Mundtlige spørgsmål 3g

Link til karantæne-log

Ordene BEVIS og VIS betyder det samme. Med FORKLAR menes ikke et egentligt bevis. Ordene REDEGØR FOR bruges ofte når det er et bredere område, der skal omtales. Her kan indgå små-beviser fx for cirklens ligning.

Spørgsmålene er formuleret med en overskrift og nogle uddybende anvisninger af hvad der skal redegøres for eller forklares. I den første del af eksaminationen skal du besvare de konkrete anvisninger, og det skal du planlægge så du er den styrende. Den anden del er tænkt som en bredere samtale indenfor det område som den overordnered overskrift udstikker. Det vil derfor være fint at du har ideer og forslag til supplerende emner, du kunne præsentere og sætninger du kunne bevise, hvis der bliver tid. I anden halvdel vil også indgå et ukendt bilag, du skal forholde dig til.

Nederst på denne side er alle videoerne fra hele gymnasieforløbet sorteret efter emner

• Newton-Raphsons metode

• Sum af en kvotientfølge

• Løsning til lineær differensligning

1. Geometri, vektorer og trigonometri

• Definer sinus, cosinus og tangens for vilkårlige vinkler.

• Definer prikproduktet og omtal dets anvendelser.

• Bevis formlen for vinklen mellem vektorer 

• Forklar desuden om vektorfunktioner - specielt stedvektor, hastighedsvektor for en vektorfunktion.

Videoer - vigtige beviser:

• • Prikprodukt og vinkler (udfra cosinusrell.) 

Supplerende materiale:

• • Definition af sin(x), cos(x) og tan(x)

  • Trigonometriske funktioner, retvinklede trekanter og vektorer - en oversigt

  • Formler for retvinklede trekanter

  • Prikprodukt vinkler og projektion - en oversigt (en redegørelse)

    • Vektorfunktioner - en introduktion   

    • Logaritmisk spiral - vinklen mellem s(t) og v(t) er konstant  (kunne være et eksempel på en vektorfunktion)   

2. Geometri, vektorer og trigonometri   

• Vis sætningen om projektion af vektor på vektor.

• Vis at

og forklar sammenhængen mellem determinant og areal af parallellogram.

• Forklar desuden om vektorfunktioner - specielt stedvektor, hastighedsvektor for en vektorfunktion.

Videoe - vigtige beviser:

• • Projektion af vektor på vektor 

  • Determinant og areal

  • Determinant og parallelle vektorer

Supplerende materiale:

• • Definition af sin(x), cos(x) og tan(x)

  • Prikprodukt og determinant - en oversigt

  • Tværvektorens koordinater

  • Determinant og koordinater

  • Vektorfunktioner - en introduktion

  • Trigonometriske funktioner, retvinklede trekanter og vektorer - en oversigt

  • Formler for retvinklede trekanter

3. Geometri, vektorregning og vektorfunktion

• Redegør for cirklens ligning og forklar om cirkeltangenter.

• Vis sætningen om projektion af vektor på vektor.

• Forklar hvordan vektorfunktioner kan anvendes til at beskrive en cirkelbevægelse.

Videoer - vigtige beviser:

• • Cirklens ligning

  • Projektion af vektor på vektor 

Supplerende materiale

• • Cirkler og linjer - en oversigt     

  • Bestem centrum og radius for en cirkel

  • Vektorfunktioner - en introduktion

4. Vektorregning, fluxionsregning og vektorfunktion

• Redegør for cirklens ligning og giv eksempler på udregning af cirkeltangenter.

• Vis hvordan man med Newtons fluxionsregning kan bestemme at der for enhedscirklen gælder 

• Forklar om sted, hastighed og acceleration i den jævne cirkelbevægelse givet ved:

Videoer:

• • Cirkler og linjer - en oversigt     

  • Cirklens ligning

  • Bestem centrum og radius for en cirkel

  • Newtons fluxionsregning - en introduktion 

  • Newtons fluxionsregning - cirkeltangent

  • Vektorfunktioner - en introduktion

5. Differentialregning, fluxionsregning og integralregning

• Redegør for sammenhængen mellem sekanthældning og differentialkvotient og bevis at differentialkvotienten for f(x)=x^2 er f '(x)=2x  

• Sammenlign med Newtons fluxionsmetode for samme funktion dvs for kurven y-x^2=0.   

• Bevis formlen for differentiation af sammensat funktion (kædereglen) 

• Forklar om integration ved substitution.

(Der ligger ikke i spørgsmålet at I skal bevise formlen for substitution. I kan sagtens nøjes med et eksempel, men selvfølgelig kan beviset indgå. Newtons fluxionsbevis kan naturligt indgå, men hvis I ikke har så meget tid til eksamen, kan der også være en redegørelse for Newtons måde at formulere resultatet på)

Videoer - de vigtigste beviser

• • Differentiation af x^2

  • Newtons fluxionsregning - x^2

  • Kæderegel - differentiation af f(g(x)) 

Supplerende materiale

• • Definition af f '(x)   

  • Newtons fluxionsregning - en introduktion 

  • Integration ved substitution -ubestemt integral 

6. Differentialregning, fluxionsregning og vektorfunktioner

• Redegør for sammenhængen mellem sekanthældning og differentialkvotient og udled differentialkvotienter for  f(x)=1/x  

• Sammenlign med Newtons fluxionsmetode for 1/x dvs for kurven x*y=1.   

• Forklar hvordan vektorfunktioner kan anvendes til at beskrive en partikels bevægelse.

Videoer - vigtige beviser:

• • Differentiation af 1/x  

  • Newtons fluxionsregning - 1/x 

Supplerende materiale

• • Definition af f '(x)   

  • Newtons fluxionsregning - en introduktion 

7. Differentialregning, fluxionsregning og funktioner af 2 variable

• Redegør for sammenhængen mellem sekanthældning og differentialkvotient og udled differentialkvotienter for kvadratroden af x.

• Forklar hvordan man med Newtons fluxionsmetode kan vise at for kurven y^2-x=0 gælder 

og hvis y>0:

• Udregn gradienten for funktionen  og undersøg herefter om der findes stationære punkter for  f(x,y)=x^2+y^3+2x

Videoer:

• • Definition af f '(x)    

  • Differentiation af kvadratroden af x 

  • Newtons fluxionsregning - en introduktion 

  • Newtons fluxionsregning - kvadratroden af x

8. Integralregning og differentialregning

• Forklar hvordan man kontrollerer om en funktion er stamfunktion med integrationsprøven.

• Bevis integralregningens hovedsætning: A'(x)=f(x)

• Vis at integralet bestemmer arealet under grafen for en funktion, hvis den er positiv i hele det område vi integrerer.

• Giv eksempler på anvendelse af integralregning til bestemmelse af et omdrejningslegemes volumen.

Videoer - de vigtigste beviser:

• • Arealfunktionen er en stamfunktion til f(x)     -   integralregningens hovedsætning    

  • Integralet angiver arealet under grafen

Supplerende materiale:

• • Integralregning - en redegørelse

  • RF af kegle - anvendelse af integralregning

9. Integralregning og differentialregning

• Forklar hvordan man kontrollerer om en funktion er stamfunktion med integrationsprøven.

• Bevis integralregningens hovedsætning:A'(x)=f(x)

• Forklar om numerisk integration.     Den skal vi se på 

(Der ligger ikke i spørgsmålet at I skal bevise formlen for substitution. Det er nok med et eksempel, men selvfølgelig kan beviset indgå) 

Videoer - vigtige beviser:

• • Arealfunktionen er en stamfunktion til f(x)     -   integralregningens hovedsætning    

  • Numerisk integration     

Supplerende materiale

• • Integralet angiver arealet under grafen

  • Integration ved substitution -ubestemt integral

10. Differentialregning, differentialligninger og potensfunktioner

• Redegør for sammenhængen mellem sekanthældning og differentialkvotient og bevis derefter at (exp(x))'=exp(x) Den skal vi se på 

• Bevis at (a^x)'=ln(a)*a^x

• Forklar hvordan vi kan kontrollere at

er løsning til differentialligningen

Videoer:

• • Definition af f '(x)    

  • Differentiantion af e^x  

  • Differentiation af a^x 

  • y'=b-ay  den fuldstændige løsning

11. Differentialregning og differentialligninger

• Bevis at (f(x)*g(x))'=f'(x)*g(x)+f(x)*g'(x)

• Bevis at (f(g(x)))'=f'(g(x))*g'(x) 

• Forklar hvordan vi kan kontrollere at

er løsning til differentialligningen

(De står ikke i spørgsmålet at du skal bevise den fuldstændige løsning til y'=k*y men bare at du skal kontrollere at det er en løsning. Hvis du har tid kan du selvfølgelig godt gøre det)

Videoer - centrale beviser:

• • Differentiation af f(x)*g(x) 

  • Kæderegel - differentiation af f(g(x)) 

  • y'=b-ay  den fuldstændige løsning (Det er kun 1.del af sætningen med kontrol af løsning der spørges til)

Suplerende materiale:

• • Modeller - forskudt eksponentiel vækst og differentialligninger

12. Integralregning og sandsynlighedsregning.

• Bevis integralregningens hovedsætning:A'(x)=f(x)

• Introducer normalfordelingen og forklar betydningen af følgende to funktioner

• Forklar hvordan arealberegning kan benyttes til beregninger i en normalfordeling.

Videoer:

• • Arealfunktionen er en stamfunktion til f(x)     -   integralregningens hovedsætning    

  • Integralet angiver arealet under grafen

Vi mangler noget om normalfordelingen

13. Differentialligninger og vækstmodeller

• Giv eksempler på differentialligninger og forklar, hvordan der gøres prøve.

• Bevis at differentialligningen 

har den fuldstændige løsning 

• Forklar hvilken vækstmodel vi har her og vis hvordan fremskrivningsfaktor og fordoblingstid/halveringstid kan bestemmes

Videoer - vigtige beviser:

• • y'=k*y  den fuldstændige løsning

  • Sammenhængen mellem y'=k*y og eksponentiel vækst 

Supplerende materiale

• • En differentialligning er ... ny udgave

  • Modeller - eksponentiel vækst og differentialligninger

14. Differentialligninger og vækstmodeller

• Giv eksempler på differentialligninger og forklar, hvordan der gøres prøve.

• Bevis at differentialligningen

 har den fuldstændige løsning 

• • Giv eksempler på anvendelser af differentialligningsmodellen y'=b-a*y.

Videoer:

• • Oversigt over forskudt eksponentiel vækst og differentialligninger  (videoen mangler)

  • y'=b-ay  den fuldstændige løsning

  • Sammenhængen mellem y'=b-a*y og forskudt eksponentiel vækst

  • Modeller - forskudt eksponentiel vækst og differentialligninger

15. Harmonisk svingning og differentialregning

• Forklar om radianer og gradtal og definer sinus vha. enhedscirklen.

• Bevis formlen for vinklen mellem vektorer 

• Præsenter cirklens ligning og parameterfremstillingen for cirklen

• Forklar om konstanternes betydning for den harmoniske svingning for grafens form herunder dens periode

Videoer - vigtige beviser:   

• • Den harmoniske svingning - parametrenes betydning

  • Prikprodukt og vinkler (udfra cosinusrell.)       

Supplerende materiale

• • Definition af sin(x), cos(x) og tan(x)

  • Formler for retvinklede trekanter

  • Prikprodukt vinkler og projektion - en oversigt (en redegørelse)

  • Trigonometriske funktioner, retvinklede trekanter og vektorer - en oversigt

16. Vektorfunktion og vektorregning

• Præsenter vektorfunktion, herunder stedvektor, hastighedsvektor og dobbeltpunkter.

• Bevis at hastighedsvektoren og stedvektoren har en konstant vinkel i den logaritmiske spiral

• • Redegør for hvilke centrale sætninger fra vektorregning og differentialregning vi har brugt

Videoer - vigtige beviser

• • Logaritmisk spiral - vinklen mellem s(t) og v(t) er konstant   Beviset er slut 7:07

  • Log.spiral - v. ml. s(t) og v(t) er konstant  - geometrisk ver        Spring til DET NYE 3:50

Supplerende materiale

• • Vektorfunktioner - en introduktion

  • Prikprodukt og vinkler (udfra cosinusrell.) 

17. Differentialregning 

• Redegør for sammenhængen mellem sekanthældning og differentialkvotient 

• Bevis at (f(g(x)))'=f'(g(x))*g'(x) 

• Bevis at  (a^x)'=ln(a)*a^x

• Giv eksempler på anvendelse af differentialregning

(Der står ikke at du skal bevise hvordan man differentierer e^x. Hvis du kan nå det er det fint, men du kan også bare bruge sætningen (e^x)'=e^x. )

Videoer - centrale beviser:

• • Differentiation af f(x)*g(x) 

  • Kæderegel - differentiation af f(g(x)) 

  • Differentiation af a^x 

Suplerende materiale:

• • Differentiantion af e^x  

  • Definition af f '(x)    

Videoerne sorteret efter emner

Vækstmodeller (1g+2g)

• Lineær vækst og lineær funktion - en redegørelse    

• (Lineær vækst og lineær funktion - en mindre teoretisk redegørelse ud fra eksempler  )  

• To-punkts-formel for lineær funktion                     ( puslespil )

• Vækstegenskaber for lineære funktioner (bevist ud fra to-punkts-formlen for a)

• (Vækstformel for lineær vækst - et  andet bevis)

• Eksponentiel vækst og eksponentialfunktion - en redegørelse

• Eksponentiel vækst og eksponentialfunktionen - en redegørelse ud fra eksempler

• To-punkts-formel for eksponentialfunktioner

• Vækstegenskaber for eksponentialfunktioner (bevist ud fra to-punkts-formlen for a) 

• Vækstformel for eksponentiel vækst (vist ud fra forskriften)

• Fordoblingtid/halveringstid

• To-punkts-formel for potensfunktioner

• (Tre vækstmodeller - en oversigt  TEORETISK TILGANG)    

• (Vækstmodeller - en redegørelse ud fra eksempler KONKRET TILGANG

Andengradspolynomiet og andengradsligningen

• Andengradsligningen          ( puslespil )

• Andengradspolynomiet - betydning af a, b, c og d

• b er tangenthældningen (uddrag af en større video)

• Top-punktsformel

• Parallelforskydning af andengradspolynomiets graf - a styrer grafens form

Trigonometri

• Trigonometriske funktioner, retvinklede trekanter og vektorer - en oversigt

• Definition af sin(x), cos(x) og tan(x)

• Formler for retvinklede trekanter

• Arealformlen

• Sinusrelationen

• Cosinusrelationen -spids vinkel       cosinusrel. - stump vinkel

• Tan(x) - grafisk tolkning

• Linjens vinkel med x-aksen a=tan(v)

• Euklid II-12 ... en historisk vinkel på cosinusrelationen      (på "papir")

• De fem trekantstilfælde

• Den harmoniske svingning - parametrenes betydning

Vektorregning

• Prikprodukt vinkler og projektion - en oversigt (en redegørelse)

• Prikprodukt og vinkler (udfra cosinusrell.)       

• Projektion af vektor på vektor 

• Prikprodukt og determinant - en oversigt

• Tværvektorens koordinater

• Determinant og koordinater

• Determinant og areal

• Determinant og parallelle vektorer

• Linjens ligning (med normalvektor) 

• Linjer og vektorer - en oversigt (en redegørelse)

• Linjens parameterfremstilling (A-niveau)     Linjens parameterfremstilling B-niveau        https://youtu.be/mcWfVdWugvU

• Linjens ligning (med normalvektor) 

• Ortogonale linjer og hældningskoefficient

• Afstand fra punkt til linje

• Cirkler og linjer - en oversigt     

• Cirklens ligning

• Bestem centrum og radius for en cirkel 

Differentialregning

• Definition af f '(x)   

• Differentialregning - en oversigt fra 2.g

• Differentiation af x^2

• Differentiation af kvadratroden af x

• Differentiation af 1/x  

• Differentiation af x^n           (Spring indledning over og gå direkte til beviset)     

• Differentiantion af e^x       (Lidt om df af e^x )  

• Differentiation af a^x  

•     

• Differentiation af k*f(x)

• Differentiation af f(x)+g(x)   

• Differentiation af f(x)*g(x) 

• Kæderegel - differentiation af f(g(x)) 

•  

• Top-punktsformel for andengradspolynomiet

• Monotoniforhold for lineære funktioner vist ud fra differentialregning  

Fluxionsregning - historisk vinkel på differentialregning

• Newtons fluxionsregning - en introduktion 

• Newtons fluxionsregning - x^2

• Newtons fluxionsregning - 1/x

• Newtons fluxionsregning - kvadratroden af x

• Newtons fluxionsregning - cirkeltangent

Vektorfunktioner 

• Vektorfunktioner - en introduktion

• Logaritmisk spiral - vinklen mellem s(t) og v(t) er konstant - ver 1  

• Logaritmiskspiral - vinklen mellem s(t) og v(t) er konstant  - ver 2 - Geometrisk

Integralregning

• Integralregning - en redegørelse

• Integralregning og areal under og mellem polynomier - en redegørelse.

• Integralet af f(x)-g(x) og regneregler for stamfunktioner - en redegørelse

• Definition af stamfunktion, bestemt og ubestemt integral

• Stamfunktion til specielle funktioner

• Stamfunktion til polynomier

• Arealfunktionen er en stamfunktion til f(x)     -   integralregningens hovedsætning    

• Integralet angiver arealet under grafen

• Integralet afhænger ikke af den valgte stamfunktion   

• Regneregler for stamfunktion/ubestemt integral

• Definition og entydighed af stamfunktion  - en lidt mere teoretisk tilgang

• Numerisk integration

• Indskudssætningen

• Integration ved substitution -ubestemt integral  

• RF af kegle - anvendelse af integralregning

Differentialligninger

• En differentialligning er ... ny udgave

• y'=k den fuldstændige løsning

• Oversigt over eksponentiel vækst og differentialligninger  (videoen mangler)

• y'=k*y  den fuldstændige løsning

• Sammenhængen mellem y'=k*y og eksponentiel vækst 

• Modeller - eksponentiel vækst og differentialligninger

  • Oversigt over forskudt eksponentiel vækst og differentialligninger  (videoen mangler)

• y'=b-ay  den fuldstændige løsning

• Sammenhængen mellem y'=b-a*y og forskudt eksponentiel vækst

• Modeller - forskudt eksponentiel vækst og differentialligninge

• Oversigt over logistisk vækst og differentialligninger   (videoen mangler)

• Egenskaber for logistisk vækst

• Fuldstændig løsning for den logistiske differentialligning y'=(b-ay)*y

• Vækstmodeller og grafer -   dels y som fu af x  og dels y' som fu af y (Videoen præsenterer logistisk vækst som lidt anderledes ... den skal måske laves om)

Sandsynlighedsregning og statistik

• Binomialfordeling - en redegørelse

• Binomialfordeling - simulation eller sandsynlighedsregning

• Binomialkoefficient

• Normalfordeling - tæthedsfunktion, fordelingsfunktion, normalområde mm   (Videoen mangler)