Qual è la probabilità che dopo aver mescolato almeno una carta sia rimasta nello stesso posto?

Consideriamo un mazzo di carte (diciamo un mazzo da ramino con 52 carte) e mescoliamolo bene. Qual è la probabilità che almeno una carta sia nella stessa posizione di quando abbiamo iniziato a mescolare? Per rispondere a questa domanda, dobbiamo prima definire un mescolamento perfetto (derangment, in inglese) e il subfattoriale.

Un mescolamento perfetto è una permutazione senza punti fissi. Per esempio, l'insieme {1, 2, 3} ha due mescolamenti perfetti: {2, 3, 1} e {3, 1, 2}. La permutazione {2, 1, 3}, per esempio, non è un mescolamento perfetto perché lascia fisso il 3. Il numero di mescolamenti perfetti di un insieme con n elementi è !n, il subfattoriale di n. (Useremo la !n, che è di uso comune, in cui il punto esclamativo del fattoriale è posto a sinistra del numero n).

Il problema di determinare il numero di mescolamenti perfetti per un insieme di n oggetti fu proposto da Pierre de Montmort nel 1708 e da lui risolto nel 1713.

Si ha che !n è dato dalla formula

Lasciamo come esercizio mostrare che l'espressione precedente dimostra che !n è un numero intero.

Notiamo che l'espressione tra parentesi è lo sviluppo in serie di potenze di exp(-x) calcolato per x = 1 e troncato al termine n-esimo. Ne segue che per n positivo, possiamo calcolare il subfattoriale !n calcolando n!/e e arrotondando il risultato all'intero più vicino.

In effetti, l'approssimazione !n / n! ≈ 1/e è molto buona. L'errore che stiamo compiendo è pari a quello che si ha troncando lo sviluppo in serie di exp(-x). Dato che questa è una serie a segni alterni, l'errore assoluto che si compie troncando al termine n-esimo è limitato dal valore assoluto del primo termine che viene escluso. In questo caso, quindi, l'errore è inferiore a 1/(n+1)!. Per un mazzo di 52 carte, l'errore è dell'ordine di 10^-70. Anche per n piccolo, dell'ordine della decina, l'errore è dell'ordine di 10^-8.

Se scegliamo a caso una permutazione, in maniera uniforme tra tutte le permutazioni, la probabilità di un mescolamento perfetto è pari a !n / n! ≈ 1/e. Questo risultato è vero già per valori di n piccoli ed è sostanzialmente stabile per la grandezza del mazzo: sia che abbia 10 carte, che 52 che 108, la probabilità che sia un mescolamento perfetto è praticamente 1/e, quindi la probabilità che una permutazione a caso abbia almeno un punto fisso è pari a 1 -1/e ossia circa il 63%.

Quindi, possiamo rispondere alla domanda del titolo: la probabilità che la posizione di almeno una carta non sia variata dopo aver mescolato è circa il 63%.