MAE240 Análise Real
Ementa:
EMENTA: Números reais, funções de uma variável real, limites, derivadas, integrais e séries
OBJETIVOS GERAIS: Estabelecer a passagem do ponto de vista intuitivo do curso de Cálculo para
um ponto de vista mais rigoroso, em que as definições, enunciados de teoremas e demonstrações
formais ocupam o centro da cena
CONTEÚDO PROGRAMÁTICO:
UNIDADE I: Elementos de lógica de proposições; teoria dos conjuntos, cardinalidade,
enumerabilidade de Q, teorema de Cantor-Bernstein
UNIDADE II: Esboço das construções de IN, Z e Q; “existência” de números irracionais; axiomas
para Q; escolha de um axioma suplementar para IR – propriedades do supremo, de Cauchy, de
Bolzano- Weierstrass e dos intervalos encaixantes; esboço das construções de Cantor e de
Dedekind, destacando as relações da primeira com a numeração de posição e da segunda com a
construção de Eudoxo
UNIDADE III: Definição de limite para funções e seqüências, continuidade; exemplos de
demonstrações rigorosas a partir da definição; teoremas elementares
UNIDADE IV: Teoremas sobre funções contínuas (existência de pontos extremais. valor
intermediário e continuidade uniforme); teorema de Heine-Borel-Lebesgue
UNIDADE V: Definição de derivada, interpretação como fluxo e como aproximação linear;
teoremas elementares e regra da cadeia; teorema do valor médio e desigualdade do valor médio
para funções a valores em um espaço vetorial normado; regra de l’Hôpital; polinômio de Taylor;
derivação de fuções inversas
UNIDADE VI: Definição de integral de Riemann, comentários sobre outras definições e relações
entre estas; integrabilidade de funções contínuas e existência de funções não integráveis; critério
de integrabilidade de Riemann-du Bois Reymond-Lebesgue; teoremas fundamentais do Cálculo;
funções logarítmica e exponencial
UNIDADE VII: Convergência absoluta de séries numéricas e rearranjamento; séries de funções e
tipos de convergência; convergência uniforme e continuidade, teorema de Dini; convergência
uniforme e diferenciabilidade; séries de potências e raio de convergência, diferenciabilidade;
teorema de Abel; construção das funções trigonométricas
UNIDADE VIII: Existência de funções contínuas totalmente não diferenciáveis; teorema de
aproximação de Weierstrass, teorema de Arzelà-Ascoli
BIBLIOGRAFIA:
1. Figueiredo, D., Análise I
2. Dieudonné, J., Foundations of Modern Analysis
3. Medeiros, L. A., Malta, S., Limaco, J. & Clark, H., Lições de Análise Matemática
4. Lima, E. L., Curso de Análise, vol. I
5. Rudin, W., Princípios de Análise Matemática