Resumen: En esta charla presentaremos ideas básicas sobre cubrientes y cubrientes ramificados de superficies y explicaremos cómo estos permiten establecer conexiones entre los grupos modulares de las superficies involucradas, tanto en el caso de tipo finito como de tipo infinito. Estudiaremos la teoría de Birman–Hilden y algunas de las condiciones asociadas a esta propiedad.

En particular, daremos condiciones bajo las cuales ciertos cubrientes inducen inclusiones del grupo modular de la superficie base en el del espacio total. Como aplicación, mostraremos la inyectividad del grupo modular de una superficie no orientable en el de su doble cubierta orientable, independientemente de si es de tipo finito o infinito, lo que proporciona una herramienta útil para su estudio. Finalmente, discutiremos otras consecuencias, como la descripción de ciertas extensiones entre estos grupos. 

Sede: Unidad de Extensión Universitaria UNAM-Oaxaca

Resumen: Las álgebras de conglomerado son anillos conmutativos dotados de una estructura combinatoria que, actualmente, se estudian en diversos campos de las matemáticas. Por esta razón, identificar estructuras de conglomerado en ciertos anillos conmutativos se ha convertido en un problema bastante común dentro del área. En esta línea, por ejemplo, las Grassmannianas tienen una estructura de conglomerado, expuesta por Scott, J, S. De la misma forma, las variedades de banderas parciales también tienen una estructura de conglomerado, expuesta por Kadhem, F. En esta plática explicaremos brevemente ambas estructuras de conglomerado, y enunciaremos una conjetura (aún abierta en ciertos casos) que relaciona ambas estructuras: existe una semilla s′ de la Grassmanniana tal que la semilla inicial de la variedad de bandera parcial sea una semilla restringida de s′. Daremos algunos ejemplos de la conjetura y de la secuencia de mutaciones que se usa para, a partir de la semilla inicial de la Grassmanniana, identificar la semilla inicial de la variedad de bandera parcial como semilla restringida.

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Resumen: Gracias al Teorema de Geometrización, sabemos con precisión cuándo una 3-variedad compacta dada admite una métrica hiperbólica, es decir, una métrica con curvatura constante -1. Además, por el Teorema de Rigidez de Mostow esta estructura geométrica es única, lo que significa que cualquier invariante geométrico es también un invariante topológico. En dicho caso, ¿se podrá describir efectivamente la geometría de dicha variedad (por ejemplo, su volumen) en términos de su topología?En el mundo de las 3-variedades casi todas admiten una métrica hiperbólica completa, pero entre éstas, muy pocas son aritméticas. Por ejemplo, él único nudo en la 3-esfera cuyo complemento es aritmético es el nudo de ocho. En esta plática construiremos una infinidad de colecciones finitas de geodésicas en la superficie modular de modo que el complementos de sus órbitas periódicas relativas al flujo geodésico en el tangente unitario sean 3-variedades aritméticas y veremos que su volumen es proporcional al número de órbitas periódicas. Este es un trabajo conjunto con Jesica Purcell y Tali Pinsky. 

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