ECUACIONES
Iniciamos un "Tema nuevo" que ya se ha trabajado otros años. En este curso queremos darle importancia a la comprensión de lo que se hace y no a la resolución sin más de diferentes tipos de ecuaciones ( practicar más "el ojo" que "la mano", la mirada que la resolución sin más; O por lo menos pasar siempre por la mirada antes que por la acción).
Lo primero es decir que para tener una ecuación ha de existir siempre una variable, una incógita, que cumple una determinada condición y cuyo valor queremos conocer. Para estar seguros de que tenemos una ecuación debe de existir el signo = . Podría haber otros signos como mayor, menor, mayor o igual o menoro o igual, en cuyo caso no tendríamos una ecuación sino una inecuación. En una ecuación ambos lados son equivalentes, es decir , que puedo leer de derecha a izquierda o de izquierda a derecha y no pasa nada. En una inecuación no lo puedo hacer así. Lo que es menor en un lado es mayor en el otro.
En este tema es fundamental el uso de Geogebra pues continuamente vamos a interpretar gráficamente lo que estamos haciendo.
Te propongo resolver las siguientes ecuaciones de tres formas : ( a simple vista, analíticamente y gráficamente)
2x+5=3x+4
3x-3=3x-4
2x-1=2x-1
Resolver una ecuación es encontrar el valor de la x que hace que la igualdad se cumpla.
Recuerda que para hacer las ecuaciones solo se pueden resolver mediante los criterios de Equivalencia:
1) Si se suma o resta a ambos lados de la igualdad un mismo número o una misma expresión algebraica la ecuación obtenida es equivalente ( tiene las mismas soluciones) que la anterior.
2) Si se multiplica o divide a ambos lados de la igualdad por un mismo número distinto de cero, la ecuación obtenida es equivalente ( tiene las mismas soluciones) que la anterior.
3)
Hablaremos de los dos criterios que quedan para la resolución de ecuaciones de grado 2 e irracionales.
Rectas que se cortan
Cuando hago una ecuación de primer grado como la que me ha planteado el ejercicio 2x+5=3x+4 , desde el punto de vista gráfico estoy haciendo el punto de corte entre dos rectas. Como vemos en la gráfica realizada en Geogebra las rectas se cortan en un punto, con lo cual hay solución, y la x de ese punto de corte es x=1, la solución de la ecuación.
Luego es fácil ver la solución de una ecuación si lo representamos gráficamente. Otra cosa que podemos ver es que si metemos x=1 en el término de la izquierda y de la derecha nos queda 2.1+5=3.1+4 , es decir, 7=7. Este valor esta en la coordenada y del punto de corte. No nos importa de momento para resolver ecuaciones ( cuya solución es la coordenada x)
Podemos pensar ya que si las rectas que represento no se cortan, es decir son paralelas, la ecuación no va a tener solución.
Rectas paralelas
3x-3=3x-4 Si miramos esta ecuación (recuerda : ¡hay que mirar antes de hacer! ¡ Los ojos antes que las manos! ) Esta ecuación ya nos dice que no va a tener solución pues no lo mismo a cierto número 3x restarle 3 que restarle 4.
Gráficamente vemos que me salen dos rectas con la misma pendiente, es decir , dos rectas paralelas. Por lo tanto no se cortan y eso indica que la ecuación no tiene solución.
Si hicieras el desarrollo algebraico llegarías a una expresión formalmente incorrecta del tipo 1=0 . Si te queda esto no hagas cosas raras. Esto significa que la ecuación planteada inicialmente no tiene solución para ningún valor real.
Rectas Coincidentes
En este caso 2x-1=2x-1 tenemos una identidad que se cumple para cualquier valor de x. Si representamos las rectas vemos que son coincidentes, es decir, que una está encima de la otra y por lo tanto se cortan en todos los puntos. Eso significa que cualquier número real es solución de esta ecuación.
Si hiciera el desarrollo algebraico me podría quedar un resultado del tipo 0=0 lo cual es verdad en todos los casos y significa que la ecuación de partida tiene todas las soluciones que quiera imaginar.