Minicursos
Todos os minicursos ocorrerão na sala de seminário do DMA
Minicurso 1
Título: Self-shrinkers do fluxo da curvatura média sob a ótica da teoria das subvariedades
Professor: Márcio Henrique Batista (UFAL)
Data: 15 e 16 de janeiro de 2020
Hora: 13 horas
Pré-requisito: Curso básico de Geometria Diferencial
Ementa: Neste mini curso introduziremos os conceitos básicos sobre o fluxo da curvature média e focaremos em soluções auto-similares do mesmo. Tais tipos de solução são chamados de self-shrinkers do fluxo da curvatura média, FCM, e podem ser estudados sob a ótica da teoria das subvariedades. Apresentaremos o estado da arte do tema em foco e apresentaremos uma lista de exemplos e estratégias bem sucedidas na caracterização de self-shrinkers do FCM sob hipóteses adequadas.
Minicurso 2
Título: Quasi-linear Equations of Evolution.
Professor: Alberti Milani (University of Wisconsin-USA)
Data: 28 e 30 de janeiro de 2020
Hora: 15 horas
Resumo: Veja aqui.
Minicurso 3
Título: Geometria Diferencial Afim: Pontos Umbílicos e Quadráticos
Professor: Marcos Craizer (PUC-Rio)
Data: 29 a 31 de janeiro de 2020
Hora: 13:30 horas
Ementa: Neste minicurso vamos falar sobre pontos umbílicos afins e quadráticos de superfícies em $R^3$. A divisão de temas por aulas será a seguinte:
Aula 1: Introdução à geometria diferencial afim de hipersuperfícies.
Aula 2: Linhas de curvatura e pontos umbílicos afins.
Aula 3: Direções de Darboux em pontos quadráticos, que são pontos da superfície excepcionalmente bem aproximados por quádricas.
Minicurso 4
Título: Teorema dos quatro vértices e a sua recíproca
Professor: Ronaldo Alves Garcia (UFG)
Data: 05, 06 e 07 de fevereiro de 2020
Hora: 14:30 horas
Ementa: Em 1909, S. Mukhopadhyaya provou a primeira versão do teorema dos quatro vértices: uma oval (curva plana regular simples, fechada com curvatura estritamente positiva) que não é um círculo, possui pelo menos quatro pontos extremais da curvatura (dois máximos e dois mínimos locais). Faremos uma exposição de algumas dessas provas ressaltando os aspectos topológicos, analíticos e geométricos. A recíproca do teorema dos quatro vértices para o caso convexo foi provada por H. Gluck, em 1971. Um dos objetivos do curso será expor a prova da recíproca no caso estritamente convexo. O texto elaborado em coautoria com Mario Jorge Carneiro (UFMG) contém muitos exercícios, de diversos níveis. Faremos aulas de discussão de alguns problemas que são temas atuais de pesquisa.
Público alvo: graduação e pós-graduação em matemática.
Minicurso 5
Título: Teorema de Transversalidade de Thom e Aplicações
Professora: Simone Maria de Moraes (UFBA)
Data: 10, 11 e 13 de fevereiro de 2020
Hora: 14 horas
Resumo: A Teoria de Singularidades estuda comportamentos local e comportamento global de aplicções diferenciáveis $f:M^n\rightarrow N^p$, entre variedades, em geral de classe $C^\infty$.
Os alicerces da teoria são os trabalhos fundamentais de Hassler Whitney, nos quais discute o problema de classificar singularidades que não podem ser eliminadas por pequenas perturbações, e resolve o problema em duas situações em que $p=2n-1$ e $n=p=2$.
As propriedades ou fenômenos, que na Teoria de Singularidades, são chamamos genéricos, são aqueles que ocorrem com “maioria” dos objetos de interesse, que também são chamados de genéricos. De maneira formal, isto significa que com a topologia $C^\infty$ de Whitney sobre o espaço $C^\infty(M, N)$, das aplicações de $M$ em $N$ os objetos que satisfazem tal propriedade formam um subespaço residual (aberto e denso) em $C^\infty(M, N)$.
A genericidade é um fenômeno que pode ser traduzido em termos de condições de transversalidade sobre espaços de jatos ou multijatos adequados; estas condições são manipuláveis através de técnicas clássicas da Topologia Diferencial.
Uma poderosa ferramenta neste estudo é o teorema da transversalidade, também conhecido como {\bf Teorema da Transversalidade de Thom}, um resultado importante que descreve as propriedades de intersecções transversais de uma família de aplicações diferenciáveis.
Neste minicurso introduzimos as ferramentas básicas da teoria de singularidades, aplicações entre variedades, espços de $k$-jatos e a $C^k$ topologia de Whitney para espaços de aplicações diferenciáveis e espaços de jatos, para então apresentar o Teorema de Transversalidade de Thom para $k$-jatos, finalizamos apresentando aplicações do teorema de transversalidade em propriedades genéricas de curvas e de superfícies.
Referências
[1] M. Golubitsky and V. Guillemin, Stable mappings and their singularities, Springer-Verlag, 1973.
[2] S. I. R. Costa, S. M. Moraes and M. C. Romero Fuster, Geometric contacts of surfaces immersed in $\mathbb R^n$, $n \geq 5$. Differential Geometry and its Applications, 27, 442-454,2009.
[3] J. J. Nuño Ballesteros, Sobre la funcion de bitangencia asociada a una curva generica en $\mathbb R^3$. Tesis Doctoral. Universidad de Valencia, 1991.
[4] M. C. Romero Fuster, Singularidades, contactos y Geometria Genérica. Minicurso, Universidade Federal de Viçosa, 2009.
Minicurso 6
Título: Funções de classe Gevrey: uma introdução
Professor: Paulo Leandro Dattori da Silva (USP-São Carlos)
Data: 02 e 03 de março de 2020
Hora: 15 horas (Segunda) e 14 horas (Terça)
Ementa: Nos cursos de graduação em matemática usualmente estudamos funções bem regulares, a saber, funções $C^\infty$ e funções analíticas (denotadas por $C^w$). Sabemos que $C^w$ está estritamente contido em $C^\infty$. Neste minicurso vamos chamar a atenção para classes intermediárias de funções, isto é, classes que contém estritamente $C^w$ e estão estritamente contidas em $C^\infty$. Mais precisamente, vamos estudar as classes das funções $s$-Gevrey, sendo $s>1$.
Seja $\Omega$ um subconjunto aberto de $\mathbb{R}^n$ e seja $s\geq1$ um número real fixado. Dizemos que uma função $f$ é de classe $s$-Gevrey em $\Omega$ se $f\in C^\infty(\Omega)$ e para qualquer $K$ subconjunto compacto de $\Omega$, existe $C>0$ tal que, para todo $\alpha\in\mathbb{N}^n$ e $x\in K$
$|\partial^\alpha f(x)|\leq C^{|\alpha|+1}(\alpha!)^s.$
Denotamos por $G^s(\Omega)$ o espaço das funções $s$-Gevrey em $\Omega$. Note que $G^1(\Omega)=C^w(\Omega)$. Se $s>1$, o conjunto das funções $f\in G^s(\Omega)$ cujo suporte é compacto e está contido em $\Omega$ é denotado por $G^s_0(\Omega)$.
Os espaços $G^s(\Omega)$ são espaços naturais para o estudo de equações diferenciais. Quando propriedades de um certo operador diferem nos contextos $C^\infty$ e $C^w$ é natural analisar tais propriedades no contexto das classes Gevrey.
Podemos verificar que $G^s(\Omega)$ é um espaço vetorial e um anel, com respeito a soma e produto de funções; além disso, a composição e diferenciação de funções $G^s(\Omega)$ ainda é uma função $G^s(\Omega)$.
Neste minicurso iremos explorar as propriedades das funções Gevrey e apresentar aplicações em equações diferenciais ordinárias e equações diferenciais parciais. Nossa proposta é um minicurso de 4 aulas de 2 horas cada, contendo os seguintes:
Definição de funções Gevrey e exemplos.
$G^s(U)$ é um espaço vetorial e um anel, com respeito à soma e produto de funções; além disso, a composição e a diferenciação de funções $G^s(U)$ ainda é uma função $G^s(U)$.
Propriedades: $G^1(U)\subset\displaystyle\bigcap_{s>1}G^s(U)$ e $\displaystyle\bigcup_{s\geq 1}G^s(U)\subset C^{\infty}(U)$.
O espaço $G_0^s(U)$
Teorema de Borel nas classes Gevrey
Soluções Gevrey de certas equações diferenciais ordinárias
Soluções Gevrey de certas equações diferenciais parciais
Minicurso 7
CANCELADO
Título: Estratificando Totients
Professor: André Contiero (UFMG)
Público: O minicurso é acessível a todos(as) os(as) alunos(as) de um curso de Graduação em Matemática. Pode ser interessante para entusiastas com a Teoria dos Números. Serão apresentados alguns novos resultados e problemas que ainda não sabemos resolver, podendo também ser interessante para alunos da Pós-graduação.
Introdução: Para cada inteiro positivo $n$, considere $\phi(n)$ seu totient associado, que é a imagem de $n$ pela famosa função totient de Euler (Também muito conhecida como a função “fi” de Euler.),
$$\phi(n)|\{a\in\mathbb N;1\leq a\leq n\mbox{ e }mdc(a,n)=1\}|.$$
Sabemos que o conjunto dos totients $\mathcal V:=\varphi(\mathbb N)$ contém o 1, pois $\phi(2)=\phi(1)=1$. Devido aos fatos de $\phi$ ser multiplicativa (se $mdc(n, k) = 1$, então $\phi(nk)=\phi(n)\cdot\phi(k)$ e de a imagem de uma potência de número primo ser 1 ou par, $(\phi(p^n)=p^n-p^{n-1})$ segue que o conjunto dos totients $\mathcal V$ distintos de 1 estão contido no conjunto dos pares,
$$\mathcal V :=\{1, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 16, 18, \ldots\} .$$
A multiplicidade de um inteiro positivo $m$, que denotamos por $A(m)$, é a quantidade de inteiros na pré-imagem de $\phi$, a saber
$$A(m) := |\{n \in\mathbb N ; \phi(n) = m\}| = |\phi^{-1}(m)|.$$
Como os totients maiores que 1 são números pares, para cada $l\geq 1$ introduzimos o seguinte estrato de $\mathcal V$ dado pelos totients cuja maior potência de 2 que o divide é $2^l$
$$\mathcal V^l:=\{m \in\mathcal V ; m \equiv 2^l mod 2^{l+1}\}.$$
Fixado $x \in\mathbb R$, considere o conjunto $\mathcal V^l(x)$ dos totients em $\mathcal V^l$ que são menores ou iguais a $x$,
$$\mathcal V(x) := \{m \in\mathcal V^l; m \leq x\}.$$
Duas perguntas nos motivam:
Questão 1. Qual o comportamento assintótico de $|\mathcal V^l(x)|$?
Questão 2. Quais são multiplicidade dos elementos em $\mathcal V^l(x)$?
Resultados: Serão apresentados alguns resultados de um preprint em conjunto com Davi Lima (UFAL). Curisosamente o estudo das Questões 1 e 2 descritas acima não está tratado na literatura específica. Ainda mais curioso é a discrepância entre o tratamento do caso trivial $l=1$ e o caso, nada fácil, $l\geq 2$, resumidos a seguir:
${\bf l=1}$: Quanto Questão 2. Pode ser trivialmente verificado que um totient em $\mathcal V^1$ admite multiplicidades somente 2 e 4. Além disso, $|\mathcal V^1(x)|$ é assintoticamente a metade da quantidade de primos até $x$.
Teorema 1 (Contiero–Lima’ 2019).
$$|\mathcal V^1(x)| \sim\frac{1}{2}\left(\frac{x}{\log x}\right).$$
${\bf l\geq 2}$: Sobre a Questão 1. Obtemos o resultado seguinte cuja prova envolve um teorema devido a Hardy e Ramanujam.
Teorema 2 (Contiero–Lima’ 2019). Dado $l\geq 1$, vale que
$$|\mathcal V^l(x)|=O_l\left(\frac{x}{\log x}(\log\log x)^l\right).$$
Acerca das multiplicidades dos totients em $\mathcal V^l$, $l\geq 2$. Acreditamos que não é limitada, ou seja, na pré-imagem dos totients em $\mathcal V^l(x)$ existem tantos inteiros quanto se queira, bastando tomar $x$ suficientemente grande. Temos duas provas condicionais para tal fato. A primeira, e mais fácil, é assumindo a poderosa Conjectura de Dickson. A segunda, que nos parece bem mais razoável, também será apresentada neste minicurso, porém necessita de mais tempo para enunciá-la adequadamente. Descrevendo de maneira rasteira:
Teorema 3 (Contiero–Lima’ 2019). Assumindo uma certa condição, existe $l_0 > 0$ tal que
$$\limsup_{m\in V^{l_0}(x)}A(m) = \infty.$$
Teorema 4 (Contiero–Lima’ 2019). Com as mesmas condições do Teorema acima,
$$\limsup_{m\in V^{l_0+n}(x)}A(m) = \infty, \forall n\geq 0.$$
Ao final do minicurso serão apresentadas algumas poucas conjecturas envolvendo totients.