¡Bienvenidos, alumnos! En esta unidad exploraremos un método clásico para el cálculo de raíces cuadradas mediante aproximaciones sucesivas. Lo fascinante de este concepto —la iteración— es que no solo pertenece a la matemática tradicional, sino que constituye el pilar fundamental sobre el que se construye la Inteligencia Artificial moderna.
En las redes neuronales artificiales, el proceso de aprendizaje (entrenamiento) sigue exactamente la misma filosofía: se parte de una suposición inicial aleatoria (pesos), se calcula el error respecto al resultado deseado y, mediante un algoritmo iterativo (como el Descenso del Gradiente), se actualizan los valores paso a paso hasta minimizar el error y hallar la solución óptima.
Tomemos como ejemplo el cálculo de la raíz cuadrada de un número cualquiera, al que llamaremos S. Si queremos aproximar la raíz de este número, podemos partir de una estimación inicial razonable, x0.
Al elegir x0, cometemos un pequeño error que denotaremos como a. Por lo tanto, el valor exacto de la raíz será:
√S = x0 + a
Si elevamos ambos miembros al cuadrado para eliminar la raíz, obtenemos:
S = (x0 + a)2 = x02 + 2x0a + a2
Asumiendo que nuestra aproximación inicial es buena, el error a será un valor pequeño. Por consiguiente, su cuadrado (a2) será un número extremadamente pequeño, tanto que podemos despreciarlo en nuestra ecuación sin cometer una desviación significativa. Al eliminar a2, podemos despejar el error a de forma lineal:
S ≈ x02 + 2x0a → a ≈ (S - x02) / (2x0)
Sustituyendo este valor de a en nuestra ecuación original, obtenemos la fórmula de recurrencia que nos proporcionará una aproximación mucho mejor (x1):
xn+1 = xn + (S - xn2) / (2xn)
Si aplicamos esta fórmula sucesivamente para hallar la raíz de 3 (S = 3) partiendo de una primera aproximación burda de x0 = 1, observamos cómo el valor converge rápidamente hacia el valor real (~1.7320508076). Nunca se alcanzará el valor real porque un número irracional tiene infinitas cifras decimales no periódicas pero si tomas como valor real por ejemplo 25 cifras, en pocas iteraciones darás con ese valor. Te animo a que lo pruebes con la aplicación que te pongo y que pruebes con otras raíces.
Este algoritmo de cálculo no es el tradicional "de la caja" y a mano se tarda quizá algo más pero teniendo máquinas que calculen es rápido y seguro. En este proceso el resultado va mejorando a medida que introducimos el resultado anterior. Esto está en la base, como hemos dicho más arriba, de las redes neuronales que configuran la IA.ración (n)
Operación Matemática
Resultado obtenido (xn