El Grupo AtN busca promover las interacciones y conexiones entre el álgebra y la topología en bajas dimensiones, por ejemplo: teoría de nudos, álgebras de Hecke, álgebras de diagramas y conglomerados, grupos modulares de superficies, teoría geométrica de grupos, grupos de trenzas y sus generalizaciones, etc.

Esta búsqueda ha llevado a la sinergia de investigadores e investigadoras de instituciones de Argentina, Brasil, Chile, Colombia, México y Europa. Además de la promoción de talleres de iniciación al estudio de la teoría de nudos para quienes estén interesados.

En los últimos años se ha fortalecido la colaboración con la UNAM en México, de donde nace en el 2020 el I Encuentro de Álgebra y Teoría de Nudos en Chile; un espacio para la iniciación de estudiantes de licenciatura en el estudio de la intersección de estos fascinantes campos de estudio, además de fortalecer la colaboración en la investigación por parte de los exponentes.

La V edición del Encuentro de Álgebra y Teoría de Nudos se realizará del 30 de agosto al 1 de septiembre de manera híbrida en la Unidad de Extensión Universitaria de la UNAM en Oaxaca de Juárez y a través de Zoom para el resto del mundo, y contará con la participación de expositores de Chile, España y México. 

Cursillo

María Cumplido - Teoría geométrica de grupos aplicada a Grupos de Artin-Tits

En esta charla se hará una revisión de las nociones básicas de Teoría geométrica de grupos, esto es acciones de grupos en complejos simpliciales y algunas de sus consecuencias (en particular una revisión de la Teoría de Bass-Serre), y veremos cómo se aplica dicha teoría a los grupos de Artin-Tits. Los cuáles son extensiones de los grupos de Coxeter. 

Charlas (50 minutos) 

Jesús Juyumaya  - Estructuras con ligas desde la Teoría de Nudos, I 

Resumen: 

La charla consta de tres partes. La primera parte contextualiza la charla, y da los elementos básicos  para seguirla. La segunda parte comienza mostrando la construcción algebraica del polinomio de HOMFLY PT, y termina mostrando una clase de estructura con ligas, a saber, los monoides con ligas. Estos monoides provienen como una especialización de la bt-álgebra; el origen de esta álgebra será mostrado en detalle. La tercera parte comienza con la construcción  algebraica del polinomio de Kauffman, de donde es derivada la BMW álgebra con ligas, la cual motiva la introducción de la segunda clase de monoides con ligas:  los monoides ramificados.  

José Simental Rodríguez - Variedades de conglomerado y nudos Legendrianos

Resumen:  Dada un elemento en el monoide de trenzas positivas, podemos formar un nudo Legendriano tomando la (-1)-cerradura Legendriana de ésta trenza. Asociado a este nudo, tenemos muchos invariantes algebraicos con distintos niveles de sofisticación. Uno de éstos invariantes es la variedad de aumentaciones, que se define como la variedad de homomorfismos del álgebra diferencial graduada de Chekanov-Eliashberg al álgebra diferencial graduada trivial. En la charla, construiremos esta variedad de manera más algebraica, utilizando configuraciones de banderas en C^n. La variedad de aumentaciones tiene propiedades interesantes: es suave, afín y, de manera importante, admite una estructura de conglomerado, definida en trabajo conjunto con Casals, Gorsky, Gorsky, Le y Shen. Definiremos ésta estructura de conglomerado y, si el tiempo lo permite, mencionaremos aplicaciones que van en ambas direcciones: de la teoría de álgebras de conglomerado a la teoría de nudos, y de la teoría de nudos a la de álgebras de conglomerado.  

Lorena Armas Sanabria -  Presentaciones de Artin

Resumen:  En 1975 González-Acuña estudio el trabajo de Artin y definio lo que que llamó una Presentación de Artin de un grupo G. En esta platica, revisaremos el trabajo realizado en las "Notas de Iowa de 1975", en las cuales se describe la relación entre las Presentaciones de Artin y el Grupo Fundamental de una 3-variedad cerrada, conexa y orientable M^3. 

Mini charlas: 

María de los Ángeles Guevara -  Sobre alternancia y distancias entre nudos

Resumen: Dos nudos son equivalentes si un nudo se puede transformar en el otro mediante un homeomorfismo del espacio tridimensional en sí mismo que preserve la orientación. A cada nudo o enlace se le puede asociar un invariante de forma que si dos enlaces son equivalentes entonces sus invariantes son iguales. Una forma de clasificar a los nudos es usar invariantes numéricos para “medir” qué tan lejos están de otros nudos. En esta plática, definiremos algunos invariantes que miden la distancia entre nudos y el conjunto de los nudos alternantes o de un subconjunto de éste. Expondremos la relación que hay entre estos invariantes y algunos métodos para calcularlos.

Israel Morales Jiménez -  Rigidez del grafo de curvas y aplicaciones a mapping class groups

Resumen: Uno de los resultados fundamentales en la teoría de mapping class group de superficies orientables (tanto de superficies de tipo finito como infinito) es el llamado “Teorema de Ivanov”. Este establece que el grupo de automorfismos simpliciales del grafo de curvas es isomorfo al mapping class group extendido de la superficie. Esta charla está dedicada principalmente a mostrar algunas aplicaciones del “Teorema de Ivanov” al conocimiento de la estructura algebraica y topológica de un mapping class group. Al final, trataremos de ver cómo se podrían ajustar estas ideas al estudio de grupos de Artin-Tits.

Andrea Rincón Prat - Cactus doodles

Resumen: Los cactus doodles son colecciones de curvas cerradas inmersas en la esfera, las cuales se consideran bajo ciertas transformaciones que imitan las relaciones con las que se definen los grupo de cactus y la versión plana del primer movimiento de Reidemeister. Por otro lado, los Cactus Doodles son una generalización de los garabatos (ó doodles) los cuales podemos ver como

colecciones de curvas cerradas inmersas en la esfera que solo tienen intersecciones dobles y, las cuales se consideran bajo las versiones planas del primer y segundo movimiento de Redemeister. En esta platica vamos a introducir este tipo de objetos planos que en cierta forma imitan a los nudos, estudiar algunas de sus propiedades y algunas de las herramientas que usamos para esto.