EMENTA: Números reais, funções de uma variável real, limites, derivadas, integrais e séries

OBJETIVOS GERAIS: Estabelecer a passagem do ponto de vista intuitivo do curso de Cálculo para

um ponto de vista mais rigoroso, em que as definições, enunciados de teoremas e demonstrações

formais ocupam o centro da cena

CONTEÚDO PROGRAMÁTICO:

UNIDADE I: Elementos de lógica de proposições; teoria dos conjuntos, cardinalidade,

enumerabilidade de Q, teorema de Cantor-Bernstein

UNIDADE II: Esboço das construções de IN, Z e Q; “existência” de números irracionais; axiomas

para Q; escolha de um axioma suplementar para IR – propriedades do supremo, de Cauchy, de

Bolzano- Weierstrass e dos intervalos encaixantes; esboço das construções de Cantor e de

Dedekind, destacando as relações da primeira com a numeração de posição e da segunda com a

construção de Eudoxo

UNIDADE III: Definição de limite para funções e seqüências, continuidade; exemplos de

demonstrações rigorosas a partir da definição; teoremas elementares

UNIDADE IV: Teoremas sobre funções contínuas (existência de pontos extremais. valor

intermediário e continuidade uniforme); teorema de Heine-Borel-Lebesgue

UNIDADE V: Definição de derivada, interpretação como fluxo e como aproximação linear;

teoremas elementares e regra da cadeia; teorema do valor médio e desigualdade do valor médio

para funções a valores em um espaço vetorial normado; regra de l’Hôpital; polinômio de Taylor;

derivação de fuções inversas

UNIDADE VI: Definição de integral de Riemann, comentários sobre outras definições e relações

entre estas; integrabilidade de funções contínuas e existência de funções não integráveis; critério

de integrabilidade de Riemann-du Bois Reymond-Lebesgue; teoremas fundamentais do Cálculo;

funções logarítmica e exponencial

UNIDADE VII: Convergência absoluta de séries numéricas e rearranjamento; séries de funções e

tipos de convergência; convergência uniforme e continuidade, teorema de Dini; convergência

uniforme e diferenciabilidade; séries de potências e raio de convergência, diferenciabilidade;

teorema de Abel; construção das funções trigonométricas

UNIDADE VIII: Existência de funções contínuas totalmente não diferenciáveis; teorema de

aproximação de Weierstrass, teorema de Arzelà-Ascoli

BIBLIOGRAFIA:

1. Figueiredo, D., Análise I

2. Dieudonné, J., Foundations of Modern Analysis

3. Medeiros, L. A., Malta, S., Limaco, J. & Clark, H., Lições de Análise Matemática

4. Lima, E. L., Curso de Análise, vol. I

5. Rudin, W., Princípios de Análise Matemática