Matemática Financeira

O objetivo desta unidade é estudar o conceito de descontos e sua importância crucial para avaliar investimentos, gerir dívidas e precificar ativos financeiros. Estudar descontos é vital pois permite entender a relação entre valores presentes e futuros, calculando o valor atual de pagamentos futuros ajustados pelo custo do dinheiro no tempo. Aplicações práticas incluem: avaliação de investimentos, onde o valor presente dos fluxos de caixa futuros influencia a atratividade do investimento; financiamentos, onde o desconto calcula o custo real do empréstimo; análise de projetos de investimento, utilizando métodos como VPL e TIR para determinar viabilidade econômica; precificação de ativos, que considera expectativas futuras descontadas para refletir risco e retorno; planejamento financeiro, para calcular recursos necessários hoje para atingir metas futuras; e gestão de riscos no mercado financeiro, incorporando riscos como o de crédito na avaliação de instrumentos financeiros.

Compreender essas variações é crucial para a realização de análises financeiras sólidas e para a tomada de decisões estratégicas em um contexto econômico dinâmico. Neste contexto, exploraremos os principais tipos de descontos financeiros, suas fórmulas, aplicações e como eles impactam o mundo das finanças pessoais, empresariais e de mercado.

Bons Estudos!

Conforme Assaf Neto (2010; p.84) "As operações de desconto constituem um dos temas mais importantes em Matemática Financeira, pois permitem determinar o valor presente de um título de crédito descontado antes de seu vencimento." O autor ainda afirma que, as operações de desconto são de suma importância em Matemática Financeira, já que permitem calcular o valor atual de um título de crédito quando este é descontado antes de sua data de vencimento.(Assaf Neto; 2010)

Samanez (2010) destaca que o desconto corresponde ao abatimento realizado no valor nominal de uma dívida quando esta é paga antecipadamente. Enquanto que Hoji (2014) explica que o desconto é uma operação financeira que busca determinar o valor presente de um compromisso financeiro que será quitado em uma data futura.

Desconto, portanto, é a denominação dada a um abatimento que se faz quando um título de crédito é resgatado antes do seu vencimento. É uma operação tradicional no mercado financeiro e no setor comercial, na qual o portador de títulos de créditos, tais como letras de câmbio, notas promissórias etc., pode levantar fundos em um banco, descontando o título antes da data de vencimento. O banco, naturalmente, libera uma quantia menor do que o valor inscrito no título, dito nominal. A diferença entre o valor nominal (N) e o valor Líquido (V) pago ao portador do título é o que se denomina desconto (D). O seguinte diagrama ilustra o processo: 

Segundo Assaf Neto (2000), entende-se por valor nominal, o valor do resgate, ou seja, o valor definido para um título em sua data de vencimento. Representa, em outras palavras, o próprio montante da operação. 

A operação de se liquidar um título antes de seu vencimento envolve, geralmente, uma recompensa, ou um desconto pelo pagamento antecipado. Desta maneira, o desconto pode ser entendido como a diferença entre o valor nominal de um título e seu valor atualizado apurado em períodos antes de seu vencimento. 

Por outro lado, valor descontado de um título é o seu valor atual na data do desconto, sendo determinado pela diferença entre o valor nominal e o desconto, ou seja: 

As operações de desconto podem ser realizadas, tanto sob o regime de juros simples, como nos juros compostos. O uso do desconto simples é amplamente adotado em operações de curto prazo, restringindo-se o desconto composto para operações a longo prazo. 

Pela sistemática de capitalização simples, o desconto pode ser classificado em duas modalidades: desconto racional simples (também chamado desconto por dentro) e desconto comercial simples (também chamado por fora). Por outro lado, os bancos fazem uso da sistemática de cálculo efetiva (capitalização exponencial) para conversão da taxa de juros (custo de funding acrescido de margem) em taxa de desconto e posterior cálculo das variáveis de desconto.

Nessa sistemática, o desconto também pode ser de dois tipos: desconto racional (chamado financeiro) e desconto comercial. É racional (financeiro) quando a taxa de desconto é estimada com base em uma taxa de juros composta antecipada e, comercial, quando é calculada com base em uma taxa de juros composta postecipada. 

Pela sistemática de capitalização simples, os valores do desconto são obtidos por meio de cálculos lineares. O desconto é estudado sob duas modalidades: desconto racional simples e desconto comercial simples. 

De acordo com Assaf Neto (2003; p. 56) "O desconto racional baseia-se no valor presente da operação, ajustando o valor nominal pelo tempo e pela taxa de juros previamente estabelecida, assegurando uma apuração mais precisa do valor descontado."

Para Samanez (2010; p.112) "O desconto racional considera o valor presente como base de cálculo, o que proporciona resultados mais coerentes com os princípios financeiros, ao contrário do desconto comercial, que utiliza o valor nominal." 

Nesta modalidade, também chamada de desconto por dentro, o valor do desconto é a diferença entre o valor futuro (valor nominal ou de resgate) e o valor atual (valor líquido liberado na data de desconto) calculado a juros simples 

Neste caso, “i” representa taxa de juros simples, “n” é o prazo a decorrer até o vencimento do título; e, Vr é o valor líquido liberado na data de desconto.

No desconto racional simples o valor do desconto pode ser interpretado como o juro aplicado a um valor futuro (N x i x n), trazido para valor presente ao dividi-lo por (1 + i x n), trazido para valor presente ao dividi-lo por (1 + i x n). O uso da equação anterior exige observar a regra de proporcionalidade entre as dimensões da taxa de juros e o prazo da operação. 

Exemplos: 

1) Seja um título de valor nominal de $4.000,00 vencível em um ano, que está sendo liquidado em 3 meses antes de seu vencimento. Sendo que, 42% ao ano  à taxa nominal de juros corrente, pede-se para calcular o desconto e o valor descontado desta operação. 

Do ponto de vista do devedor, $380,10 representam o valor que está deixando de pagar por saldar a dívida antecipadamente (3 meses antes de seu vencimento). O valor líquido do pagamento (Valor descontado) é de $3.619,90. 

2) Determinar a taxa mensal de desconto racional de um título negociado 60 dias antes do seu vencimento, sendo seu valor de resgate igual a $26.000,00 e valor atual na data do desconto de $24.436,10 

Solução: 

n= 2 meses

N= $26.000,00

Vr = $ 24.436,10 

Sabe-se que, no desconto racional, o desconto é aplicado sobre o valor atual do título, ou seja, sobre o capital liberado. 

Logo: 

Conforme Samanez (2009; p. 113), "No desconto comercial, o cálculo é feito diretamente sobre o valor nominal, desconsiderando o conceito de valor presente, o que o torna menos preciso em termos financeiros."

Para Assaf Neto (2003; p.57), "O desconto comercial, também conhecido como 'desconto por fora', utiliza o valor nominal como base de cálculo, considerando o desconto proporcional ao tempo e à taxa pactuada, sem observar o valor presente da operação." 

Este tipo de desconto, simplificadamente, por incidir sobre o valor nominal (valor de resgate) do título, proporciona maior volume de encargos financeiros efetivos nas operações. Observe que, ao contrário dos juros “por dentro”, que calculam os encargos sobre o capital efetivamente liberado na operação, ou seja, sobre o valor presente, o critério “por fora” apura os juros sobre o montante, indicando custos adicionais ao tomador de recursos. 

A modalidade de desconto “por fora” é amplamente adotada pelo mercado, notadamente, em operações de crédito bancário e comercial a curto prazo. 

O valor desse desconto, genericamente denominado desconto “por fora” (Df) no regime de juros simples é determinado pelo produto do valor nominal do título (N), da taxa de desconto periódica “por fora” contratada na operação (d) e do prazo de antecipação definido para o desconto (n). isto é:

O valor Descontado “por fora” (Vf), aplicando-se a definição, é obtido: 

OBS: Para melhor avaliar as diferenças dos tipos de descontos, são desenvolvidos os mesmos exemplos utilizados anteriormente no desconto racional (ou “por dentro”).

Exemplos:

1) Um título de valor nominal de $4.000,00 vencível em um ano, está sendo liquidado antes do seu vencimento. Sendo de 42% ao ano a taxa de desconto adotada, pede-se para calcular o desconto e o valor descontado desta operação. 

Observe que o maior valor dos juros cobrados pelo título deve-se ao fato, conforme ressaltado anteriormente, de o desconto “por fora” ser aplicado diretamente sobre o valor nominal (valor de resgate) e não sobre o valor atual, como é característico das operações de desconto racional.  

Em verdade, o valor do desconto “por fora” equivale, num mesmo momento de tempo, ao montante do desconto “por dentro”, supondo-se as mesmas condições de prazo e taxa. Isto é: 

O cálculo do Valor descontado (Vf) é desenvolvido: 

2) Determinar a taxa de desconto “por fora” de um título negociado 60 dias antes do seu vencimento, sendo seu valor de resgate igual a $26.000,00 e valor atual na data de desconto de $ 24.436,10

É importante registrar que, em operações de desconto com bancos comerciais, são, geralmente, cobradas taxas adicionais de desconto a pretexto de cobrir certas despesas administrativas e operacionais incorridas pela instituição financeira. Estas taxas são, por vezes, prefixadas e incidem sobre o valor nominal do título uma única vez no momento do desconto. 

A formulação do desconto “por fora” apresenta-se, conforme demonstrada anteriormente: 

Chamando de “t” a taxa administrativa cobrada pelos bancos em suas operações de desconto e incluindo esta taxa na formulação, tem-se: 

De forma análoga, o valor descontado Vf incluindo a cobrança da taxa administrativa t, é apurado da forma seguinte:

Exemplo

1) Um título de valor nominal de $60.000,00 é descontado num banco dois meses antes do seu vencimento. Sendo de 2,8% ao mês a taxa de desconto usada na operação, calcular o desconto e o valor descontado. Sabe-se, ainda, que o banco cobra 1,5% sobre o valor nominal do título, descontados integralmente no momento da liberação dos recursos, como despesa administrativa. 

Observe que o desconto de $4.260,00 representa: 

Conforme Gitman e Zutter (2012; p.98) "O desconto composto é calculado considerando-se a capitalização composta, o que significa que os juros são aplicados sobre o saldo devedor atualizado periodicamente, refletindo de forma mais precisa o valor presente de uma dívida."

Para Assaf Neto (2009; p.112) "No desconto composto, o valor presente é obtido aplicando-se o desconto sobre o valor nominal de forma capitalizada, resultando em uma mensuração mais fiel do custo efetivo da operação."

O desconto composto, utilizado basicamente em operações de longo prazo, pode ser identificado, igualmente ao desconto simples, em dois tipos: o desconto “por dentro” (racional) e o desconto “por fora”. 

O desconto composto “por fora” caracteriza-se pela incidência sucessiva da taxa de desconto sobre o valor nominal do título, o qual é deduzido, em cada período, dos descontos obtidos em períodos anteriores. 

Generalizando, o desenvolvimento do desconto “por fora”, obtém-se a seguinte expressão de cálculo: 

Exemplo

1) Um título de valor nominal de $35.000,00 é negociado mediante uma operação de desconto composto “por fora” 3 meses antes do seu vencimento. A taxa de desconto adotada atinge 5% ao mês. Determinar o valor descontado e o desconto. 

O desconto composto “por dentro” (ou racional) é aquele estabelecido segundo as conhecidas relações do regime de juros compostos. Assim sendo, o valor descontado racional (Vr ) equivale ao valor presente de juros compostos: 

Por outro lado, sabe-se que o desconto é obtido pela diferença entre o valor nominal (resgate) e o valor descontado (valor presente). Logo, o desconto racional (Dr) tem a seguinte expressão de cálculo: 

Exemplos:

1) Sabe-se que um título, para ser pago daqui a 12 meses, foi descontado 5 meses antes do seu vencimento. O valor nominal do título é de $42.000,00 e a taxa de desconto é de 3,5% ao mês. Calcular o valor líquido liberado nesta operação, sabendo-se que foi utilizado o desconto composto “por dentro”. 

2) Calcular o valor do desconto racional de um título de valor nominal de $12.000,00 descontado 4 meses antes do seu vencimento a taxa de 2,5% ao mês. 

Desconto Racional

1) Calcular o valor descontado racional nas seguintes condições: 

a) um título com valor nominal de $17.000,00 com prazo de desconto de 3 meses e taxa de desconto de 50% ao ano:

b) um título com valor nominal de $52.000,00 com prazo de desconto de 4 meses e taxa de desconto de 36% ao ano:

c) Um título com valor nominal de $35.000,00 com prazo de desconto de 2 meses e taxa de desconto de 1,5% ao mês:

Desconto comercial (por fora)

1) Um título com valor nominal de $44.000,00 com prazo de desconto de 4 meses e taxa de desconto de 36% ao ano:

2) Um título com valor nominal de $80.000,00 com prazo de desconto de 3 meses e taxa de desconto de 2% ao mês:

3) Um título com valor nominal de $280.000,00 com prazo de desconto de 2 meses e taxa de desconto de 36% ao ano:

Algumas ações para negociar  descontos em financiamentos empresariais:

Essas dicas ajudam a otimizar o custo do financiamento empresarial, aproveitando descontos e condições favoráveis que podem ser mais vantajosas para o longo prazo da sua empresa.

Imagine que João deseja antecipar o pagamento de um financiamento de R$50.000 que vence em um ano. O banco oferece duas opções de desconto:

1. Desconto comercial simples: com taxa de 10% ao ano.

2. Desconto racional simples: com a mesma taxa de 10% ao ano.

João decide calcular os valores de ambas as opções:

1) Desconto comercial simples: Dc = 50.000 x 0,10 x 1

Dc = 5.000

O valor será $50.000 – 5.000 = $45.000 

Ao entender os dois métodos, João percebe que optar pelo desconto racional simples é financeiramente mais vantajoso, já que ele pagará $454,55 a menos. Esse exemplo ilustra como o conhecimento dos descontos pode influenciar decisões em financiamentos e empréstimos, evitando gastos desnecessários e otimizando recursos.

Nesta unidade pudemos estudar que o desconto em matemática financeira é essencial para compreender como as transações comerciais e financeiras são estruturadas. Esse conhecimento permite avaliar o impacto de descontos simples e compostos sobre valores presentes e futuros, ajudando na tomada de decisões mais informadas e estratégicas. Além disso, a análise de descontos proporciona ferramentas para negociar melhores condições de pagamento, otimizar recursos financeiros e calcular a viabilidade de investimentos, sendo uma competência indispensável, tanto para a gestão pessoal, quanto empresarial.

Compreender os descontos comercial e racional simples é fundamental na gestão financeira, pois ambos oferecem ferramentas práticas para a análise de operações envolvendo pagamentos antecipados ou negociações de dívidas. 

O desconto comercial, caracterizado pela simplicidade de seu cálculo, é amplamente utilizado em operações comerciais e facilita o entendimento dos custos envolvidos. Já, o desconto racional, por refletir de maneira mais precisa o valor presente de uma dívida, é essencial para decisões financeiras mais criteriosas. O domínio desses conceitos permite aos gestores avaliar cenários de forma estratégica, otimizando recursos e maximizando os benefícios financeiros em negociações e investimentos.

A aplicação dos descontos comercial e racional em análises de financiamentos e empréstimos é crucial para decisões financeiras assertivas.

Ao dominar essas técnicas, é possível comparar alternativas, negociar melhores condições e otimizar o planejamento financeiro, garantindo escolhas alinhadas aos objetivos e à saúde financeira de pessoas e organizações.

Entender as taxas de juros efetivas em descontos de financiamentos e empréstimos é essencial para avaliar com precisão o custo real das operações financeiras. A taxa efetiva considera a frequência de capitalização dos juros, permitindo identificar o impacto total dos encargos sobre o valor presente ou futuro de uma dívida. Isso é especialmente relevante ao comparar alternativas de desconto, seja pelo método comercial ou racional, em financiamentos e empréstimos.

ASSAF NETO, Alexandre. Matemática financeira e suas aplicações. 11.ed. São Paulo: Atlas, 2009. 278 p. ISBN 978-85-224-5531-7

BRUNI, Adriano Leal; FAMÁ, Rubens. Gestão de custos e formação de preços: com aplicações na calculadora HP 12C e Excel. 3.ed. São Paulo: Atlas, 2004. 551 p.

FARO, Clovis de. Fundamentos da matemática financeira: uma introdução ao cálculo financeiro e à análise de investimento de risco. São Paulo, 2006. 459 p. ISBN 85-02-05527-5

GITMAN L. J; ZUTTER C. J. Princípios de administração financeira.14. ed. São Paulo: Pearson, 2012.

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