Resumen: En esta presentación exploraremos un enfoque topológico para el estudio de la conjetura de Collatz. Partiendo de la noción de topología primal inducida por una función f:X→X, analizaremos el espacio de los números naturales con la topología primal (N,τκ), donde κ es la función de Collatz. Mostraremos cómo propiedades topológicas clásicas como la compacidad, la super-compacidad, la conectividad y la conectividad por caminos, resultan ser equivalentes a la validez de la conjetur

Sede: Unidad de Extensión Universitaria UNAM-Oaxaca

Resumen: In this talk, we will explain how the congruence subgroup property for mapping class groups is related to conjugacy separability properties of elements of the mapping class group in the image of simple elements of a surface group by the push map.

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Resumen: En esta plática damos una introducción a los conjuntos de Julia y al conjunto de Mandelbrot, enfocándonos principalmente al fenómeno de autosimilaridad que presenta el conjunto de Mandelbrot, estudiado a través de la teoría de renormalización usual. 

Además veremos un nuevo tipo de renormalización llamado renormalización pacman usado para estudiar la autosimilaridad alrededor de parámetros tipo Siegel en la cardioide principal.

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Resumen: La teoría de Ramsey es la rama de la combinatoria que se dedica a estudiar las estructuras, o patrones, que es inevitable que aparezcan cuando se particiona algún tipo de objeto matemático. Sorprendentemente, hay una amplia variedad de teoremas en teoría de Ramsey que se pueden demostrar de manera más accesible e intuitiva utilizando ideas no de combinatoria, sino de álgebra y topología, utilizando el conjunto de todos los ultrafiltros sobre la estructura que estamos particionando. Este conjunto de ultrafiltros va equipado con una estructura algebraico-topológica (concretamente, es un "semigrupo topológico-derecho"), y es lo que se conoce como la "compactación d Cech--Stone". En esta plática veremos los elementos más importantes de esta teoría, y mostraremos al menos un ejemplo de cómo se puede utilizar para demostrar un teorema de tipo Ramsey.

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Resumen: Para un espacio vectorial (complejo) de dimensión finita y con producto Hermitiano, el grupo de operadores unitarios es un grupo de Lie compacto. En dimensión infinita corresponde considerar espacios de Hilbert: en tal caso el grupo de operadores unitarios admite más de una estructura de grupo topológico que puede pensarse como natural y en ninguna es siquiera localmente compacto. Esto se relaciona con las diferentes topologías (útiles) que existen en el álgebra de operadores acotados de un espacio de Hilbert. En esta plática exploraremos algunas de las nociones que surgen en este contexto. En particular, veremos que las representaciones de grupos que surgen en la práctica nos indican cual es la topología ''correcta'' en el grupo unitario de un espacio de Hilbert. También veremos como relacionar álgebras de von Neumann con representaciones de grupos topológicos ''no muy lejanos'' de los grupos localmente compactos o de Lie.

Modalidad: en línea.

Resumen: Desde 1994 se sabe que el grupo de trenzas admite un orden total invariante por la izquierda, descubierto por Patrick Dehornoy. Varias construcciones de este orden son conocidas, desarrolladas desde distintos enfoques de los grupos de trenzas. Más aún, se conocen algoritmos provenientes de estas construcciones que permiten decidir cuál de dos trenzas dadas es la mayor, o si son iguales.

En esta charla veremos algunas de estas construcciones, los beneficios de considerar cada construcción y algunas generalizaciones. En particular veremos cómo una estructura de Garside distinguida en los grupos de Artin-Tits de tipo B inducen órdenes totales en tales grupos. Finalizaremos planteando algunas preguntas abiertas que estamos explorando.

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Resumen: Los ciclos límite de un campo vectorial son órbitas periódicas aisladas. En 1923, Henri Dulac afirmó haber demostrado que todo campo vectorial analítico en el plano posee únicamente una cantidad finita de ciclos límite, ofreciendo así una respuesta parcial al decimosexto problema de Hilbert. Sin embargo, en la década de 1980, Yulij Ilyashenko identificó un error en la demostración de Dulac, lo que replanteó el problema, desde entonces conocido como "problema de Dulac".

En la charla, exploraremos los hitos históricos clave asociados al problema de Dulac, incluyendo las soluciones propuestas de manera independiente por Yulij Ilyashenko y Jean Écalle. Nos centraremos en el enfoque de Ilyashenko, basado en técnicas de análisis complejo y la teoría geométrica de formas normales de ecuaciones diferenciales analíticas. Presentaremos resultados recientes obtenidos en colaboración con Melvin Yeung donde, generalizando algunos resultados de Ilyashenko, resolvemos el problema de Dulac para familias específicas de campos vectoriales analíticos.

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Resumen: Vivimos en la era de los datos y extraer información útil de un conjunto de ellos se vuelve una tarea compleja cuando estos tienen altas dimensiones o tienen información incompleta o corrupta. Una herramienta matemática desarrollada a principios de este siglo para atacar las dificultades mencionadas, es el Análisis Topológico de Datos. En ella convergen no solo métodos de topología algebraica sino también de geometría y estadística.

En esta charla veremos el concepto de homología persistente, la técnica más usada del análisis topológico de datos, así como sus propiedades y algunas aplicaciones en las que he trabajado.

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Resumen: Los haces de Higgs, introducidos por Hitchin y Simpson en la década de 1980, se han convertido en una herramienta fundamental para el estudio de diversos espacios geométricos. En esta charla, exploraremos los conceptos de rigidez y estabilidad en el contexto de los haces de Higgs. Veremos cómo estos conceptos, originados en la teoría de conexiones y haces holomorfos (su contraparte clásica), nos ayudan a entender la geometría de los espacios subyacentes.

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Resumen: La motivación de esta plática es el teorema de Noether-Lefschetz, el cual caracteriza qué curvas pueden estar contenidas en una superficie muy general dentro del espacio proyectivo P3. Las superficies que no satisfacen dicho teorema (es decir, las que no son muy generales en este contexto) forman una infinidad numerable de familias, conocidas como las componentes del lugar geométrico de Noether-Lefschetz NL(d). Estas componentes han sido amplio tema de estudio, y hasta la fecha hay muchas preguntas abiertas. Por ejemplo, no se sabe exáctamente qué dimensiones pueden tener.

Nosotros hablaremos de superficies determinantales, que son superficies definidas por el determinante de una matriz con entradas polinomiales. Éstas forman familias de manera natural, de acuerdo al tamaño de la matriz y los grados de sus entradas. Resulta que estas familias son ejemplos de componentes de NL(d). Discutiremos brevemente la prueba de esto, además de algunas propiedades geométricas de estas familias, como su dimensión y suavidad. Si nos da tiempo, veremos cómo se relaciona el caso de superficies determinantales de grado 4 con la teoría de Gromov-Witten para superficies K3.

Esta plática está basada en un trabajo en conjunto con César Lozano y Montserrat Vite.

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