Embedded Files
Indicadores de logro:
1.7. Reconoce la relación inversa entre presión y rapidez en un fluido ideal a partir de casos concretos.
1.8. Comprueba experimentalmente el teorema de Torricelli a partir del caudal de salida de un líquido en un recipiente.
1.9. Calcula la rapidez de salida de un líquido por el orificio de un recipiente a partir del teorema de Torricelli.
Hasta ahora, hemos desarrollado actividades sobre fluidos en reposo, pero cuando estos se encuentran en movimiento, cada gota cumple con las leyes del movimiento de Newton, si hiciéramos el análisis del movimiento para cada gota nos resultaría extremadamente complejo, sin embargo, podemos plantear situaciones donde los fluidos en movimiento cumplen ciertas condiciones para hacerlo práctico, para ello, nos basaremos en los principios de conservación de la masa y de la energía; partiendo de magnitudes que permiten estudiar fluidos como la densidad y presión.
Irene: El trayecto que describe cada partícula en un fluido en movimiento se conoce como línea de flujo. Si se mantienen las líneas durante cierto tiempo, es considerado como flujo estable.
A. Analizando un fluido en movimiento
Consideremos un fluido incompresible que se mueve por un tubo que tiene diferentes secciones transversales, como el de la figura que sigue. La cantidad de fluido no cambia cuando se mueve de una sección a otra en un determinado tiempo, sin embargo, la rapidez con la que pasa en las diferentes secciones es diferente; originando una dependencia de la presión con respecto a la rapidez.
Por otra parte, si fijamos dos secciones a diferentes alturas, se efectúa trabajo sobre la sección que se encuentra a menor altura para llegar a la altura mayor, dado que en el trabajo se involucran diferentes fuerzas, también estaría asociado con la energía mecánica total.
Dada la descripción del fluido incompresible en movimiento, intenta deducir lo siguiente:
La relación que existe en cada altura, entre la rapidez y la sección transversal por donde pasa el fluido.
A partir de la expresión anterior, deduce la rapidez con que el volumen se mueve en cualquiera de las dos secciones transversales.
Aplica el teorema del trabajo y energía al fluido, y encuentra la relación que existe con la presión.
Todos los días observamos fluidos en movimiento, por ejemplo, al llenar un vaso con agua de un grifo. Cuando tomamos el vaso con agua de un recipiente dispensador, podemos asumir que el recipiente tiene una cantidad de agua equivalente a un vaso menos de agua, con ello podemos identificar que se cumple el principio de conservación de la masa; ya que la cantidad de agua que estaba al inicio en el recipiente ahora está en el vaso. A continuación, experimentemos el comportamiento de un fluido en movimiento.
B. Deduciendo la expresión de la rapidez de salida de un fluido
Consideremos la imagen que se muestra, donde encontramos un recipiente con forma cilíndrica que posee un área transversal A1, que contiene un fluido de densidad ρ hasta cierto nivel, la parte superior del recipiente se encuentra totalmente expuesta a la atmósfera.
A una profundidad ℎ tiene un orificio de área A2 en la parte lateral, provocando que el fluido salga por él con una rapidez v2, que podemos nombrar rapidez de salida. Dado que la parte superior del recipiente y el agujero están expuestos al aire, reciben la presión atmosférica (P0).
Con lo descrito anteriormente, y haciendo uso de la ecuación de Bernoulli que te presenta Nico, resuelve lo siguiente:
Encuentra una expresión para la rapidez de salida. Asume que cuando el fluido empieza a salir por el agujero, la rapidez en la parte superior es despreciable.
Usa el resultado del paso 1 para escribir una expresión que permita obtener la rapidez con la que se mueve el volumen del fluido o rapidez de flujo. Usa la ecuación de continuidad que se encuentra en la figura mostrada.
A1: área sección 1
A2: área sección 2
v1: rapidez del fluido en sección 1
v2: rapidez del fluido en sección 2
Nico: La ecuación de Bernoulli resulta del teorema del trabajo y la energía; relacionando la diferencia de presión entre dos puntos de un fluido en movimiento.
El movimiento de los drones es debido a los cambios de presión que se origina por el movimiento de sus rotores, basado en el principio de Bernoulli.
C. Experimentando con la evacuación de un fluido
La expresión de la rapidez de salida de un fluido, cuando es evacuado de un recipiente por un orificio, es similar a la que adquiere un cuerpo al caer libremente. Para hacer un análisis experimental, podemos elaborar un sistema similar al descrito en la actividad B u otro diferente, donde el agua se evacua al fondo del recipiente. Veamos cómo.
Materiales: 2 recipientes plásticos con forma cilíndrica y capacidad mínima de 1 L, tijera, cúter, regla de 30 cm, cinta métrica para costura de 150 cm, colorante comestible, cinta tapagoteras, agua, marcador permanente, ladrillo de arcilla, recipiente hondo, con capacidad mínima de 1.5 L y 30 cm de diámetro, y cronómetro.
Procedimiento:
Toma uno de los recipientes con forma cilíndrica y corta transversalmente un extremo. El diámetro de la sección circular debe ser similar a la parte cilíndrica del recipiente.
2. Abre en el centro un orificio de 2.0 mm de diámetro aproximadamente, opuesto al corte transversal que realizaste.
3. Toma una porción de cinta tapagoteras para cubrir totalmente el orificio.
4. Traza por la parte externa del recipiente, en el sector que tenga una forma aproximadamente cilíndrica, una escala de medida, con separaciones de 1.0 cm, partiendo del sector donde se encuentre más cerca el orificio de menor diámetro.
5. Divide el ladrillo en dos bloques similares, y colócalos al fondo del recipiente hondo.
6. Pon colorante comestible en el interior del segundo recipiente con forma cilíndrica; luego, vierte agua hasta llenarlo.
7. Coloca el recipiente al que realizaste los agujeros sobre los bloques de ladrillo y vierte el agua coloreada hasta aproximadamente 2.0 cm por encima de la mayor marca de la escala.
8. Retira la cinta tapagoteras y verifica que el orificio por donde saldrá el agua no se encuentre obstruido.
9. Verifica que el agua salga por el orificio hasta la marca de 0 cm (o menos). De ser necesario, retira el agua del recipiente hondo.
10. Repite los pasos 7 y 8, y mide el tiempo en el que desciende cada centímetro de agua (primer ensayo). Luego, desarrolla:
a. Registra en la tabla las magnitudes obtenidas en el primer ensayo, dentro de las columnas t1 y ℎ1
b. Realiza dos ensayos más (paso 10) y registra las magnitudes medidas dentro de las columnas t2 y ℎ2; t3 y ℎ3, respectivamente.
c. Escribe el promedio correspondiente de las magnitudes que has medido, dentro de las columnas 𝑡̅ y ℎ̅ .
Comparando entre la figura del recipiente de la actividad B con el que elaboramos en la actividad C, podríamos obtener un resultado similar para la rapidez, pero para el caso del que elaboramos debemos tomar en consideración la rapidez del fluido en la región superior (mayor área transversal), por ello, no la podemos considerar despreciable comparada con la rapidez con la que evacúa el fluido, para obtener una expresión más cercana se debe utilizar la ecuación de Bernoulli:
P1 + ρ𝑔ℎ1 + ½ ρv12 = P2 + ρ𝑔ℎ2 + ½ ρv22 (Ec. 1.13)
Además, podemos encontrar la relación entre la rapidez del agua en ambos puntos, utilizando la ecuación de continuidad:
A1v1 = A2v2 (Ec. 1.14)
Ecuación de continuidad
Partiendo de una situación similar a la que resolvimos en la etapa de Indagación, observemos la siguiente imagen que representa un tubo donde hay un flujo laminar.
Delimitamos porciones de las masas, definiendo Δ𝑚1 para la primera sección y Δ𝑚2 para la segunda. Como ambas porciones son iguales, podemos realizar lo siguiente:
Δ𝑚1 = Δ𝑚2
Expresamos las porciones de las masas en función de la densidad (ρ) del fluido.
Δ𝑚1 = ρΔV1 y Δ𝑚2 = ρΔV2
Como es el mismo fluido el que se desplaza por el tubo, sería la misma densidad en toda la sección, al igual que el volumen, aunque por la forma del tubo pueden cambiar ciertos parámetros, como la longitud de la sección del tubo o el área transversal por la que pasa el fluido. Consideremos lo anterior y expresemos la masa de la siguiente manera:
ρΔV1 = ρΔV2 → ΔV1 = ΔV2
Las secciones transversales se mantendrían fijas independientemente de la cantidad de fluidos que pasen por ellas, puedes expresar la sección de volumen en relación con el área transversal (𝐴 1 y 𝐴2) y la distancia correspondiente (Δ𝑥1 y Δ𝑥2).
𝐴 1Δx1 = 𝐴2 Δx2
Por otro lado, podemos escribir la distancia dependiendo de la rapidez:
Δx1 = v1Δt y Δx2 = v2Δt
𝐴 1v1Δt = 𝐴2v2Δt
De esa forma deducimos la ecuación de continuidad para un fluido incompresible.
A1v1 = A2v2 (Ec. 1.15)
Caudal
El caudal (𝑄) es la rapidez con la que el volumen del fluido se mueve en cualquiera de las dos secciones transversales. Para deducir una expresión usamos las ecuaciones de densidad y de continuidad, de la siguiente manera:
ΔV1= Δ𝑚1/ρ; Δ𝑚1 = Δ𝑚2
ΔV1 = Δ𝑚2/ρ
ΔV1 = (ρ𝐴2v2Δt)/ρ
ΔV1/Δt = 𝐴2v2 = 𝑄
𝑄 = ΔV1/Δt (Ec. 1.16)
Teorema de Torricelli
Iniciemos analizando la figura de la actividad B, donde llamaremos sección 1 a la parte superior y 2 a la inferior. Luego, planteamos la ecuación de Bernoulli:
P1 + ρ𝑔ℎ1 + ½ ρv12 = P2 + ρ𝑔ℎ2 + ½ ρv22
Analizamos cada uno de los puntos, empezando por P1 y P2 ; como están expuestos a la atmósfera, reciben la misma presión atmosférica P0 . Si colocamos nuestro sistema de referencia en el orificio notamos que la sección 1 se encuentra a una altura ℎ y la otra a 0 m; con respecto a la rapidez, en la sección 1 sería despreciable P2v1 ≈ 0 m/s. Ahora, la ecuación nos quedaría:
P0 + ρ𝑔ℎ + ½ ρ(0 m/s)2 = P0 + ρ𝑔(0 m) + ½ ρv2
Despejando la rapidez (v) tenemos:
v = √(2𝑔ℎ) (Ec. 1.17)
Nico: La rapidez de salida para un fluido que sale por un orificio ubicado a una profundidad ℎ del recipiente que lo contiene es v = √2𝑔ℎ, conocido como teorema de Torricelli.
Notación
El caudal se expresa con las siguientes unidades:
m3/s
Reflexionemos sobre las actividades desarrolladas. En la actividad B, obtuvimos una expresión para la rapidez de salida de un fluido por un orificio que se encuentra a una profundidad determinada, dicho resultado es conocido como el teorema de Torricelli, que además es una expresión similar a la que se obtiene de un objeto en caída libre. En la actividad C, el orificio se ubicó al fondo del recipiente, al analizarlo obtendríamos resultados similares, sin embargo, a medida que el fluido se ubica a diferentes profundidades se tienen que considerar otras magnitudes que podemos discutir a continuación.
En la actividad C, teníamos un depósito con agua inicialmente hasta una altura ℎ, pero cuando empezó a vaciarse medimos los cambios de profundidad y de tiempo, ambas magnitudes tienen relación con el caudal. Si realizamos un análisis teórico, podemos encontrar una expresión que relacione las magnitudes medidas.
Nos referiremos con subíndice 1 a la parte superior del recipiente y con 2 al orificio, utilizando la ecuación de continuidad y la de caudal de la parte superior de la siguiente manera:
A1v1 = A2v2 y 𝑄 = ΔV1/Δt
Consideremos un recipiente como el de la figura, para poder colocar el cambio de volumen ΔV1 en relación con los cambios de altura o descenso del nivel de agua Δℎ; tomamos la expresión del cálculo del volumen de un cilindro y llegamos a la siguiente expresión:
ΔV1 = 𝜋𝑟12Δℎ
Donde 𝑟1 es el radio de la parte superior del recipiente.
Para disminuir la propagación de errores, es preferible que expresemos el volumen en función del diámetro (𝐷). Recordemos que 𝐷 = 2𝑟
ΔV1 = 𝜋(𝐷1/2)2Δℎ
ΔV1 = ¼ 𝜋𝐷12Δℎ
Si dividimos por el cambio de tiempo, obtenemos una expresión para el caudal que utilizaremos en los cálculos de las medidas obtenidas en la actividad C.
𝑄 = ¼ 𝜋𝐷12(Δℎ/Δt) (Ec. 1.18)
Tomando en cuenta la ecuación de continuidad, el caudal puede escribirse considerando el agua que pasa por el orificio:
𝑄 = 𝐴2v2
Podemos usar el teorema de Torricelli, v = √(2𝑔ℎ), colocando el caudal de la siguiente manera:
𝑄 = 𝐴2√(2𝑔ℎ) (Ec. 1.19)
Esta sería otra forma de representar el caudal, si observamos, el caudal no se encuentra identificado con un punto en específico, dado que por la ecuación de continuidad sería similar.
𝑄1 = 𝑄2 = 𝑄
D. Analizando el movimiento de un fluido por un orificio
Ahora analizaremos los resultados que obtuvimos en la actividad C, para ello, usaremos la expresión del caudal para el vaciado de un recipiente, demostrada antes. Además, necesitaremos manipular las medidas de los descensos y el tiempo para asociar los resultados experimentales a un modelo teórico. Posteriormente, podemos comparar y discutir resultados con otros compañeros.
Materiales: recipiente con un orificio al fondo (utilizado en la actividad C), calculadora y calibrador vernier.
Procedimiento:
Mide con el calibrador vernier el diámetro interno de la parte superior del recipiente que utilizaste en la actividad C.
Usa la ecuación 1.18 para calcular el valor del caudal (𝑄) para cada promedio de los descensos (ℎ̅) de agua con el tiempo correspondiente.
a. Registra los valores de 𝑄 para cada ℎ̅ del fluido en una tabla.
b. Elabora un cuadrante de plano cartesiano, verifica que la escala de los ejes esté acorde con los valores de la tabla y coloca los puntos obtenidos del caudal y los descensos (ℎ̅ , 𝑄).
3. Verifica si el gráfico que obtuviste tiene relación similar a la ecuación 1.19.
4. Considera los valores constantes de 𝑔 = 9.80 m/s2 y 𝜋 = 3.14 para cálculos posteriores.
5. Realiza el cambio de variable 𝑥 = √(ℎ̅), para obtener una gráfica aproximadamente lineal de los datos obtenidos.
c. Registra los valores encontrados del caudal y el cambio de variable 𝑥 = √(ℎ̅) (donde 𝑥 es igual a la raíz cuadrada de los promedios de descensos).
d. Elabora un cuadrante del plano cartesiano, considera la escala de los ejes que estén dentro del rango de los valores de la tabla, luego, coloca los puntos que obtuviste (𝑥, 𝑄).
e. Traza una línea recta, que mejor se ajuste a los puntos de la gráfica. Considera el error en cada punto.
f. Encuentra la pendiente de la línea recta que trazaste.
6. Asume la relación del caudal como una dependencia del cambio de variable, de siguiente manera:
𝑄(𝑥) = 𝐴2√(2𝑔𝑥) (Ec. 1.20)
La expresión 𝐴2√(2𝑔𝑥) sería aproximadamente la pendiente que acabas de calcular, iguala su valor y calcula lo siguiente:
g. El área del orificio por donde evacua el agua.
h. Asume que el orificio tiene forma circular y calcula su diámetro.
Cuando realizamos un cambio de variable, la finalidad es buscar una relación directa que nos permita calcular alguna magnitud involucrada en la pendiente, en esta ocasión encontramos el área y el diámetro del orificio del recipiente, esto resulta más conveniente cuando no podemos obtener dichas magnitudes por otro método.
Carlos: El método de cambio de variable de un gráfico te permitirá obtener una línea recta, con esto podrías analizar la relación entre las variables involucradas de una forma menos complicada entre las variables involucradas.
Page updated
Report abuse