Charlas 2022
Felippe Soares Guimarães (Universidade de São Paulo).
Día y hora: 5 de diciembre de 2022 - 14.30hs.
Modalidad: Presencial.
Título: The kappa-nullity of Riemannian manifolds and their splitting tensors.
Resumen: We consider Riemannian n-manifolds M with nontrivial kappa-nullity ``distribution'' of the curvature tensor R, namely, the variable rank distribution of tangent subspaces to M where R coincides with the curvature tensor of a space of constant curvature kappa (kappa in R) is nontrivial. We obtain classification theorems under different additional assumptions, in terms of low nullity/conullity, controlled scalar curvature or existence of quotients of finite volume. We prove new results, but also revisit previous ones. Joint work with Claudio Gorodski.
Eduardo Hulett (Universidad Nacional de Córdoba)
Día y hora: 24 de noviembre de 2022 - 14.30hs.
Título: Control de roto-traslaciones y geodésicas.
Resumen: La charla se basa en un trabajo en conjunto con Marcos Salvai y Paola Moas.
Describiremos una familia de espacios simétricos M=G/K que tienen la propiedad que para cada traslación infinitesimal a lo largo de una geodésica en M, hay una rotación infinitesimal distinguida alrededor de ella (el ejemplo más natural es el de M = R^3). En cada caso las roto-traslaciones distinguidas tienen distribuciones invariantes a izquierda definidas en los grupos de isometrías G de estos espacios simétricos.
De manera informal una curva en G (pensada como un movimiento de M) es admisible si en cada instante, a nivel infinitesimal, trasladar en alguna dirección conlleva realizar al mismo tiempo una rotación distinguida alrededor de esa dirección.
Daremos condiciones para la controlabilidad de estas distribuciones y estudiaremos las geodésicas subriemannianas asociadas a métricas invariantes a izquierda definidas sobre las distribuciones mencionadas arriba.
Día y hora: 10 de noviembre de 2022 - 16.30hs.
Título: Hermitian manifolds with flat Gauduchon connections.
Resumen: On a generic Hermitian manifold, the complex structure is not compatible with the Levi-Civita connection. Instead, one considers metric connections that are compatible with the complex structure. The space of such connections is in general infinite dimensional. In the 90's, Gauduchon introduced a "canonical" one dimensional subspace which included all previously distinguished Hermitian connections (in particular, the Chern and Bismut connections). In this talk, we will discuss some recent results regarding the curvature properties of these connections. In particular, we will present the classification of compact Hermitian manifolds with flat Gauduchon connection by confirming a conjecture of Yang and Zheng. This is based on joint work with Ramiro Lafuente.
Día y hora: 27 de octubre de 2022 - 14.30hs.
Título: Solvariedades complejas con fibrado canónico holomórficamente trivial invariante y no invariante.
Resumen: El fibrado canónico de una variedad compleja de dimensión compleja n es el fibrado de líneas holomorfo que se obtiene al tomar el producto wedge n veces del fibrado cotangente holomorfo de la variedad. En los últimos años se ha estudiado mucho el caso en donde este fibrado es holomórficamente trivial, o lo que es equivalente, que la variedad admita una (n,0)-forma holomorfa nunca nula. Se sabe por ejemplo que cualquier variedad paralelizable compleja tiene esta propiedad, y también las nilvariedades complejas equipadas con una estructura compleja invariante [Cavalcanti-Gualtieri, Barberis-Dotti-Verbitsky]. La charla estará dividida en 3 partes: primero daré una caracterización reciente que hemos encontrado de álgebras de Lie equipadas con una estructura compleja que admiten una (n,0)-forma holomorfa y veremos algunas consecuencias, incluida una aplicación a la geometría hipercompleja. Luego veremos ejemplos de solvariedades que admiten una (n,0)-forma holomorfa no invariante, y finalmente construiremos ejemplos de variedades complejas compactas con fibrado holomórficamente trivial empezando con dos variedades de casi contacto normales. Trabajo en conjunto (en progreso) con Adrián Andrada.
Día y hora: 13 de octubre de 2022 - 14.30hs.
Título: Estabilidad de la métrica estándar en ciertos espacios homogéneos compactos.
Resumen: Cuando un grupo de Lie G compacto es semisimple, existe una métrica Riemanniana canónica en el espacio homogéneo M=G/K proporcionada por la forma de Killing del álgebra de Lie de G, esta métrica es llamada métrica estándar y es Einstein si y sólo si es un punto crítico de la funcional de curvatura escalar. Podemos preguntarnos entonces qué tipo de punto crítico es y estudiar su estabilidad.
En esta charla presentaremos algunos preliminares del tema y resultados obtenidos en relación a la estabilidad de la métrica estándar en espacios homogéneos compactos con G no simple donde se sabe que esta es Einstein, por ejemplo, los espacios Ledger-Obata.
Trabajo en preparación conjunto con J. Lauret.
Día y hora: 15 de septiembre de 2022 - 14.30hs.
Título: Métricas pseudo-Kähler y deformaciones holomorfas.
Resumen: Sea M una variedad diferenciable 2n-dimensional. Una estructura pseudo-Kähler sobre M es un par (J,omega), donde J es una estructura compleja y omega una forma simpléctica que verifican la condición de compatibilidad omega(J., J.) = omega(.,.).
Cuando g(.,.)=omega(.,J.) es una métrica definida positiva, la variedad (M,J,omega) es Kähler y un resultado bien conocido de Kodaira-Spencer asegura que para toda pequeña deformación J_t de la estructura compleja inicial J_0:=J es posible encontrar una forma simpléctica omega_t de manera que la variedad (M,J_t,omega_t) también es Kähler para todo t distinto 0 suficientemente pequeño. Por este motivo, se dice que "ser Kähler'' es una propiedad estable.
En esta charla veremos que no se puede asegurar un comportamiento similar para variedades pseudo-Kähler, esto es, cuando g deja de ser una métrica definida positiva. Para ilustrar este hecho haremos uso de nilvariedades con estructura compleja invariante, presentando también algunos resultados sobre existencia de métricas pseudo-Kähler en ellas. Además, la no estabilidad de las estructuras pseudo-Kähler nos llevará a plantear el problema de encontrar condiciones sobre las familias de variedades complejas (M,J_t) bajo las cuales la existencia de omega_t compatible con J_t quede asegurada. También analizaremos este problema para otras estructuras relacionadas, como las métricas neutrales Calabi-Yau.
Andrei Moroianu (Centre National de la Recherche Scientifique, France)
Día y hora: 25 de agosto de 2022 - 14.30hs.
Título: Killing and conformal Killing forms on Riemannian manifolds.
Resumen: In the first part of the talk I will recall the basic properties of (conformal) Killing forms and give their classification on compact manifolds with special holonomy and on 4-dimensional manifolds. In the second part I will focus on some recent results obtained with Viviana del Barco on 2-step nilmanifolds.
Marcos Salvai (Universidad Nacional de Córdoba)
Día y hora: 18 de agosto de 2022 - 14.30hs.
Título: Calibraciones y la helicidad de secciones de marcos tangentes ortonormales..
Resumen: Sea M una variedad riemanniana orientada de dimensión tres. Definimos la helicidad de una sección local del fibrado SO(M) --> M de todos sus marcos tangentes ortonormales positivamente orientados. Cuando M es una forma espacial, relacionamos este concepto con una métrica pseudo-riemanniana split invariante apropiada en Iso_o (M) (que puede identificarse con SO (M)): Una sección local tiene helicidad positiva si y solo si determina una subvariedad espacial. En el caso euclídeo encontramos secciones explícitas que maximizan homológicamente el volumen, mediante una calibración lagrangiana especial split.
Presentamos la noción de helicidad óptima y hallamos una sección global con esa propiedad para la esfera de dimensión tres. Probamos que también maximiza homológicamente el volumen (con una calibración común, de un punto). Además, mostramos que no existen secciones de helicidad óptima en los casos euclídeo e hiperbólico.
Día y hora: 30 de junio de 2022.
Título: Variedades complejas no-Kähler con fibrado canónico trivial.
Resumen: Una variedad compleja de dimensión compleja n tiene fibrado canónico holomórficamente trivial if admite una (n,0)-forma holomorfa nunca nula. Recientemente ha habido mucho interés en el estudio de variedades complejas compactas con esta propiedad. Por ejemplo, una nilvariedad compleja con estructura compleja invariante posee fibrado canónico trivial, y es Kähler sólo si es un toro. En esta charla daremos nuevos ejemplos de este tipo de variedades complejas: primero, entre solvariedades con estructura de Vaisman, y en segundo lugar, entre las variedades de Morimoto (es decir, variedades complejas obtenidas como el producto de dos variedades de casi contacto normales). Si el tiempo lo permite, daremos otras propiedades hermitianas de estas variedades de Morimoto.
Trabajo conjunto con M. Origlia and A. Tolcachier.
Día y hora: 9 de junio de 2022.
Título: Aportes de mujeres geómetras de Córdoba.
Resumen: En ocasión del día internacional de las mujeres en Matemática, daré un panorama general de los aportes matemáticos realizados por mujeres geómetras de Córdoba.
Día y hora: 26 de mayo de 2022.
Título: Preservación de los vínculos en EDP de primer orden en derivadas.
Resumen: En general, los sistemas físicos vienen descritos por conjuntos de Ecuaciones en Derivadas Parciales (EDP). A su vez, estas ecuaciones se suelen dividir en dos subconjuntos, las ecuaciones de evolución y las de vínculos. Un método utilizado para encontrar soluciones a estas ecuaciones, dado un dato inicial, es el enfoque de evolución libre. El mismo consiste en obtener soluciones de todo el sistema resolviendo únicamente las ecuaciones de evolución. Para que este método funcione es necesario que los datos iniciales satisfagan los vínculos y que estos se preserven en la evolución. En esta charla, consideraremos EDP genéricas de primer orden en derivadas, y estableceremos condiciones suficientes para estas ecuaciones que garanticen la preservación de los vínculos. Para ello, derivaremos las ecuaciones de evolución de los vínculos, discutiremos su hiperbolicidad fuerte y su relación con la descomposición de Kronecker de matrices penciles.
Día y hora: 28 de abril de 2022, 14.30 hs.
Título: Estabilidad de variedades homogéneas Einstein
Resumen: Una métrica Riemanniana es Einstein si y sólo si es un punto crítico de la funcional curvatura escalar, y es considerada muy distinguida si además es un máximo local. Luego de varios preliminares, se revisarán en esta charla algunos resultados obtenidos en el caso de métricas G-invariantes en un espacio homogéneo compacto M=G/K.
Trabajos en colaboración con Emilio Lauret (Universidad Nacional del Sur y INMABB (CONICET), Argentina) y Cynthia Will (Universidad Nacional de Córdoba y CIEM (CONICET), Argentina).