Simmetria assiale
Cosa si intende per simmetria assiale?
Cosa si intende per simmetria assiale?
Per definire la simmetria assiale, bisogna innanzitutto definire il significato di simmetria centrale:
Per definire la simmetria assiale, bisogna innanzitutto definire il significato di simmetria centrale:
la simmetria di centro C è la trasformazione geometrica che fa corrispondere a ogni punto P del piano un punto P', tale che sia sulla retta che congiunge P a C e che la distanza dei due punti da C sia la stessa.
la simmetria di centro C è la trasformazione geometrica che fa corrispondere a ogni punto P del piano un punto P', tale che sia sulla retta che congiunge P a C e che la distanza dei due punti da C sia la stessa.
Ora è possibile definire la simmetria assiale:
Ora è possibile definire la simmetria assiale:
Data una retta r, la simmetria assiale (o riflessione) rispetto a r è la trasformazione che associa a ogni punto P del piano il simmetrico di P rispetto a r. La retta r si chiama asse di simmetria della trasformazione.
Data una retta r, la simmetria assiale (o riflessione) rispetto a r è la trasformazione che associa a ogni punto P del piano il simmetrico di P rispetto a r. La retta r si chiama asse di simmetria della trasformazione.
Ora grazie all'aiuto di GeoGebra siamo in grado di disegnare alcune funzioni e di rappresentare la simmetria assiale: ad esempio la simmetria rispetto all'asse x e y
(In verde vengono rappresentati i grafici di alcune funzioni di base, mentre con gli altri colori i grafici che rappresentano la simmetria assiale)
-f(x)
-f(x)
Il grafico risulta simmetrico rispetto all'asse x
Il grafico risulta simmetrico rispetto all'asse x
f(x)=x2
f(x)=x2
f(x)=x3
f(x)=x3
f(x)=(x+2)/(x-5)
f(x)=(x+2)/(x-5)
f(x)=x-1
f(x)=x-1
f(-x)
f(-x)
Il grafico risulta simmetrico rispetto all'asse y
Il grafico risulta simmetrico rispetto all'asse y
f(x)=x2
f(x)=x2
In questo caso il grafico è coincidente con quello di partenza
f(x)=x3
f(x)=x3
f(x)=(x+2)/(x-5)
f(x)=(x+2)/(x-5)
f(x)=x-1
f(x)=x-1
|f(x)|
|f(x)|
Il grafico di questa funzione risulta simmetrico per la parte del grafico che ha ordinate negative rispetto all'asse x
Il grafico di questa funzione risulta simmetrico per la parte del grafico che ha ordinate negative rispetto all'asse x
f(x)=x2
f(x)=x2
In questo caso il grafico è coincidente con quello di partenza
f(x)=x3
f(x)=x3
f(x)=(x+2)/(x-5)
f(x)=(x+2)/(x-5)
f(x)=x-1
f(x)=x-1
f(|x|)
f(|x|)
Il grafico di questa funzione risulta simmetrico per la parte del grafico che ha ordinate negative rispetto all'asse y
Il grafico di questa funzione risulta simmetrico per la parte del grafico che ha ordinate negative rispetto all'asse y
f(x)=x2
f(x)=x2
In questo caso il grafico è coincidente con quello di partenza
f(x)=x3
f(x)=x3
f(x)=(x+2)/(x-5)
f(x)=(x+2)/(x-5)
f(x)=x-1
f(x)=x-1
Verifica della trasformazione
Verifica della trasformazione
dai grafici si nota molto bene la trasformazione del grafico, ma per verificare la proprietà è necessario confrontare i dati dei grafici:
dai grafici si nota molto bene la trasformazione del grafico, ma per verificare la proprietà è necessario confrontare i dati dei grafici:
Proviamo a verificare la trasformazione di f(-x) considerando f(x)=(x+2)/(x-5) e procediamo analogamente con le altre:
Proviamo a verificare la trasformazione di f(-x) considerando f(x)=(x+2)/(x-5) e procediamo analogamente con le altre:
con Geogebra estraiamo i valori dei punti che hanno ascisse comprese tra un numero casuale di numeri (io ho scelto -10 e 10); portiamo quindi la tabella su un foglio di calcolo.
con Geogebra estraiamo i valori dei punti che hanno ascisse comprese tra un numero casuale di numeri (io ho scelto -10 e 10); portiamo quindi la tabella su un foglio di calcolo.
Tabella dei punti con ascissa compresa tra -10 e 10 a intervalli di un'unità
Tabella dei punti con ascissa compresa tra -10 e 10 a intervalli di un'unità
r(x) corrisponde alla funzione f(-x)
Come possiamo notare GeoGebra a parità di valori di x restituisce valori diversi di f(x) e f(-x), ma osservando meglio sul foglio di calcolo, grazie anche ai colori, a parità di valori di delle y abbiamo x opposte come si voleva dimostrare: infatti f(-x) permette di trovare la funzione simmetrica rispetto all'asse delle ordinate.
Come possiamo notare GeoGebra a parità di valori di x restituisce valori diversi di f(x) e f(-x), ma osservando meglio sul foglio di calcolo, grazie anche ai colori, a parità di valori di delle y abbiamo x opposte come si voleva dimostrare: infatti f(-x) permette di trovare la funzione simmetrica rispetto all'asse delle ordinate.
x'=-x
x'=-x
y=y
y=y
In questo modo è possibile procedere con tutti i grafici di ogni funzione e per tutte le altre simmetrie. Tutte confermano quanto descritto in precedenza.
Per problemi pratici non ho riportato l'intero processo.