vez que la materia generó su propia vida interior, surgió la
posibilidad de que el pensamiento matemático «puro» pudiese por sí
mismo crear un espacio para nuevas aplicaciones. Las buenas matemáticas nunca descartan una potencial aplicación, pero uno nunca
sabe cuándo el momento de ésta llegará. Una afinada comprensión
quizá la saque a la luz la semana que viene, o puede que permanezca
latente durante 50 o 500 años.
La historia está repleta de ejemplos de teorías puramente
matemáticas que encuentran su vertiente práctica. Los griegos en
la Antigüedad elaboraron una teoría de secciones cónicas que resultó ser justo lo que necesitaban, en el siglo xvii, Johannes Kepler
e Isaac Newton cuando afirmaron que los planetas se movían en
elipses. «Álgebra de matrices», una teoría de números multidimensionales, se desarrolló a mediados del siglo xix para resolver
problemas propios de las matemáticas y fue, precisamente esto, lo
que era necesario en la «mecánica de matrices» para la rápida evolución de la teoría cuántica de 70 años más tarde. Cuando George
Boole diseñó un sistema para convertir la lógica en álgebra, dando
lugar al «álgebra booleana», no sabía que estaba proporcionando
el lenguaje para la programación de ordenadores de un siglo después.
Hace tan sólo 50 años, el influyente matemático inglés G. H.
Hardy escribió que ejerció las matemáticas sin sentir la obligación
de tener que dotar a sus ideas de «relevancia práctica». Es más, se
reconfortaba en la teoría de números remotamente ligada a aplicaciones prácticas. No podría celebrar su aislamiento hoy en día,
no en un mundo donde su tipo de matemática pura es una de las
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de mayor importancia cuando nos referimos a la seguridad informática (véanse los capítulos ¿Podemos crear un código indescifrable? y
¿Queda algo por resolver?). Hoy tenemos muchas teorías que hacen
referencia a diferentes dimensiones, pero cuando Benoît Mandelbrot dirigió su atención hacia los «fractales» en los setenta, pocos
podrían haber adivinado su potencial utilidad (véase ¿Por qué tres
dimensiones no son suficientes?).
No obstante, los matemáticos responden, también, a necesidades. En el siglo xviii, James Watt tuvo un problema al
transformar el movimiento lineal de un pistón en su máquina
de vapor en un movimiento de rotación, con el resultado de que
una teoría de enlaces geométricos nació durante la Revolución
industrial. Cuando fue necesario descifrar códigos durante la
Segunda Guerra Mundial (véase ¿Podemos crear un código indescifrable?), se reclutaron matemáticos de las universidades por sus
habilidades especiales, y el resultado fue la construcción del primer ordenador electrónico mundial.
Así, matemática pura y matemática aplicada prolongan su relación simbiótica, algo que nunca fue más cierto que en la era de la
electrónica. Sin matemáticas, los ordenadores serían inútiles, la fotografía digital sería imposible y los teléfonos móviles permanecerían en silencio. Pero, ahora, asimismo resulta que la investigación
«pura» de matemáticos profesionales es significativamente poderosa
gracias a la capacidad de cómputo de los ordenadores: lo «aplicado»
alimenta a lo «puro» en este caso.
Las matemáticas tienen también una cara más tímida, su parte reflexiva desde un punto de vista filosófico. Su historia muestra
un movimiento que se aleja de la hipótesis de la Antigüedad, que
aseguraba que los matemáticos sacaban a la luz verdades preexistentes, y se dirige a una concepción con matices mucho más precisos,
en la que interviene la creatividad y la imaginación (véase ¿Son las
matemáticas ciertas?).
En las matemáticas modernas, el modo de proceder está
basado en axiomas y deducción lógica. Los griegos asumían la
verdad de sus axiomas, pero los matemáticos actuales esperan sólo
que los axiomas sean consistentes. En los años treinta, Kurt Gödel
sacudió al mundo de las matemáticas cuando probó su «teorema
de incompletitud», el cual afirma que existen enunciados mate-
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máticos en un sistema axiomático formal que no pueden probarse
ni rechazarse usando sólo los axiomas del sistema. En otras palabras, las matemáticas podrían ahora contener verdades no probadas que sólo podrían permanecer de ese modo.
Las matemáticas modernas pueden ser variadas y extensas
y, en su raíz, está la división del currículo escolar en aritmética,
álgebra y geometría. ¿Qué hay en su corazón y a dónde nos lleva
esto?
los números y sus propiedades
Los números naturales siguen siendo lo más importante en el repertorio matemático, son el punto de partida de los matemáticos.
La historia de su evolución (véase ¿De dónde vienen los números?) es
rica y no necesariamente tenía que haber acabado en un sistema
de «base 10» usando los símbolos 0-9. Para empezar, al principio,
el cero no existía.
Las propiedades de los números primos —números que sólo
son divisibles por sí mismos y por 1— son especialmente fascinantes. Sorprendentemente, hay muchas cosas que se desconocen sobre ellos. Todavía no se sabe cómo se distribuyen entre los números naturales, lo cual puede ser difícil de creer ya que los números
primos se conocen desde hace más de 2.000 años (véanse ¿Por qué
son los números primos los átomos de las matemáticas? y ¿Queda algo por
resolver?). Más allá de los números naturales y, de ellos, los que son
primos, el repertorio se ha extendido a lo largo de los siglos para
abarcar los números negativos, fracciones y los conocidos como
«números irracionales», de infinita longitud de cifras decimales
que no siguen ninguna pauta. Al conjunto de todos ellos, los matemáticos los llaman los números «reales» (véase ¿Cuáles son los
números más raros?).
Esto no es todo. Los números «reales» son todos unidimensionales. Se pueden concebir como la extensión por la izquierda
(números negativos) y la derecha (números positivos) en la recta
numérica. Un gran salto hacia delante llegó cuando los matemáticos se adentraron en las dos dimensiones, con lo que ellos llamaron
«números complejos» (véase ¿Son los números imaginarios realmente
imaginarios?). Éstos proporcionaron a los matemáticos más poder
para resolver ecuaciones y ofrecer nuevas teorías de análisis. Hoy,
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los números «complejos» son indispensables en el estudio de fenó-
menos tales como la electricidad y el magnetismo.
Hay, por lo tanto, muchos tipos de números, pero ¿dónde
terminan? Desde el principio de los tiempos, los matemáticos lidiaron con la idea del infinito. Se asumió, desde Aristóteles en adelante, que había un «infinito potencial», un infinito, el cual nunca
podría ser alcanzado. Pero en el siglo xix, Georg Cantor introdujo
otra noción de infinito, lo cual hizo posible hablar de muchos infinitos (véase ¿Cómo es de grande el infinito?).
Geometría, álgebra
y revoluciones matemáticas
Durante milenios, los griegos de la Grecia Clásica poseían todo
el poder en los temas referentes a la geometría y parecían ser una
autoridad incuestionable, que fijó muchas de las reglas que los
alumnos asimilan a día de hoy. En particular, Euclides construyó
un cuerpo de conocimiento geométrico basado en su irrebatible lógica y presentado como una verdad canónica. Pero, con
el paso del tiempo, las fisuras empezaron a aparecer en la geometría euclídea y, finalmente, se hizo evidente que había otras
geometrías válidas que trataban con fenómenos en dos, tres y
más dimensiones (véase ¿Dónde se cortan las rectas paralelas?) y de
las cuales ha resultado el concepto de «variedad», una forma que
tiene diferentes geometría local y global (véase ¿Qué forma tiene
el universo?). Estas geometrías es posible que encajen más que la
euclídea a la hora de definir la «geometría del universo», tema
que resulta irresistible a los físicos.
Mientras los físicos se apropian de la geometría para dar
caza a los secretos de la materia y el universo, los biólogos e investigadores médicos toman un tipo diferente de geometría, «teoría de nudos», para intentar desentrañar y analizar el ADN; una
práctica que ha dado paso a los perfiles de ADN de la medicina
forense, y que ha generado importantes ramificaciones dirigidas
a asuntos como la identificación de personas y la solución de crí-
menes. En definitiva, los matemáticos han proporcionado a los
científicos diferentes geometrías como un kit de herramientas con
la que ellos pueden seleccionar la que les parezca más apropiada
para cada trabajo concreto.
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Hay un punto en el que la geometría se traduce al lenguaje del álgebra, un desarrollo debido a Descartes en el siglo xvii.
Además, el siglo xx vio también la metamorfosis de la geometría de las simetrías en álgebra. La simetría, la escurridiza propiedad que, con frecuencia, se ha usado en matemáticas, y muchas otras áreas, para definir belleza (véase ¿Son las matemáticas
bellas?), puede ahora representarse matemáticamente gracias a la
«teoría de grupos». Los grupos se encuentran en el centro del
álgebra moderna y dan un significado a través del cual la simetría puede ser examinada a escala microscópica (véase ¿Qué es
simetría?). Los matemáticos finalmente completaron la clasificación de grupos finitos en 1981, tras un proyecto de investigación
enorme, cuyos comienzos se remontan al siglo xix. En lo que ha
venido a ser un «teorema enorme», se creó un mapa de los grupos en el cual cada grupo encaja dentro unas familias conocidas
y 26 grupos esporádicos, el mayor de éstos contiene aproximadamente 8 10
53
miembros, esto es un 8 seguido por 53 ceros.
Actualmente, la teoría de grupos ocupa un importante lugar en
la física teórica, donde las transformaciones del espacio forman
grupos y, en química y cristalografía, donde las simetrías entran
en juego, también.
«Encuentra el valor de x» en un problema de álgebra es algo
con lo que está familiarizado todo estudiante de matemáticas. Este
tipo de problemas «inversos» son un área donde las matemáticas
destacan, con aplicaciones por todas partes. En ellos, con frecuencia es necesario encontrar una «incógnita», aunque para empezar
sólo es posible establecer una relación o una ecuación en la que la
incógnita se vea envuelta. Si nos dicen, por ejemplo, que incrementando 3 metros los lados de un campo cuadrado el resultado
es un campo de 400 metros cuadrados, podemos calcular la longitud desconocida x del campo original como un problema inverso.
Usando el álgebra y «desenvolviendo» la ecuación (x + 3)
2
= 400,
nos da x = 17. Cuando el trabajo de generaciones anteriores de
matemáticos proporciona una serie de fórmulas para estas tareas,
tomamos el atajo con gusto (véase ¿Hay una fórmula para todo?).
Lanzar un cohete al espacio conlleva ecuaciones «diferenciales» y para esto está hecho el mecanismo de «el Cálculo» (véase
¿Cuál es la matemática del universo?), un método usado habitual-
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mente para medir tasas de velocidad y aceleración. Hay tipos específicos de ecuaciones diferenciales, que podemos englobar en una
bien cimentada teoría, pero hay también muchas ecuaciones que
son excepciones y no tienen soluciones exactas. Henri Poincaré
fundó una nueva rama de la teoría de ecuaciones diferenciales
como una «teoría cualitativa», la cual, se centra en las propiedades
de las soluciones más que encontrar la solución explícitamente.
Este estudio dio lugar a la teoría del «caos» (véase ¿Puede realmente
el aleteo de una mariposa provocar un huracán?) y le dio un singular
rumbo a la nueva teoría topológica, un cambio radical en el modo
que se veían las formas (véase ¿Qué forma tiene el universo?).
las nuevas y desconocidas matemáticas
«Topología» quizás no sea fácil de pronunciar para la media de los
no-matemáticos, pero otros dos hallazgos relativamente tardíos son
términos mucho más familiares: probabilidad y estadística.
Una de las creaciones modernas más destacables de las matemáticas, la teoría de la probabilidad (véase ¿Pueden las matemá-
ticas hacernos ricos?), nos permite manejar la incertidumbre de un
modo cuantitativo. Las matemáticas recreativas del siglo xvii fueron el comienzo de esta teoría, en el análisis de problemas relacionados con los juegos de azar, y ahora, resueltos y explicados
con un cálculo riguroso, está la columna vertebral para el análisis
de riesgos. La estadística, un campo relacionado con el anterior
(véase ¿Miente la estadística?), proporciona la teoría para manejar
datos de un modo adecuado y el contexto para llevar a cabo los
experimentos. La estadística tiene sus comienzos en experimentos
en la agricultura, pero ahora sus métodos son usados tan ampliamente que apenas hay una parte de la actividad humana, desde la
política a la medicina, que esté libre de la estadística.
Usando los resultados de la estadística y otras áreas de las
matemáticas se llega de un modo natural al deseo de hacer predicciones, saber el futuro (véase ¿Pueden las matemáticas predecir el
futuro?). El demógrafo quiere hacer una predicción razonable de la
población en cinco años. El corredor de bolsa tratará de adivinar
el mercado de valores basándose en la evidencia estadística y corazonadas. ¿Cómo se puede hacer esto? Éstas son preguntas difíciles,
como la tarea de predecir el tiempo, el cual depende de ecuaciones
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matemáticas que no pueden resolverse aún (véase ¿Queda algo por
resolver?), y cuya dificultad se ve agravada por el «efecto mariposa»
(véase ¿Puede realmente el aleteo de una mariposa provocar un huracán?).
Así, hay matemáticas antiguas y matemáticas recientes. Por si
acaso nos relajamos y pensamos que el trabajo ya está hecho, deberíamos recordarnos a nosotros mismos que hay también matemáticas sin resolver, y muchas (véase ¿Queda algo por resolver?). Y menos
mal, porque si ése no fuera el caso, las matemáticas se marchitarían
en el árbol. Hay algunas grandes preguntas sin resolver que tienen
perplejos a los pensadores año tras año, tales como la conjetura de
Goldbach y la hipótesis de Riemann, ambas relacionadas con los
números primos, y hay también problemas nuevos dando la lata.
Por supuesto, ha habido progresos y algunos de ellos dignos de titulares. Las matemáticas saltaron a la escena pública con la solución
del último teorema de Fermat en 1994 (véase ¿Son las matemáticas
bellas?). Antes de eso, las matemáticas y la informática unieron fuerzas para solucionar el teorema de «cuatro colores» (véase ¿Existe una
fórmula para todo?), y, recientemente, un solitario matemático ruso
sorprendió al mundo probando la centenaria conjetura de Poincaré,
y no reclamando su premio de un millón de dólares.
Entonces, ¿para qué son las matemáticas? En cierto sentido
ésta es una pregunta extraña. No se suele preguntar uno «¿para qué
es la música?» o «¿para qué es la literatura?». Se aceptan simplemente como actividades, proceso del pensamiento y ejercicios de
la imaginación con las cuales el ser humano disfruta, ha disfrutado
y disfrutará, y así debe ser. Si uno quiere buscar aplicaciones, están
por todas partes a nuestro alrededor y multiplicándose. Si uno quiere profundizar en todos los campos en los cuales las matemáticas
aportan conocimiento del mundo, del universo, de la naturaleza y
de las interacciones humanas, uno puede hacerlo también. Hay una
inestimable cantidad de cosas que los matemáticos pueden hacer, y
han hecho, de manera que la evolución no se detenga. Pero, en su
raíz, las matemáticas están motivadas por una característica básica y
que define a la humanidad: l
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