Números Reales (R)

Los números reales (ℝ) son el conjunto de todos los números racionales e irracionales. Incluyen números positivos, negativos, cero, fracciones, números decimales finitos o infinitos, y números irracionales como π y √3.

Clasificación de los Números Reales

Propiedades de los Números Reales

Los números reales tienen las siguiente propiedades:

Elemento Inverso

Existe un número que, al operarlo, da como resultado el elemento neutro. El opuesto para la suma y el recíproco para la multiplicación.

Ejemplos:

• 4 - 4 = 0

• -2 + 2 = 0

• (2 / 3) (3 / 2) = 6 / 6 = 1

• (2) (1 / 2) = 2 / 2 = 1

Operaciones Aritméticas

Las operaciones aritméticas básicas son suma (adición), resta (sustracción), multiplicación y división. Estas operaciones se utilizan para agrupar, separar, sumar cantidades repetidas y distribuir un total en partes iguales, respectivamente, siendo fundamentales en matemáticas. 

1.Suma y Resta

Ley de signos

• Dos números enteros con signos iguales se "suman" y se respeta el signo de ambos.

• Dos números con diferente signo, se "restan" y se respeta el signo del número más grande.

Ejemplos:

23 + 18 = 41

-5 - 12 = -17

34 - 11 = 23

-46 + 22 = -24

-8 + 10 = 2

1000 - 267 = 733

Actividad 1. 

• 5 + 3 + 6 =

• 5 + 8 + 12 + 3 =

• 13 - 6 =

• 8 - 5 =

• -8 + 5 =

• -14 + 5 =

• -3 - 4 =

• -10 - 21 - 3 =

• 13 - 7 - 2 + 18 - 4 =

• 345 + 567 =

• 2000 - 1899 =

3. Multiplicación

Ley de signos

(+)(+) = +

(+)(-) = -

(-)(+) = -

(-)(-) = +

Ejemplos:

4 X 3 = 12

4 X -2 = -8

-5 X 6 = -30

-8 X -7 = 56

123 X 9 = 1107

345 X -12 = -4140

Actividad 2. 

• 18 X -3 =

• 2 X 15 =

• -8 X -7 =

• -36 X 19 =

• 123 X -6 =

• 346 X 25 =

• (-3) (-2) (-5) =

• (14) (-1) (-4) =

• 786 X 100 =

4. División

Ley de signos

(+)(+) = +

(+)(-) = -

(-)(+) = -

(-)(-) = +

Ejemplos:

16 / -2 = -8

40 / 5 = 8

-10 / -2 = 5

-14 / 4 = -3.5

57 / 3 = 19

150 / -7= -21.4285

320 / 12 = 26.6666

45 / 10 = 4.5

45 / 100 = 0.45

45 / 1000 = 0.045

Actividad 3. 

• 183 / 10 =

• 2344 / 100 =

• 2 / 1000 =

• 654 / -35 =

• -9876 / 4 =

• 10000 / 18 =

• -4562 / -7 =

Factorización de números naturales

El Teorema Fundamental de la Aritmética establece que todo número natural mayor que 1 se puede expresar de manera única como un producto de números primos, sin importar el orden de los factores. Esto significa que cada número compuesto tiene una sola combinación de factores primos que lo componen. La factorización se puede escribir utilizando la notación de exponentes para representar factores repetidos.

Por ejemplo:     100 = 2 X 2 X 5 X 5  = 2^2 X 5^2

La factorización de un número natural es el proceso de descomponerlo en un producto de números primos, también conocida como factorización prima. Para ello, se divide el número sucesivamente entre los números primos más pequeños posibles (2, 3, 5, 7, etc.) hasta que el cociente sea 1. El resultado es el producto de todos los números primos utilizados como divisores. 

Actividad 4. 

Factorizar los siguientes números naturales.

• 345

• 18

• 90

• 64

• 125

Mínimo Común Múltiplo (mcm)

Uno de los métodos más prácticos para calcular el mcm es la descomposición en factores primos.

Actividad 5. mcm

Resuelve los siguientes problemas calculando el m.c.m.

1. Oscar y Juan van a cenar a un mismo lugar. Oscar asiste cada 30 días y Juan, cada 20. ¿Cuántos días tendrán que transcurrir para volver a encontrarse?

2. Un carrito de helados pasa cada 4 días y un carrito de elotes, cada 10 días. Si el día de hoy pasaron ambos vehículos, ¿cuántos días deben transcurrir para que ambos carritos coincidan y pasen el mismo día?

3. Hay una banda compuesta por un guitarrista, un baterista, un bajista y un saxofonista. El guitarrista toca en lapsos de 8 tiempos; el baterista, en 12 tiempos; el saxofonista, en 6 tiempos, y el bajista en 16 tiempos. Si todos inician tocando al mismo tiempo, ¿en cuántos tiempos sus periodos volverán a coincidir?

4. Una agencia de viajes ofrece 3 diferentes cruceros. La primera opción completa el viaje en 6 días; la segunda, en 8 días, y la tercera, en 10 días. Si los tres cruceros parten el mismo día, ¿cuántos días deben transcurrir para que vuelvan a salir los tres cruceros juntos?

Máximo Común Divisor (MCD)

En ocasiones es necesario repartir varios conjuntos de objetos entre la mayor cantidad de personas. Existen métodos que permiten llegar al resultado de forma directa, es decir, mediante el cálculo del Máximo Común Divisor (MCD).

El procedimiento es por descomposición de factores primos (al igual que el mcm) pero con el requisito de que todas las cantidades puedan ser divididas por el mismo factor.

Actividad 6. MCD

Resuelve los siguientes problemas calculando el MCD.

1. Luis tiene un listón de 120 m y otro de 96 m. Quiere cortar ambos listones de tal forma que todos los trozos tengan la misma longitud y sean lo más largos posible. 

• ¿Cuántos trozos de listón obtendrá Luis?

• ¿Cuánto medirá cada trozo de listón?

2. Pepe quiere pintar algunas partes de su casa. Para esto necesitará: 12 litros de pintura azul, 24 litros de pintura amarilla y 16 litros de pintura blanca. Pepe quiere comprar botes de pintura con la misma cantidad de litros y que el número de botes sea el menor posible. 

• ¿De cuántos litros serán los botes de pintura?

• ¿Cuántos botes de cada color debe comprar?

3. Un negocio de pasteles abastece su demanda a partir de tres lugares. La primera sucursal produce 300 pasteles; la segunda, 240, y la tercera, 360. Los pasteles se transportan en camionetas que llevan el mismo número de piezas; se pretende que sea el mayor número posible. ¿Cuántos pasteles transporta cada camioneta?