Semana 8
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Indicadores de logro:
2.7. Explica la ley de conservación de la energía mecánica a partir de un experimento.
2.8. Interpreta gráficas de energía cinética y potencial obtenidas a partir de un experimento.
Hasta ahora hemos desarrollado actividades sobre fuerzas que realizan trabajo sobre un objeto. Notamos que cuando la fuerza gravitatoria o el peso realizan trabajo podemos estudiarlo como una diferencia de energía potencial gravitatoria que, a medida que el objeto se mueve, podemos verlo como un cambio de energía cinética. Quiere decir que un tipo de energía se transformó en otra, como lo demostramos en la ecuación 2.14, además de definir la energía mecánica con la ecuación 2.16. Sin embargo, en condiciones iniciales y finales, la energía mecánica sería la misma. Cuando nos movemos en un tobogán y analizamos varios puntos de descenso, ¿qué cambios podemos observar entre la energía potencial gravitatoria y cinética? Veamos a continuación durante el desarrollo de esta lección para responder la pregunta.
A. Analizando la energía mecánica de un objeto en caída libre
Para analizar un objeto en caída libre podemos tomar un objeto de forma esférica, de preferencia un sólido de masa m. Si aplicamos una fuerza y el objeto sale hacia arriba con una velocidad v1 y llega hasta una altura y, se detiene teniendo una rapidez v2. Luego, el objeto desciende y tendríamos una situación similar si lo soltáramos de una altura y.
En varios puntos del ascenso o el descenso del objeto podemos notar que la energía potencial gravitatoria cambia referente a la altura del objeto y la cinética dependiendo de su movimiento. Sin embargo, usando la ecuación 2.16, en cualquier punto que se encuentre el objeto, la energía mecánica sería similar.
Dada la descripción del objeto en movimiento vertical, intenta resolver lo siguiente:
a. Explica la interacción de las fuerzas que actúan sobre el objeto cuando se encuentra en el aire. Desprecia la resistencia del aire.
b. Si el objeto tiene una masa de 0.20 kg y una velocidad de v1 = 15.0 m⁄s, determina la altura que alcanza el objeto (usa la ecuación 2.15).
c. Considera la ecuación 2.16 y elabora gráficas de energía que muestren la conservación de la energía mecánica en los puntos 1 y 2 en el ascenso del objeto.
Lisa: Investigué que cuando un objeto desciende por un plano inclinado, si este no rota, la energía potencial poco a poco se convierte en cinética hasta que el objeto termina su descenso.
La energía mecánica se conserva cuando la suma de las energías potencial gravitatoria y cinética se mantiene constantes en cualquier punto del movimiento de un objeto. Si bien sus valores pueden cambiar, la suma permanece constante, como lo vimos en la ecuación 2.16. Sin embargo, en ocasiones es necesario representar la variación de la energía mediante gráficas que nos permitan visualizar cómo se transforma una en otras; por lo general, son barras para las que, cualitativamente, dado que no es necesario un cálculo, basta con saber el comportamiento de la energía. Podemos realizar un ejemplo con el movimiento parabólico, como el movimiento de una canica en un semicírculo.
En el movimiento parabólico podemos representar la conservación de la energía mecánica mediante gráficas. En la imagen siguiente se observa un futbolista lanzando un balón. Representamos por medio de gráficas la conservación de la energía mecánica en los puntos señalados.
1
2
3
4
Nico: Las fuerzas conservativas permiten tener una conversión entre energía cinética y energía potencial gravitatoria, manteniendo constante la energía mecánica.
La energía mecánica se mantiene constante en todo momento. Notamos que hay una conversión entre la energía cinética y la energía potencial gravitatoria. A medida que el balón asciende, la energía cinética se convierte en energía potencial gravitatoria, pero en el descenso ocurre lo contrario. A continuación, experimentaremos con la conservación de la energía mecánica.
B. Experimentando con el movimiento de una canica
Si dejamos caer una canica desde cierta altura estaríamos en una situación similar a la actividad A. Sin embargo, si dejamos caer la canica en un tubo en forma de U, notamos que desciende y luego vuelve ascender por el otro lado del tubo. A continuación, demostraremos cómo se conserva la energía mecánica en el movimiento que realizará la canica en un tubo en U.
Materiales: 1 m de manguera transparente, canica de diámetro menor al de la manguera, regla de 30 cm, regla de 1 m, 4 cinchos de nylon de 20 cm de longitud, 2 soportes universales, marcador, balanza.
Procedimiento:
Toma la manguera para formar un tubo en U, sujeta dos cinchos de nylon a cada lado y sujétalo a los soportes universales. La altura de cada lado sería alrededor de 30 cm.
2. Mide la masa de la canica y registra su valor.
3. Mide la altura de uno de los lados del tubo en U, donde podrías colocar la canica para observar su movimiento.
4. Calcula la energía potencial gravitatoria de la canica si la colocas a la altura que mediste en el numeral anterior, usa la ecuación 2.11 y considera g = 9.8 m/s2.
5. Coloca la canica a la entrada de la altura que mediste en el numeral 3.
6. Suelta la canica y marca la altura máxima que asciende al otro lado.
7. Calcula la rapidez de la canica cuando pasa por el punto más bajo del tubo en U empleando la ecuación 2.15 y la energía potencial gravitatoria que alcanza cuando asciende por el otro lado, considera g = 9.8 m/s2.
8. Cambia la altura de uno de los lados (uno de los lados deberá tener mayor altura).
9. Suelta la canica por el lado que posee mayor altura y marca el ascenso máximo que alcanza al otro lado. Repite el lanzamiento de la canica, ahora por el lado de mayor altura. ¿Por qué la altura que asciende en ambos casos es diferente?
En la actividad A planteamos que el objeto se mueve en una trayectoria vertical recta y utilizamos las ecuaciones 2.15 y 2.16 para analizarlo. Sin embargo, al inicio de la presente etapa y en el desarrollo de la actividad B, notamos que son trayectorias curvas, dado que el peso realiza trabajo; podemos considerar las mismas ecuaciones.
Sin embargo, como observamos en la actividad B, cuando soltamos la canica por uno de los lados del tubo en U, no alcanza la misma altura en el ascenso; esto quiere decir, y por los cálculos que realizamos, que la energía mecánica es diferente. Independientemente de la altura a la que soltemos la canica, observamos que tiene un ascenso diferente. Podemos preguntarnos ¿qué fuerzas realizan trabajo sobre la canica? De manera comparativa, podemos auxiliarnos de gráficos para observar el comportamiento de la energía potencial gravitatoria y cinética durante el movimiento de la canica.
Considerando lo anterior, estaríamos en un escenario donde existe una fuerza que también ejerce trabajo sobre la canica, lo que de manera teórica nos llevaría a pensar que las ecuaciones 2.13 y 2.14 tendrían que modificarse. Para comprender más esta situación, pasemos a verificar la sección de Así se hace...
Cambios en la energía mecánica
Cuando una fuerza diferente al peso o gravitacional efectúan trabajos sobre un objeto, se ve alterada la energía mecánica. Analicemos la siguiente situación en una rampa semicircular de un skatepark.
Analicemos el movimiento de Luis sobre la patineta. Cuando desciende por el lado derecho, si no se impulsa con sus pies, a la izquierda asciende a una altura distinta, como se muestra en los siguientes esquemas:
Notamos que la altura que alcanza Luis en el ascenso es diferente, y1 > y2. Si en ambos extremos efectuamos una comparación de la energía mecánica, vamos a obtener lo siguiente:
Si solo la gravedad realizara trabajo, podríamos describir la energía mecánica como en la ecuación 2.13; sin embargo, hay otras fuerzas que también realizan trabajo, y lo vamos a identificar como Wotras. Entonces el trabajo total (Wtotal) sería la suma del trabajo realizado por el peso con el que realizan las otras fuerzas. Podemos representarlo por la ecuación:
Wtotal = Wg + Wotras (Ec. 2.19)
Recordemos el teorema del trabajo y la energía cinética. Utilizando la ecuación 2.8 en 2.19, tendremos:
Wtotal = Wg + Wotras = ∆K
Asimismo, el trabajo realizado por el peso podemos sustituirlo por la ecuación 2.12:
Wotras - ∆Ug = ∆K
Reordenando los cambios de energía potencial gravitatoria y cinética, tenemos:
Wotras + Ug1 - Ug2 = K2 - K1
Ahora, reordenando similar a la ecuación 2.14:
K1 + Ug1 + Wotras = K2 + Ug2 (Ec. 2.20)
Además, la ecuación 2.20 podemos reescribirla como:
½ mv12 + mgy1 + Wotras = ½ mv22 + mgy2 (Ec. 2.21)
Las ecuaciones 2.20 y 2.21 consideran el trabajo realizado por todas las fuerzas distintas al peso.
Volviendo al movimiento de Luis con su patineta, si hubiese un incremento en la energía mecánica, quiere decir que:
(K2 + Ug2) > (K1 +Ug1)
En ese caso, Wotras sería positivo; por lo contrario:
(K2 + Ug2) < (K1 +Ug1)
Wotras sería negativo, que sería el caso que hemos planteado con el movimiento de Luis en su patineta. Por otra parte, si Wotras = 0, la energía mecánica sería constante y se conservaría; de ese modo volveríamos a utilizar las ecuaciones 2.14 y 2.15.
Para finalizar, en ciertas circunstancias podemos tratar con fuerzas conservativas y no conservativas. En las primeras podemos representar la relación trabajo -energía cinética como reversibles. En el segundo caso surgen otros términos para tomar en consideración, tal es el caso del cambio de la energía interna de los objetos, dado que de esa forma se manifiesta el trabajo realizado por fuerzas no conservativas. Es de considerar que la suma de las energías potencial, cinética e interna se conserva.
Hasta el momento hemos discutido que si solo la fuerza gravitatoria realiza trabajo sobre un objeto, la energía mecánica se conserva; sin embargo, existe otro tipo de fuerza que al realizar trabajo también se conserva la energía mecánica, y es la elástica, que se desarrollará en la siguiente unidad. Por otra parte, hemos notado que cuando hay otras fuerzas que realizan trabajo, podemos calcularlo mediante la diferencia de la energía mecánica considerando las ecuaciones 2.20 y 2.21; con ello podremos resolver problemas donde se involucren fuerzas diferentes al peso que realicen trabajo sobre un objeto.
C. Analizando el trabajo que otras fuerzas realizan
Ahora analizaremos ejemplos donde queda evidenciado que otras fuerzas realizan trabajo sobre un objeto. Además, retomaremos los resultados que obtuvimos en la actividad B, para lo que usaremos la expresión que demostramos en la sección Así se hace...
Ejemplo 1. Irene ayuda a Luis a mover unas cajas a un pick up que se encuentra estacionado en una superficie plana. Para evitar estar levantando las cajas a una altura aproximadamente de 1.20 m, decide colocar un plano inclinado de 1.90 m de longitud; de esa manera le facilitaría el ascenso de las cajas. Si una de las cajas tiene una masa de 15.0 kg, ¿qué rapidez debe de darle Irene a las cajas para que logren ascender hasta el pick up?
Solución. Primero identificamos el punto de partida o inicial (1) desde donde Irene aplicará la fuerza a la caja, luego el punto final (2) hasta donde llegará la caja. Nos apoyamos de esquemas que nos permitan auxiliar sobre el movimiento de la caja. Hacemos uso de la ecuación 2.15 y la conservación de la energía mecánica para analizar los puntos iniciales y finales que son de nuestro interés. Usaremos subíndices 1 para el inicial y 2 para el final; escribimos la ecuación 2.15.
½ mv12 + mgy1 = ½ mv22 + mgy2
Identificaremos cada miembro de la ecuación: v1 es la rapidez con la que Irene impulsará la caja, y podemos colocarla como v. Para y1 sería la altura que se encuentra en el punto inicial. Tomando nuestro marco de referencia, dicha altura es de 0 m; en consecuencia, y1 = 0 m. v2 sería la rapidez en el punto final. Como se detiene v2 = 0 m⁄s, y2 sería la altura que alcanza la caja y2 = 1.20 m; m sería la masa de la caja, que según el problema tendría un valor de 15.0 kg. Observamos que en ambos miembros de la ecuación podemos obtener el factor común de la masa. Luego, simplificarla.
m (½ v2 + gy1) = m (½ v22 + gy2)
½ v2 + gy1 = ½ v22 + gy2
Pasamos a sustituir las magnitudes que sean 0.
½ v2 + g(0 m) = ½ (0 m/s) + gy2
Reorganizamos la expresión anterior y despejamos para v1.
½ v2 = gy2
v = √(2gy2)
Ahora tomamos el valor de la magnitud de la aceleración gravitatoria como 9.8 m⁄s2 y sustituimos el valor de y2 para calcular la rapidez que Irene debe aplicarle a la caja.
v = √[2(9.8 m⁄s2)(1.20 m)]
v ≈ 4.8 m⁄s
Mientras la canica desciende debido a la fuerza gravitatoria, la energía potencial gravitatoria se transforma en energía cinética.
Ejemplo 2. Irene le aplicó una rapidez similar a la calculada en el ejemplo 1. Sin embargo, no consideró la fricción entre la caja y el plano inclinado, algo de lo que se dio cuenta cuando observó que la caja solo se movió 1.50 m sobre el plano inclinado, quedando a una altura aproximada de 0.96 m. ¿Cuál sería la magnitud de la fuerza de fricción que también realiza trabajo sobre la caja?
Solución. Comenzamos identificando los puntos iniciales y finales como en el ejemplo 1. Pero como estamos considerando otra fuerza que realiza trabajo, necesitaremos utilizar la ecuación 2.21.
½ mv12 + mgh1 + Wotras = ½ mv22 + mgy2
Identificaremos cada miembro de la ecuación: v1 es la rapidez v ≈ 4.8 m⁄s que calculamos en el ejemplo 1. Para y1 = 0 m; v2 = 0 m⁄s, y2 sería la altura que alcanza la caja, para este caso y2 = 0.96 m; m sería la masa de la caja del ejemplo 1, que tendría un valor de 15.0 kg. Al sustituir los valores nulos, tendríamos:
½ mv2 + mg(0 m) + Wotras = ½ m(0 m⁄s) + mgy2
½ mv2 + Wotras = mgy2
Para Wotras, podemos usar la ecuación 2.2, considerando que la fuerza que hace trabajo es la fricción Ff
½ mv2 + (-Ff ∆x) = mgy2
El trabajo realizado por la fuerza de fricción es negativo; el recorrido sería hasta donde sube la caja ∆x = 1.50 m. Despejando para Ff, tenemos:
½ mv2 - Ff ∆x = mgy2
Ff ∆x = ½ mv2 - mgy2
Ff = (m/2∆x)(v2 - 2gy2)
Ahora sustituimos:
Ff = [15.0 kg/(2 x 1.50 m)] [(4.8 m⁄s)2 - 2(9.8 m⁄s2)(1.20 m)]
Realizando los cálculos, el resultado para la magnitud de la fuerza de fricción sería:
Ff = 2.4 N
Haciendo unos pequeños cálculos, podemos encontrar la fuerza que aplicó Irene a la caja. Puedes efectuar cálculos similares con los resultados obtenidos en la actividad B. Utilizando la ecuación 2.21, calcula el trabajo que otras fuerzas realizan sobre la canica en las siguientes situaciones:
a. Donde soltaste la canica cuando ambos lados de la manguera se encontraban a la misma altura (puedes tomar de referencia los pasos del 4 al 7 de la actividad B).
b. Donde soltaste la canica cuando ambos lados de la manguera fueron diferentes (puedes tomar de referencia los pasos 8 y 9 de la actividad B).
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