Semana 2
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Indicadores de logro:
1.4. Mide directamente las componentes de un vector a lo largo de un par de ejes perpendiculares.
1.5. Suma y resta dos vectores por el método de las componentes rectangulares.
1.6. Aplica la técnica de diagrama de cuerpo libre sobre un objeto de análisis.
Algunas cantidades físicas, como la masa, se pueden describir completamente con un solo número y una unidad de medida. Como ya lo hemos experimentado, para medir con una balanza la masa de un líquido depositado en un vaso de precipitado simplemente medimos por separado la masa del vaso, luego la masa del vaso con el líquido, y restamos aplicando aritmética ordinaria.
mtotal = mvaso + mlíquido
Sin embargo, en física muchas otras cantidades importantes están asociadas con una dirección y no pueden describirse con un solo número, como la velocidad. Como vimos la semana anterior, para expresar la velocidad de una persona es necesario indicar no únicamente qué tan rápido se desplaza, sino también en qué dirección. Así, rapidez con dirección da como resultado velocidad, que es un vector.
Otro ejemplo es la fuerza. Para describir plenamente una fuerza hay que indicar no solo su intensidad (qué tan grande es), sino también en qué dirección hala o empuja sobre un cuerpo. Para combinar vectores se requiere un conjunto de operaciones diferentes a la aritmética común. Veámoslo en la siguiente actividad.
A. Componentes rectangulares de un vector
Materiales: hoja de papel, cinta adhesiva, transportador, regla graduada de 20 cm, lápiz de 10 a 15 cm de longitud y lámpara.
Procedimiento:
Dobla la hoja de papel por la mitad; luego desdóblala y traza una línea perpendicular a la marca del doblez, procurando que quede a la mitad.
2. Adhiere los lados no marcados de la hoja a la mesa y a la pared o a una superficie vertical, formando una L.
3. Haz cuatro marcas a diferentes alturas sobre la línea vertical que quedó en el lado de la hoja pegada a la pared (eje Y). Mide las marcas desde la línea del doblez de la hoja y escribe sus valores en cm.
4. Coloca dentro de la hoja el lápiz inclinado con la punta sobre la primera marca vertical y el borrador (o cola) sobre la línea horizontal de la cara del papel que está sobre la mesa (eje X). El lápiz debería quedar apoyado sin problemas, pero si cae puedes apoyarlo en el otro plano perpendicular a las caras de la hoja (zona sombreada).
5. Mide la longitud del lápiz e identifica y anota la primera marca vertical sobre la cual lo has apoyado. Luego, mide el ángulo con respecto a la horizontal.
6. Ilumina el lápiz desde el lado que queda frente al plano vertical, apuntando la luz hacia él. Aleja la lámpara, ubicándote en la línea marcada sobre el plano horizontal, de manera que se proyecte la sombra con nitidez. Marca sobre el eje X la distancia a la que ha quedado el borrador.
a. Registra las magnitudes medidas (longitud del lápiz (cm), marca vertical (cm), marca horizontal (cm), ángulo). Ten presente que el ángulo medido con el transportador es el ángulo del lápiz con respecto a la horizontal.
7. Repite los pasos del 4 al 6 para las otras tres marcas.
b. Traslada las mediciones que realizaste en el numeral anterior a la tabla y termina de completarla.
c. ¿Qué ángulo hay entre la pared o superficie vertical y la mesa o superficie horizontal?
d. ¿Qué representa la línea dibujada sobre el plano horizontal?
e. ¿Qué representa la línea dibujada sobre el plano vertical?
f. ¿En qué plano se ubicaría el lápiz? ¿Qué plano sería el plano cartesiano? Explica.
Fíjate que…
Se llama cola al inicio de la flecha que representa al vector en el punto de aplicación, y punta o cabeza al final de la flecha.
En la actividad anterior efectuamos algunas mediciones directas, como la longitud de las sombras proyectadas por el lápiz sobre el eje X (la línea sobre la cara de la hoja apoyada sobre la mesa) y el eje Y (la línea sobre la cara de la hoja apoyada verticalmente sobre la pared). Además, medimos el ángulo que formaba el lápiz con la horizontal. En ese caso, el lápiz simula un vector cuya cola es el borrador y la cabeza es la punta. De esta forma reconocemos que:
Las proyecciones del vector sobre el eje X y el eje Y son sus componentes rectangulares en cada eje, respectivamente.
El ángulo medido con respecto a la horizontal sería su dirección.
Si proyectamos las componentes rectangulares, como se muestra en la figura B en rojo, podemos notar que se forma un triángulo rectángulo, dibujado en verde en la figura C. Observemos que la magnitud de las componentes del vector son los catetos del triángulo rectángulo (cateto adyacente = AX y cateto opuesto = AY) y la magnitud del vector es la hipotenusa (A).
Ojo al dato
Para un triángulo rectángulo se cumplen las funciones trigonométricas seno (sen), coseno (cos) y tangente (tan):
cos α = AX/A
sen α = AY/A
tan α = AY/AX
Escanea el código QR para aprender más sobre el uso de la calculadora científica. https://qrs.ly/z8fs163
B. Medidas directas e indirectas de la dirección de un vector
Usamos funciones trigonométricas para calcular de manera indirecta la dirección y componentes de un vector. Veamos como las utilizamos en el siguiente ejemplo.
Ejemplo 1. Se efectuó un experimento como el de la actividad A, donde se utilizó un lápiz de 12.0 cm y se midió sus proyecciones en el eje X y en el eje Y, que fueron de 5.2 cm y 10.8 cm, respectivamente. ¿Cuál sería la dirección del vector formado por el lápiz?
Solución:
En X: AX = 5.3 cm
En Y: AY = 10.8 cm
Para hallar la dirección del vector usamos una de las expresiones del Ojo al dato y despejamos α:
α = tan-1(AY/AX)
α = tan-1(10.8/5.3)
α = 63.8° ≈ 64°
Para las componentes usamos las expresiones restantes y despejamos AX y AY:
AX = A cos α
AX = (12.0 cm) cos 64° ≈ 5.3 cm
AY = A sen α
AY =(12.0 cm) sen 64° ≈ 10.8 cm
a. Vamos a obtener medidas indirectas del ángulo α medido anteriormente de forma directa en la actividad A. Traslada las mediciones realizadas anteriormente reconociendo su naturaleza vectorial para llenar la primera y la segunda columna de la tabla. Aplica las ecuaciones del Ojo al dato siguiendo el ejemplo mostrado y haciendo uso de la calculadora científica para llenar la tercera columna de la tabla.
c. Compara las medidas directa e indirecta de α y de las medidas de AX y AY. ¿Son valores parecidos?
Ahora centraremos nuestra atención en comprender cómo operar con vectores. Para ello seguiremos analizándolos en un espacio bidimensional.
C. Sumando y restando vectores por el método gráfico
Anteriormente hemos mencionado que para combinar vectores se requiere un conjunto de operaciones diferentes a la aritmética común; por ejemplo, si queremos sumar dos vectores debemos considerar tanto su magnitud como su dirección. Con el siguiente procedimiento aprenderemos cómo.
Ojo al dato
Procedimiento:
Parte I. Suma de vectores por el método gráfico
Analiza la siguiente situación:
Al hacer esto, estaríamos ignorando por completo su dirección. Entonces, ¿cómo se suman dos vectores? Veámoslo a continuación.
Si hubiésemos sumado algebraicamente las componentes habríamos encontrado:
A = (5.8 + 10.5) cm = 16.3 cm
Observa la imagen y compara con los gráficos realizados en el numeral 2. ¿Coincide el resultado de la suma de las componentes como vectores con el resultado de la suma tomándolos como escalares?
¿Qué conclusión obtienes respecto de la suma escalar y la suma vectorial?
Ojo al dato…
La suma de dos vectores da como resultado un vector.
El método gráfico que aplicamos en el sistema A recibe el nombre de método del polígono y el que aplicamos en el sistema B, método del paralelogramo, debido a las figuras geométricas que se forman. Como hemos observado, ambos son equivalentes y sirven para sumar vectores. Además, notamos que la suma vectorial no es lo mismo que la escalar; se pueden sumar más de dos vectores, como el ejercicio que desarrollaremos en la Parte II.
Si tomamos la magnitud como las sumas de los componentes, como lo hicimos al inicio de esta parte, notamos que al representar dicho resultado en un eje de coordenadas, con la misma dirección, cambian en su totalidad sus componentes, como se muestra en la figura siguiente. Por ello es de suma importancia la operación con vectores.
Parte II. Suma de tres vectores
Lee los siguientes ejercicios, analiza y dibuja los vectores de los desplazamientos por separado, a escala, tanto para los Ejercicios 1 y 2, y luego obtén el vector resultante usando el método del polígono:
Ejercicio 1. Considera una persona que camina por un campo plano horizontal visto desde arriba, realizando los siguientes desplazamientos:
A: 1.00 km al norte, luego…
B: 2.00 km al este, y finalmente…
C: 3.00 km 45° al norte del este (ángulo medido desde el eje X)
¿A qué distancia y en qué dirección está con respecto al punto de partida?
Ejercicio 2. Es la misma situación del Ejercicio 1, solo que ahora el desplazamiento A ha sido hacia el sur.
¿A qué distancia y en qué dirección está con respecto al punto de partida? Utiliza la imagen siguiente para hacer el análisis.
2. Para encontrar la distancia y la dirección en las que el caminante está con respecto al punto de partida, ¿qué operación debe hacerse con los vectores? Escribe la expresión matemática.
Para el Ejercicio 1, en el numeral 1 identifica y mide los componentes de los vectores:
Suma algebraicamente las componentes en x y las componentes en y:
3. En el Ejercicio 2, ¿en qué difiere la expresión matemática de la suma vectorial? Escríbela.
En el numeral 1, identifica y mide las componentes rectangulares de los 3 vectores:
Suma algebraicamente las componentes en x y las componentes en y:
Por esa razón no podíamos simplemente sumar las magnitudes A, B y C para encontrar el desplazamiento. Si nos hubiesen pedido el recorrido L desde el punto de partida, como esta es una cantidad escalar, ahí sí hubiésemos podido hacer una suma algebraica ordinaria como la siguiente:
L = A + B + C
L = (1.00 + 2.00 + 3.00) km
L = 5.00 km
Nico: Las fuerzas se pueden clasificar en dos tipos:
Contacto. Implica contacto directo entre dos cuerpos. Ejemplos: fuerza normal, fricción, tensión, entre otras.
Largo alcance. Actúan, aunque los cuerpos estén separados por un espacio vacío. Ejemplos: fuerza gravitatoria y fuerza magnética.
D. Aplicación de fuerzas: diagramas de cuerpo libre
Entre las fuerzas que percibimos continuamente está el peso, que, si recordamos, surge como resultado de la interacción de los cuerpos con la Tierra. Los diagramas de cuerpo libre (DCL) son de suma importancia porque nos permite identificar las fuerzas que actúan sobre un objeto.
En la siguiente actividad analizaremos el peso y otras fuerzas, así como los DCL.
Materiales: taza o recipiente similar con asa, 2 cordeles de lana de 10 cm y un recipiente de 1 L de agua (que pueda caber en la taza).
Procedimiento:
Coloca la taza sobre la mesa e introdúcele la botella llena de agua.
Ata un cordel de lana al asa. Tira de ella despacio con el cordel completamente horizontal, paralelo a la mesa, hasta moverla.
3. Repite el numeral anterior, pero ahora inclina el cordel con un ángulo respecto a la horizontal; procura que la taza siempre se mueva sobre la mesa.
4. Ata el otro cordel al asa. Tira de un cordel de forma vertical y del otro cordel de forma horizontal para conseguir mover la taza.
Describe lo que experimentaste al halar la taza (con la botella dentro) de las tres formas realizadas. Compara las tres situaciones con base en estas preguntas:
a. ¿En qué situación fue más fácil mover la taza, en la primera o en la segunda?
b. En la tercera situación, ¿qué pasa si aplicas demasiada fuerza en el hilo vertical?
c. En cuanto a la facilidad para deslizar la taza, ¿qué percibiste en la segunda y en la tercera situación?
5. Lee la infografía sobre tipos de fuerza y diagramas de cuerpo libre (DCL).
6. Analiza las definiciones de las diferentes fuerzas: según sea el tipo de fuerza, identifica con quiénes están interactuando todos los «objetos», que en las situaciones anteriores son las personas.
7. Observa el DCL de la imagen siguiente: un bloque sobre una superficie que es halado por una cuerda.
a. Tomando como ejemplo el DCL de la infografía, etiqueta las fuerzas en el bloque mostrado en la figura.
b. Elabora un DCL para cada situación experimentada con la taza halándola con una cuerda en los numerales 2, 3 y 4.
Para experimentar virtualmente la aplicación de fuerzas a distintos objetos y observar su movimiento puedes ingresar al siguiente código QR: https://qrs.ly/q6fs165
Ahora podemos efectuar sumas o restas con cantidades vectoriales, además de identificarlos en los DCL para verificar las fuerzas que se le aplica a un objeto. En ellos se analiza al cuerpo en específico, por lo que debemos decidir a qué cuerpo nos estamos refiriendo. Solo importan las fuerzas que actúan sobre el cuerpo, y no debemos confundirlas con las fuerzas que este ejerce sobre otro.
E. ¿Cuál es el DCL correcto?
Ahora que ya aprendimos a hacer DCL, vamos a ponernos a prueba con la siguiente actividad.
Procedimiento:
Observa y analiza los diagramas de cuerpo libre dibujados.
2. Identifica a cuál ejemplo de los mostrados le corresponde a cada situación. Toma en cuenta que solo hay una respuesta correcta para cada uno. Recuerda que debes ubicarte en el cuerpo e identificar con qué otros cuerpos interactúa y cómo.
Visualiza tres vectores en el espacio tridimensional con sus componentes representando una suma vectorial.
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