Traslazione
Cosa si intende per traslazione?
Si chiama traslazione di vettore v la trasformazione che associa a ogni punto P del piano il punto P' tale che la distanza tra P e P' ha la stessa direzione, lo stesso verso e lo stesso modulo del vettore v.
Ora grazie all'aiuto di GeoGebra siamo in grado di disegnare alcune funzioni e di rappresentare la traslazione lungo l'asse x, lungo l'asse y o lungo la bisettrice del 2° e 4° quadrante.
(In verde vengono rappresentati i grafici di alcune funzioni di base, mentre con gli altri colori i grafici che rappresentano la traslazione.
I valori della costante "a", per una questione pratica assumono valori tra -5 e +5, con intervalli di 0,1 unità)
F(x+a)
traslazione lungo l'asse x
in particolare quando a>0 trasla a sinistra e quando a<0 a destra.
f(x)=x2
f(x)=x3
f(x)=(x+2)/(x-5)
f(x)=x-1
F(x)+a
traslazione lungo l'asse y
in particolare quando a>0 trasla verso l'alto e quando a<0 verso il basso.
f(x)=x2
f(x)=x3
f(x)=(x+2)/(x-5)
f(x)=x-1
F(x+a)+b
a=b
traslazione lungo la bisettrice del 2°e 4° quadrante
in particolare quando a>0 trasla in alto a sinistra e quando a<0 a in basso destra.
f(x)=x2
f(x)=x3
f(x)=(x+2)/(x-5)
f(x)=x-1
Verifica della trasformazione
dai grafici si nota molto bene la trasformazione del grafico, ma per verificare la proprietà è necessario confrontare i dati dei grafici:
Proviamo a verificare la trasformazione di f(x)+a considerando f(x)=x2 e procediamo analogamente con le altre:
con Geogebra estraiamo i valori dei punti che hanno ascisse comprese tra un numero casuale di numeri (io ho scelto -10 e 10) e impostando un valore a piacere del parametro "a" (io ho scelto 5, che sarà la tesi della dimostrazione); portiamo quindi la tabella su un foglio di calcolo.
Tabella dei punti con ascissa compresa tra -10 e 10 a intervalli di una unità
h(x) corrisponde alla funzione f(x)+a
Come possiamo notare il parametro "a", ricavato dalla formula indicata, è costante e corrisponde a quello scelto, quindi possiamo affermare che f(x)+a è traslato verticalmente rispetto al grafico di y=f(x), in una traslazione di vettore v(0,5).
(l'ascissa del vettore è 0 perché la differenza tra le ascisse dei punti trovati è sempre 0, in quanto sono traslati verticalmente)
In questo modo è possibile procedere con tutti i grafici di ogni funzione e per tutte le altre traslazioni. Tutte confermano quanto descritto in precedenza.
Per problemi pratici non ho riportato l'intero processo.