Semana 7
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Indicadores de logro:
2.4. Ejemplifica el concepto de trabajo de rotación con situaciones cotidianas.
2.5. Explica los momentos de inercia de objetos a partir del movimiento rotacional.
2.6. Diferencia las energías cinética y potencial de la energía total de objetos que se trasladan y rotan.
En la lección anterior iniciamos con el trabajo que una fuerza puede ocasionar al mover un objeto y estudiamos el comportamiento de la traslación de ese objeto de una posición a otra encontrando el teorema del trabajo y la energía cinética. Sin embargo, hay situaciones donde los objetos no solo se mueven de un punto a otro, sino que rotan respecto a un eje, como el juego del tiovivo. ¿Habrá trabajo de la fuerza que haría rotar a un objeto? Si hubiera trabajo, también tendríamos energía cinética. Por otra parte, ¿podríamos calcular el trabajo de la fuerza que hace que un cuerpo caiga? Las preguntas que han surgido las podremos responder con claridad durante el desarrollo de esta lección.
Luis: ¿Cómo puedo calcular el trabajo de una fuerza que hace rotar un objeto?
Irene: He visto en muchas ferias y programas que para obtener premios en una ruleta; debemos de hacerla girar aplicando una fuerza tangencial (Ftan).
A. Analizando el trabajo en el movimiento de rotación
Hay situaciones en las que aplicamos fuerza a un objeto y lo hacemos rotar efectuando trabajo sobre él, como cuando pedaleamos una bicicleta o cuando hacemos girar una ruleta de premios. Para el caso de la ruleta buscamos una forma de aplicar una fuerza directamente que haga girar la ruleta, similar al juego del tiovivo.
Imaginemos que hacemos rotar la ruleta o un tiovivo. Si colocamos una seña o un premio en específico, podemos regresar a él aplicando una fuerza; notamos que recorremos un desplazamiento angular (∆θ) y la magnitud del desplazamiento (∆x) relacionada con la longitud de arco recorrida en la circunferencia que se forma. Dichas magnitudes se encuentran relacionadas con el trabajo que realiza la fuerza que aplicamos.
Considera que la ruleta que intenta mover Irene requiere que se le aplique una fuerza para que la marca señale el número 400. Ten en cuenta que lo hará en sentido antihorario y resuelve lo siguiente.
Procedimiento:
Dibuja una circunferencia que represente una ruleta, fija su centro y coloca los puntos desde el inicio del número 400 hasta donde se tiene que mover. Dibuja los radios respectivos de cada punto. Luego, identifica el desplazamiento angular.
Coloca la fuerza tangencial que se le aplica a la ruleta en la circunferencia.
Usando la ecuación 2.2, encuentra una expresión para el trabajo.
Carlos: El desplazamiento angular (∆θ) concuerda en este caso con el ángulo central, como lo conocimos en matemática.
Lisa: La longitud de arco o la magnitud del desplazamiento lo calculamos con la siguiente fórmula:
∆x = r∆θ
Donde r es el radio de la circunferencia.
Cuando aplicamos una fuerza a un objeto, y si este se mueve o rota, hemos realizado trabajo o invertimos la energía necesaria para moverlo. Sin embargo, en ocasiones notamos que la energía puede ser almacenada. Por ejemplo, al levantar un objeto hasta la altura de nuestros hombros, se almacena energía para que cuando soltemos (en caída libre) el objeto se convierta en energía cinética. Podemos notar que previo a soltar el objeto hay una energía asociada a la posición y está en la posibilidad de efectuar un trabajo. Demostremos a continuación cómo es el comportamiento del trabajo para un objeto en caída libre.
Consideremos que soltamos un objeto de masa m, como observamos en la figura 1, a una altura y1 respecto al suelo.
La fuerza que hace que el objeto caiga es su peso (o fuerza gravitatoria). Si usamos la ecuación 2.2 (para un movimiento vertical), podemos calcular el trabajo realizado por el peso del objeto que se mueve desde el punto 1 hacia el 2, siendo y1 - y2 el desplazamiento entre esos puntos. El trabajo lo identificaremos como Wg para saber que es en un movimiento vertical o asociado a la magnitud de la fuerza gravitatoria.
Wg = Fg(y1 - y2)
Recordemos que la magnitud del peso depende de la masa del objeto y de la aceleración gravitatoria, así que podemos expresarlo de la siguiente manera:
Fg = mg
Sustituyendo la ecuación del peso en la del trabajo, nos quedaría lo siguiente:
Wg = mg(y1 - y2) = mgy1 - mgy2 (Ec. 2.10)
La ecuación 2.10 es el trabajo realizado por la fuerza gravitatoria en caída libre, pero notamos que hay una dependencia de la altura, que se define como energía potencial gravitatoria, y podemos generalizarla de la siguiente manera:
Ug = mgy (Ec. 2.11)
Si ahora analizamos los dos puntos desde el punto de vista de la energía potencial gravitatoria, en el primer punto o inicial es Ug1 = mgy1 y el final Ug2 = mgy2; el cambio de energía potencial sería la parte final menos la inicial ∆Ug = Ug2 - Ug1. Si relacionamos ahora con la ecuación 2.10, podemos escribir el trabajo como:
Wg = Ug1 - Ug2 = -∆Ug (Ec. 2.12)
Si solo la fuerza gravitatoria realiza trabajo podemos relacionar las ecuaciones 2.8 y 2.12 para obtener:
Wg = ∆K = -∆Ug (Ec. 2.13)
Podemos escribir la ecuación 2.13 considerando los puntos iniciales y finales de la siguiente manera:
K1 + Ug1 = K2 + Ug2 (Ec. 2.14)
½ mv12 + mgy1 = ½ mv22 + mgy2 (Ec. 2.15)
Al observar las ecuaciones 2.14 y 2.15, la energía es igual en la parte inicial que en la final. Para el caso en el que la gravedad realiza trabajo, podemos decir que la energía se conserva, manteniéndose constante, por lo que ahora podemos definir la energía mecánica (E), que sería la suma de las energías cinética y potencial gravitatoria, y la expresamos de la siguiente manera:
E = K + Ug (Ec. 2.16)
Hemos desarrollado el comportamiento del trabajo y la energía para objetos que se mueven de un punto a otro. Sin embargo, cuando un objeto rota y a su vez se desplaza de un punto a otro, consideramos otra magnitud que verificaremos en la siguiente actividad.
B. Experimentando con la energía en el movimiento rotacional y traslacional
Hemos visto que, cuando una fuerza realiza trabajo, dependiendo del tipo de movimiento, se puede obtener energía cinética o potencial gravitatoria. Sin embargo, hay situaciones en las que los objetos rotan con respecto a un eje y al mismo tiempo se trasladan. Por ejemplo, si un objeto en forma de cilindro desciende sobre un plano inclinado, notamos que, a diferencia de la caída libre, rota con respecto a un eje mientras se desplaza. Si el cilindro tiene una masa definida, el tiempo que tarda en descender hasta el suelo dependerá de si es hueco o sólido, puesto que la distribución de la masa afecta el tiempo de descenso de un cilindro. Para comprobarlo, realicemos la presente actividad.
Materiales: 2 cintas adhesivas transparentes, aproximadamente de 4 cm de ancho y 4 cm de diámetro, balanza, cronómetro, regla de 30 cm, superficie plana y lisa de forma rectangular de 100 cm de largo y 20 cm de ancho, varilla de madera, plastilina y tijera.
Procedimiento:
Verifica que las cintas adhesivas sean de similar diámetro interno y masa.
2. Corta dos trozos de varilla de madera, aproximadamente de la medida del diámetro interno de las cintas adhesivas.
3. Acopla los trozos de madera al interior de una de las cintas adhesivas, procurando no deformar la cinta.
4. Adhiere 60 g de plastilina en la intersección de los trozos de madera. En la otra cinta adhesiva, adhiere otros 60 g de plastilina en su interior, procurando que la plastilina se encuentre distribuida uniformemente.
5. Verifica la masa de ambas cintas adhesivas; si son diferentes, adhiere plastilina para que obtengas una masa similar entre ellas.
6. Forma un plano inclinado con la superficie plana, coloca unos libros o cuadernos para que el plano inclinado tenga una altura aproximada de 10 cm.
7. Coloca las cintas adhesivas en la parte más alta del plano inclinado y mide su altura. Responde lo siguiente:
a. Usa la ecuación 2.11 y calcula la energía potencial para cada una de las cintas adhesivas que se encuentran en la parte más alta del plano inclinado. Considera la magnitud de la aceleración gravitatoria como g = 9.8 m⁄s2.
8. Verifica que las cintas adhesivas se encuentren a la misma altura y que estén separadas entre ellas. Usa la regla para sostenerlas.
9. Retira la regla y verifica el movimiento de las cintas adhesivas. Repite tres veces y corrobora si el resultado del movimiento es similar.
10. Coloca una de las cintas adhesivas, desde la altura máxima del plano inclinado, y mide el tiempo que tarda en descender. Realiza lo mismo para la otra cinta adhesiva y resuelve lo siguiente:
b. Usa la ecuación 2.14 y calcula la rapidez que llevan las cintas adhesivas justo antes de interactuar con el suelo.
c. Describe el comportamiento de la energía cinética justo antes de que las cintas adhesivas terminen el descenso por el plano inclinado.
d. ¿Qué pasaría con el descenso de las cintas adhesivas si se duplica la altura del plano inclinado?
En la actividad B notamos que, aun cuando la masa total y la energía potencial gravitatoria de las cintas adhesivas fue similar, la distribución de masa afectó en el descenso sobre el plano inclinado.
Podemos extender nuestro análisis de lo que sucede con la energía potencial gravitatoria cuando la cinta adhesiva se mueve por el plano inclinado: notamos que hay dos tipos de movimiento que se combinan, que son la traslación y la rotación. Vamos a suponer que en ningún momento la cinta resbala sobre el plano inclinado. La energía cinética la dividimos en dos, una que depende del movimiento de traslación (que podemos obtenerla a partir de la ecuación 2.6) y la otra, de la rotación.
La energía cinética rotacional depende de la distribución espacial de la masa del objeto y su forma geométrica; la magnitud que involucra lo anterior es el momento de inercia (I). Para un objeto con un eje de rotación definido y una masa total conocida, cuanto mayor sea la distancia del eje de rotación a la distribución de masa, mayor será el momento de inercia.
Para el caso de la cinta adhesiva, como el eje de rotación se tiene al centro, la que tenía la masa de plastilina distribuida en las paredes internas tardó más en descender que la otra. Ahora pasemos a demostrar una expresión para la energía cinética de rotación.
Notación
El momento de inercia se expresa con las unidades kg ∙ m2.
Nico: El momento de inercia nos indica la resistencia a la rotación de un objeto, dependiendo de la distribución de la masa y de la geometría de este.
Momento de inercia
En la actividad B notamos una masa en movimiento de rotación. A partir de eso sabemos que tiene energía cinética y que lo podemos expresar en términos de la rapidez angular. Para lograrlo, retomemos la cinta adhesiva a la que se le colocó plastilina al centro; lo consideramos como un objeto de masa, m, pero puede analizarse cada porción de masa con respecto a la distancia al eje de giro o su radio de giro. Podemos señalar una muestra como en la siguiente imagen:
Hemos identificado las porciones de masa como m1, m2, m3 y m4; sus distancias al eje de giro como r1, r2, r3 y r4, respectivamente. Notemos que la rapidez angular ω sería la misma mientras el objeto se encuentre rotando; sin embargo, las rapideces cambian. Entonces, para cada una de las porciones, podemos calcular la energía cinética de la siguiente manera:
K = ½ m1v12 + ½ m2v22 + ½ m3v32 + ½ m4v42 + ⋯
Colocamos los puntos suspensivos porque sabemos que la masa total sería la suma de todas las porciones que tomemos del objeto. Si recordamos la relación que existe entre las rapideces angular y lineal v = rω, reescribimos la energía cinética:
K = ½ m1r12ω2 + ½ m2r22ω2 + ½ m3r32ω2 + ⋯
Si consideramos los factores comunes, tendremos lo siguiente:
K = ½ (m1r12 + m2r22 + m3r32 + m4r42 + ⋯) ω2
Los factores que se encuentran entre paréntesis podemos extenderlos hasta la enésima porción de masa junto a sus respectivas distancias al eje de giro, así:
K = ½ (∑n (mn rn2) ω2
Notamos que la expresión en paréntesis depende de cómo esté distribuida la masa respecto al eje de giro y es una magnitud física nombrada momento de inercia, y la representaremos de la siguiente manera:
I = ∑n (mn rn2) (Ec. 2.17)
Por otra parte, la expresión de la energía cinética rotacional podemos representarla como:
K = ½ Iω2 (Ec. 2.18)
En la actividad B se manifestó la energía cinética de rotación. Notamos que una cinta adhesiva descendía más rápida que otra, aun asumiendo la misma masa. También, si colocamos una esfera con la misma masa que las cintas adhesivas, el resultado cambiaría si la esfera fuese hueca o sólida; quiere decir que el momento de inercia depende de la geometría del objeto y su eje de giro. Se tienen expresiones para su cálculo en diferentes geometrías de los objetos; entre ellas están las que se muestran en la siguiente tabla:
En la etapa anterior verificamos que cuando un cuerpo rota, dependiendo de cómo se encuentra distribuida su masa respecto al eje de rotación, así será su descenso por un plano inclinado. Además, posee energía cinética de rotación, que se debe considerar cuando el objeto se encuentra en movimiento. Para el caso del plano inclinado, debemos tomar en cuenta la energía potencial gravitatoria. A continuación, aprenderemos a calcular la energía cuando un objeto descienda, se desplace y rote.
En el movimiento circular uniforme, la velocidad y la aceleración siempre son perpendiculares. Sus magnitudes son constantes.
C. Calculando la energía de objetos que se desplazan y rotan
La resolución de problemas que involucren trabajo y energía es necesaria porque en ocasiones complementa a los experimentos. Por ejemplo, encontrando magnitudes que no las podemos medir de manera directa, simplificando algunos procedimientos. Enseguida, aprenderemos a resolver algunos problemas.
Ejemplo 1. Se replica la actividad B, con la diferencia de que se utilizan esferas en sustitución de las cintas adhesivas. Una de las esferas es sólida y la otra hueca. Partimos de que cada esfera posee una masa de 1.50 kg y un radio interno de 2.00 cm. Si ambas esferas son soltadas de un plano inclinado, partiendo del reposo, a una altura de 20.0 cm, ¿cuál sería la rapidez con la que las esferas descienden del plano inclinado?
Solución. Partimos haciendo uso de las ecuaciones 2.14 y 2.15. Al inicio solo tendríamos energía potencial gravitatoria y para ambas esferas sería Ug1 = mgh, donde h es la altura de donde se sueltan las esferas del plano inclinado. En la parte final tendríamos solo la energía cinética, que para nuestro caso sería una parte de rotación y la otra, de traslación. Para ambas esferas sería una expresión similar a K = ½ mv2 + ½ Iω. Dado que la rapideces y el momento de inercia serían diferentes para cada esfera, los representamos con el subíndice S para la sólida y H para la hueca.
Para la esfera sólida tenemos lo siguiente:
mgh = ½ mvS2 + ½ ISωS2
Podemos colocar la rapidez angular en función de la rapidez de traslación con la expresión v = rω:
mgh = ½ mvS2 + ½ IS(vS2/r2)
De la tabla de la sección Así se hace... obtenemos la expresión del momento de inercia para una esfera sólida:
mgh = ½ mvS2 + ½ (2/5 mr2)(vS2/r2)
mgh = ½ mvS2 + 1/5 mvS2
mgh = 7/10 mvS2
Despejamos para vS2:
vS = √(10/7 gh)
Sustituimos los valores tomando g = 9.8 m⁄s2 y la altura h = 0.20 m
vS = √[10/7 (9.8 m⁄s2)(0.20 m)]
vS = 1.7 m⁄s
Haciendo un tratamiento similar para la esfera hueca, la rapidez es vH = 2.4 m⁄s
Resuelve los problemas propuestos:
a. Toma de referencia el ejemplo 1 y demuestra que la rapidez de traslación del cilindro hueco es igual a vH = 2.4 m⁄s.
b. En una carrera sobre un plano inclinado entre una esfera sólida de 6.0 cm de radio y un cilindro sólido del mismo radio y altura de 8.0 cm, ambos objetos poseen masas similares de 1.3 kg. Si se sueltan a una altura de 30.0 cm del plano inclinado, ¿cuál es el objeto que descendería más rápido por el plano inclinado? Discute con tus compañeros sobre la magnitud de la rapidez traslacional que cada objeto logra al descender del plano inclinado.
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