Dilatazione

Cosa si intende per dilatazione?

Dati due numeri reali h e k, diversi da zero, si dice dilatazione con centro nell'origine e rapporti h ek la trasformazione di equazioni:

x' = hx

y' = ky

In particolare le dilatazioni con centro nell'origine che ingrandiscono o riducono una figura secondo la medesima scala lungo entrambi gli assi, cioè le dilatazioni in cui h = k, di equazioni:

x'=hx

y'=hy

Sono omotetie

Ora grazie all'aiuto di GeoGebra siamo in grado di disegnare alcune funzioni e di rappresentare dilatazioni

(In verde vengono rappresentati i grafici di alcune funzioni di base, mentre con gli altri colori i grafici che rappresentano la dilatazione. I valori della costante "k", per una questione pratica, assumono valori tra -5 e +5 con intervalli di 0,1 unità)

kf(x)

k≠0

Il grafico è dilatato verticalmente di un fattore k rispetto al grafico di y = f(x).

(per una questione pratica nell'animazione è presente anche k=0, che corrisponde all'asse delle ascisse)

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f(x)=x2

82.mp4

f(x)=x3

83.mp4

f(x)=(x+2)/(x-5)

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f(x)=x-1

f(kx)

k≠0

Il grafico risulta dilatato orizzontalmente rispetto al grafico iniziale di un fattore 1/k

(per una questione pratica nell'animazione è presente anche k=0, che corrisponde a una retta parallela all'asse delle ascisse)

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f(x)=x2

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f(x)=x3

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f(x)=(x+2)/(x-5)

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f(x)=x-1

Verifica della trasformazione

dai grafici si nota molto bene la trasformazione del grafico, ma per verificare la proprietà è necessario confrontare i dati dei grafici:

Proviamo a verificare la trasformazione di kf(x) considerando f(x)=x3 e procediamo analogamente con l'altra:

con Geogebra estraiamo i valori dei punti che hanno ascisse comprese tra un numero casuale di numeri (io ho scelto -10 e 10) e impostando un valore a piacere valore del parametro "k" (io ho scelto -10, che sarà la tesi della dimostrazione); portiamo quindi la tabella su un foglio di calcolo.

Tabella dei punti con ascissa compresa tra -10 e 10 a intervalli di un'unità

f1(x) corrisponde alla funzione kf(x)


Come possiamo notare il parametro "k", ricavato dalla formula indicata, è costante e corrisponde a quello scelto, quindi possiamo affermare che kf(x) è dilatato di un fattore k=-10 rispetto al grafico di y=f(x), come si voleva dimostrare.

per x=0 k risulta indeterminato perché qualsiasi numero è soluzione del quoziente tra 0 e se stesso, ma nelle condizioni di esistenza iniziali k era necessario che fosse diverso da zero e veniva inserito solo per una questione pratica.

In questo modo è possibile procedere con tutti i grafici di ogni funzione e per tutte l'altra dilatazione e tutte confermano quanto descritto in precedenza.

Per problemi pratici non ho riportato l'intero processo.