Aula 1 CONTAR, MEDIR, SOMAR

Números Naturais. Sistemas de numeração de posição. Base. Irracionalidade da raiz quadrada de 2. Somas infinitas. Paradoxo de Zenon. Definição de limite de sequência. Os Números Reais. Soma de progressão geométrica. Somatório de 1/n e de 1/ n².

Aula 2 LIMITES, ÁREAS, TANGENTES

Limite de sequência. Área. Taxa de variação e tangente. Limite de função. Limite de soma e de produto de funções

Aula 4 PRIMEIRAS RAZÕES PARA APRENDER DERIVADA

Máximos e mínimos, raízes de polinômios, estudo de gráficos de funções.

Aula 6 TESTE 2

link para o TESTE 2

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Aula 7: CONSTRUÇÃO DOS NÚMEROS REAIS

Abra o livro do Spivak e estude os capítulos 1 e 2. Dê uma olhada nos exercícios. Cada vez que um deles lhe der medo, pare e dê uma pensada nele.

Se estiver tranquil@, vá para o 28 e faça o mesmo. Dependendo do entusiasmo, veja também o 27 e o 29.

Se você chegou até aqui, encare os capítulos 5, 6, 7 e 8.

Agora dá uma folheada no 1º capítulo do Courant-John.

Você já pode folhear os 3 livros, fuçar na internet, decidir o que quer aprender...

Aula 10: DEFINIÇÃO DE DERIVADA. DERIVADA DE POLINÔMIO. DERIVADA DO SENO. DERIVADA DO LOGARITMO. REGRA DA CADEIA

Aula 11 DERIVADA:, TEOREMA DO VALOR INTERMEDIÁRIO, TEOREMA DO VALOR MÉDIO.

Aula 13 INTEGRAL DEFINIDA

Somas inferiores e somas superiores, Somas de Riemann. Definição de integral. Propriedades da integral.

Não sei distinguir no céu as várias constelações

Cecília Meireles

Não sei distinguir no céu as várias constelações:

não sei os nomes de todos os peixes e flores,

nem dos rios nem das montanhas:

caminho por entre secretas coisas,

a cada lugar em que meus olhos pousam,

minha boca dirige uma pergunta.

Não sei o nome de todos os habitantes do mundo.

nem verei jamais todos os seus rostos,

embora sejam meus contemporâneos.

Não, não sei, na verdade, como são em corpo e alma

todos os meus amigos e parentes.

Não entendo todas as coisas que dizem,

não compreendo bem de que vivem, como vivem,

como pensam que estão vivendo.

Não me conheço completamente,

só nos espelhos me encontro, tenho

muita pena de mim.

Não penso todos os dias exatamente do

mesmo modo.

As mesmas coisas me parecem a cada instante diversas.

Amo e desamo, sofro e deixo de sofrer,

ao mesmo tempo, nas mesmas circunstâncias.

Aprendo e desaprendo,

esqueço e lembro,

meu Deus, que águas são estas onde vivo,

que ondulam em mim, dentro e fora de mim?

Se dizem meu nome, atendo por hábito.

Que nome é o meu?

Ignoro tudo.

Quando alguém diz que sabe alguma coisa,

fico perplexa:

ou estará enganado, ou é um farsante

- ou somente eu ignoro e me ignoro desta maneira?

E os homens combatem pelo que julgam saber.

E eu, que estudo tanto,

inclino a cabeça sem ilusões,

e a minha ignorância enche-me de lágrimas as mãos.

AULA 22 COMPRIMENTO, ÁREA, ÂNGULO

AULA 23 COMPRIMENTO DE ARCO, ÁREA VARRIDA, VARIAÇÃO DE ÂNGULO

Aula 28 POLINÔMIO DE TAYLOR COM RESTO E SÉRIES DE NEWTON

Estimativa de erro na aproximação por polinômios de Taylor. Séries das funções exponencial, logaritmo, seno, cosseno e arco tangente. Cálculo aproximado da função seno com poucos termos da série de Taylor. Raio de convergência. Comentário sobre séries de números complexos. Fórmula de Euler.

AULA 34 CONVERGÊNCIA UNIFORME, DERIVABILIDADE E INTEGRABILIDADE DE SÉRIES DE POTÊNCIAS

AULA 35 A TRANSIÇÃO NEWTON - FOURIER

As questões pendentes sobre as séries de Newton. O raio de convergência. A fórmula integral de Cauchy e o raio de converggência. As séries de Fourier e suas questões. Weierstrass: função contínua mas sem derivada. O Teorema de Aproximação de Weierstrass.

AULA 37 SÉRIES DE FOURIER E GEOMETRIA

Teorema de Pitágoras, Produto Escalar. O Truque de Fourier e o Produto Escalar de Fourier-Von Neumann. Distância entre duas funções. Covergência uniforme e convergência L². Projeção ortogonal e aproximação.

AULA 38 DE NEWTON A CAUCHY; DE FOURIER A CARLESON - 300 ANOS DE HISTÓRIA

Newton (circa 1664) : séries de potências. Programa de Newton: derivar, integrar, aproximar. Euler e as séries de potências de variável complexa, alguma luz sobre o mistério dos raios de convergência. Cauchy e a Teoria de Funções de Variável Complexa, mistério elucidado. Sistema massa-mola, modelo de adequação das Séries de Newton. Corda vibrante e transferência de calor: inadequação das Séries de Newton. Euler, Bernoulli e as séries trigonométricas. Fourier e a propagação de calor. O Método de Fourier e a solução de Fourier. O problema da representação de uma função por série de Fourier. Momento histórico: o processo de transição, no livro de Fourier, das Séries de Newton para as Séries de Fourier. Adequação das Séries de Fourier às funções não diferenciáveis. Expectativas de Fourier quanto à posteridade. Tipos de convergência: convergências simples, uniforme e L². Comentários sobre convergência simples e convergência uniforme. A convergência L² e o produto escalar. Produto escalar de Hamilton e produto escalar de Fourier-Von Neumann. Propriedade de otimização da aproximação por séries de Fourier: projeção no espaço dos polinômios trigonométricos de grau no máximo n. A questão da convergência pontual das séries de Fourier: um século de vitórias e derrotas. Teorema de Carleson (1966): vitória final.

Não tive tempo de gravar um vídeo eu mesmo. Este tem seus problemas (língua, ângulo de filmagem e evita discutir a questão da diferenciação dentro da integral), mas acho que passa bem a ideia. O truque usado aqui, devido a Richard Feynman, se aplica a outras integrais "difíceis".