Métodos de precisión, exactitud y cálculo del error

Preparaciones previas

A. Tiro al blanco

• A los equipos de trabajo, de 2 a 4 integrantes, solicíteles llevar el día de la práctica: papel higiénico, marcadores de colores, recipiente con agua. Pídales leer el Site del Estudiante -Semana 5.

B. Midamos

• A los equipos de trabajo, de 2 a 4 integrantes, solicíteles llevar el día de la práctica: una regla, cinta de coser o métrica. Facilite un dispositivo electrónico con calculadora y un metro.

C. Calcula áreas considerando el error

• A los equipos de trabajo, de 3 a 4 integrantes, solicíteles llevar el día de la práctica: una regla y un tapón de garrafa de agua (o una moneda de cualquier valor). Facilite un dispositivo electrónico con calculadora.

En esta etapa se espera que el estudiantado estime la propagación del error cuando haga varias mediciones directas de la longitud, para completar la dimensión (base y altura) de un objeto grande, y cuando tome medidas de longitud para hallar áreas de diferentes objetos.

💡Indicaciones generales:

• Señale el valor de la mínima división. El error, Δa, se obtiene así: Δa = (mínima división)/2. La letra «a» indica el valor que se obtiene de la lectura directa en la escala del instrumento.

• Plantee lo siguiente: dada una escala con la mínima división de 1 mm, la expresión (25.0 ± 0.5) cm debe expresarse como (25.00 ± 0.05) cm. A continuación, cuestione a sus estudiantes acerca de entre qué valores se halla el valor real de dicha medida.

B. Midamos (Tiempo estimado: 85 min)

💡Indicaciones generales:

• Indique a sus estudiantes que los objetos de estudio son: el Libro de Texto, la pizarra, la puerta del salón y la cancha del centro educativo.

• Oriente a sus estudiantes sobre la colocación correcta del instrumento con el que medirán (metro, regla y cinta de costura).

🟠 Posible dificultad:

Señale que una medida escrita como (25.0 ± 0.05) cm está incorrecta. Lo correcto es: (25.00 ± 0.05) cm. El error de la medida y el valor de la medida deben tener la misma precisión.

🟢 Tratamientos del error:

• Si la división mínima es 1 mm, el error es Δa = 0.5 mm = 0.05 cm.

• Al realizar cuatro medidas con el mismo instrumento, el error de la medida es: Δa = ± (4 x 0.05 cm) = ± 0.2 cm.

🔵 Criterios de evaluación: 

• Realiza el cálculo de propagación del error, en el caso cuando la longitud del objeto a medir supera la longitud máxima del instrumento.

• Expresa la medida de la longitud de un objeto en la forma: longitud ± error de la longitud.

• Identifica las fuentes de error al medir los lados de la pizarra del salón de clases, o de otro objeto de similares dimensiones, una puerta y de una cancha de baloncesto, fútbol, etc.

El trabajo experimental de la medición nunca está libre de errores. Por eso, es importante no solo minimizar el error aplicando correctamente la técnica de la toma de datos con el instrumento utilizado (incluye lectura correcta de la escala, registro del resultado, entre otros), sino también, aprender a cuantificar este error. La actividad C tiene este propósito midiendo áreas.

C. Calcula áreas considerando el error (Tiempo estimado: 85 min)

💡Indicaciones generales:

• Indique a sus estudiantes que deberán hacer el cálculo del área de un rectángulo determinando, además, el error cometido en la medida.

• Se recomienda no pedir la memorización de las fórmulas. Será de mejor provecho para el estudiantado indicarle los significados de los términos: a, b, Δa, Δb de las fórmulas, en el contexto del objeto de estudio que está midiendo.

• Indique el orden de cálculo del miembro derecho de la multiplicación (a ± Δa) x (b ± Δb), el cual es:

  • Paso 1: calcular el valor del área, (a x b).

  • Paso 2: (a x b) x [(Δa/a) +(Δb/b)], tiene varios subpasos. Encontrar:

• Paso 2a: (a x b)

• Paso 2b: Δa/a

• Paso 2c: Δb/b

• Paso 2d: [(Δa/a) +(Δb/b)]

• Multiplicar: «2a» x «2d» para calcular el valor del error del área: (a x b) x (Δa/a + Δb/b)

• Paso 3: escribir (a ± Δa) x (b ± Δb) = valor del área ± error del área.

• Cuide que el estudiantado escriba los resultados del área con su error, con la cantidad correcta de c.s., usando debidamente el punto decimal para evitar confusiones. Por ejemplo, el número en 6 500 cm2, ¿cuántos dígitos significativos tiene? ¿Dos o cuatro? Tal como está escrito, tiene dos; pero, escrito como 6 500. cm2, tiene cuatro.

• Se sugiere formar diversos grupos de estudiantes para expresar la medida del área del libro, la pizarra, la puerta y la cancha, con sus correspondientes errores, es decir, en la forma: medida = área del objeto ± error del área.

🟠 Posibles dificultades:

• Indique el uso de la expresión (a ± Δa) x (b ± Δb) = (a x b) x [(Δa/a) +(Δb/b)] para calcular el área = π x radio x radio.

• Indique cómo hallar la medida del área del círculo dando el orden de las operaciones del miembro de la derecha en: π x (a ± Δa)2 = π x (a x a) ± π x (a x a) x [(Δa/a) + (Δb/a)], donde «a» es el radio del círculo:

  • Paso 1. Valor del área. Multiplicar π x a x a.

  • Paso 2. Encontrar el error del área: π x (a x a) x (Δa/a) + (Δb/a) con el orden de subpasos:

• Paso 2a: multiplicar π x a x a

• Paso 2b: dividir Δa/a.

• Paso 2c: sumar «2b» + «2b» para obtener el valor de (Δa/a) + (Δb/a)

• Paso 2d: valor del error del área. Multiplicar «2a» x «2c»

• • Paso 3: escribir π x (a ± Δa)2 = valor del área ± error del área = «1» ± «2d».

🔵 Criterios de evaluación: 

• Realiza los cálculos de propagación del error en las medidas de áreas del círculo (tapón de cualquier recipiente) y rectángulo (puerta, cancha, etc.).

• Expresa la medida del área del objeto en la forma: área ± error del área.

Se espera que el estudiantado exprese las medidas directas e indirectas con su error de longitudes, área y volúmenes de objetos de estudio. La actividad D puede utilizarse como el momento de la validación de resultados. Además de acompañar cada medida de su error, asegúrese que estos valores estén expresados con la correcta cantidad de cifras significativas y las unidades, con su correspondiente símbolo en SI.

F. Presenta tus resultados (Tiempo estimado: 1 h)

💡Indicación general:

• Consulte el Fundamento teórico sobre cómo se aplica y qué significan la precisión y la exactitud dentro de una medición.

🔵 Criterios de evaluación: 

• Comunica de manera ordenada los procedimientos realizados.

• Diferencia los términos de precisión y exactitud frente a un grupo de mediciones.

Los densímetros se utilizan para medir una gran variedad de líquidos: agua dulce, aceite, leche, agua salada, alcohol, vinos, pinturas, gasolina, ácidos, queroseno, etc.

Encontramos una amplia gama de densímetros. Conociendo la unidad de medida de su densímetro, podrá reconocer usted qué tipo de densímetro tiene.

• Salinómetro: mide la densidad de las sales. Se gradúa de 0% a 100% de cloruro de sodio saturado.

• Sacarómetro: mide la cantidad de azúcar de la melaza, en grados Brix (°Bx).

• Areómetro Baumé: mide concentraciones de las disoluciones, en grados Baumé (ºBe).

• Lactodensímetro: mide la densidad específica de la leche. Su escala se gradúa en cien partes. Las lecturas se expresan en grados lactodensimétricos, pero antes de medir debe llevarse el líquido a una temperatura de 15.56 °C.

Consulte el manual del usuario para tener información más específica del instrumento.

Magnitudes derivadas

El volumen

El volumen es una propiedad extensiva de la materia, porque su valor depende de la cantidad de masa del objeto o la sustancia. Proviene de multiplicar tres veces por sí misma la magnitud fundamental longitud.

Volumen = Longitud x Longitud x Longitud

La unidad de esta magnitud derivada tiene exponente 3. Algunos ejemplos son: mm3 (se lee: «milímetros cúbicos»), cm3 (se lee: «centímetros cúbicos»), dm3 (se lee: «decímetros cúbicos»), m3 (se lee: «metros cúbicos»), dam3 (se lee: «decámetros cúbicos»), hm3 (se lee: «hectómetros cúbicos »), km3 (se lee: «kilómetros cúbicos»), etc.

¿Cómo debo interpretar el exponente en 1 cm3? El exponente 3 le pertenece a la unidad completa, esto incluye al prefijo «c».

1 cm3 = 1 (cm)3

Tener esta claridad evita confusiones en la conversión de unidades y la notación científica. Por ejemplo, la medida 45.7 cm3, ¿cómo se expresa en metros y notación científica? La respuesta es 45.7 x 10-6 m3. El procedimiento completo se presenta a continuación:

45.7 cm3 = 45.7 (cm)3

45.7 cm3 = 45.7 (10-2 m)3

45.7 cm3 = 45.7 x 10-2 x 3 m1 x 3

45.7 cm3 = 45.7 x 10-6 m3

¿Qué se hizo? Básicamente lo siguiente: el prefijo «c» (se lee «centi») representa 10-2. El conocimiento del paréntesis es importante porque indica que el exponente 3 debe distribuirse en los exponentes, -2 del 10 y 1 de la m. Finalmente se multiplicó: -2 x 3 = -6 y 1 x 3 = 3 para llegar al resultado final mostrado.

La rapidez 

Esta magnitud derivada proviene de la división de la longitud entre el tiempo.

Rapidez = Longitud/Tiempo

La longitud de la trayectoria del objeto no necesariamente debe ser una línea recta, también puede estar curvada. Con un ejemplo se puede interpretar mejor la unidad de esta magnitud. El valor de rapidez 10 m/s significa que se recorre la distancia de 10 metros por cada segundo de movimiento.

La densidad

En realidad es una densidad volumétrica, pues existen la densidad superficial y la densidad lineal, de las que no hablaremos acá. Esta magnitud derivada proviene de la división de la masa entre el volumen.

Densidad = Masa/Volumen

La gravedad

El tipo de movimiento que se realiza en esta actividad se llama movimiento rectilíneo uniformemente variado. La magnitud que se conserva uniforme o constante es la aceleración, de ahí su nombre. Esta magnitud derivada proviene de la división de la longitud entre el tiempo al cuadrado.

Aceleración = Longitud/(Tiempo)2

Un ejemplo ayudará a su interpretación. El valor de la aceleración 10 m/s2 significa que si se deja caer un objeto (0 m/s), a 1 s de su descenso, aumenta 10 m/s, en el otro 1 s de caída, adquiere 20 m/s, en el siguiente 1 s, va a 30 m/s, en el próximo 1 s, lleva 40 m/s, y así sucesivamente.

Cifras significativas (c.s.)

Las cifras significativas son aquellos dígitos de una medida que se conocen de manera confiable, más un dígito sobre el cual no estamos seguros y que lo hemos estimado. Si alguien reportara una longitud con dos decimales, 5.73 cm, por ejemplo, la cifra estimada o dudosa es 3; y si alguien más reportara 5.75 cm, la cifra dudosa sería 5. En ambas medidas, las cifras 5 y 7 no deberían cambiar porque son las cifras correctas o seguras. Las reglas de conteo de cifras significativas se complementan con ejemplos.

1.° Todos los dígitos diferentes de cero de una medición son significativos. Ejemplo: 127.4 cm son significativos el 1, 2, 7 y 4. Las primeras tres cifras son correctas y la última cifra es la estimada. En total, son cuatro c.s.

2.° Los ceros que se encuentran entre dos dígitos diferentes de cero son  significativos. Ejemplo: 1 002 km son significativos 1, 0, 0 y 2. Las primeras tres cifras son las correctas, y la última cifra, la estimada. La medida tiene cuatro c.s.

3.° Los ceros situados al final de un número sin punto decimal escrito (no escrito) no son significativos. Ejemplos: en el número entero 30 700 son significativos 3, 0 y 7. Los dos últimos ceros no son significativos. Si quisiéramos hacerlos significativos, debe escribirse así: «30 700.» En total, el número 30 700 tiene tres c.s. Si se necesita que los últimos dos ceros sean significativos, lea la 4.a regla. Otro ejemplo. La medida 1 000 km tiene un dígito significativo, el 1. Si se necesita indicar que los ceros son significativos, lee la 4.a regla.

4.° Los ceros situados al final de un número con punto decimal escrito son significativos. Ejemplos: 30.100 son significativos el 3, 0, 1, 0 y 0; tiene cinco c.s. El número 30 700. tiene cinco c.s. La longitud 764.0 cm tiene cuatro c.s. (el 7, 6, 4 y 0 son significativos), pero la medida 764 cm tiene tres c.s. La medida 1 000. km tiene cuatro c.s. pero 1 000.00 km tiene seis c.s.

5.° Los ceros al comienzo de un número, incluidos aquellos que están a la derecha del punto decimal hasta llegar a un dígito distinto de cero, son no significativos. Ejemplo: 0.017 son significativos el 1 y 7. El 1 es la cifra correcta y el 7 es la cifra estimada. En total, son dos c.s.

6.° El número de cifras significativas de una medida no cambia por la elección de diferentes unidades. Por ejemplo, es correcta la conversión 1 cm a 0.01 m porque ambas medidas tienen una c.s. Pero es incorrecta la conversión 1 cm a 0.010 m porque el número de c.s. de 0.010 m es dos c.s., debe tener una c.s.

Notación científica

Muchas veces, los números usados en ciencia son muy pequeños o muy grandes. Por ejemplo, la masa del Sol es aproximadamente 1 970 000 000 000 000 000 000 000 000 000 kg. Este gran número se puede expresar así: 1.97 x 1030 kg. Acá se utiliza la técnica exponencial conocida como notación de la potencia base 10. 

El procedimiento para escribir un número en esta notación consiste en mover el punto decimal (no aparece escrito, pero está a la derecha del último 0) hasta que solo quede un dígito distinto de cero a la izquierda del punto (vea el valor 1.97). Luego, se cuenta el número de lugares que se movió el punto decimal (en este caso, a la izquierda) y se usa este número (es positivo: 30) como la potencia de diez (1030). La notación científica tiene la forma:

a x 10n

En las medidas: 1.27 x 100 s, 4 x 10-5 A y 9.5 x 106 km los valores de «a» son: 1.27, 4 y 9.5, respectivamente. Observe que las medidas 0.127 x 101 s, 0.4 x 10-4 A y 0.95 x 107 km no están en notación científica porque los tres valores de «a» inician con 0, aunque estén escritas correctamente y se refieran a las mismas tres medidas anteriores.

El valor del exponente «n» en 10n puede ser un entero positivo, negativo, o cero. La medida 1 x 101/2 cm no está en notación científica porque el exponente de 10 es 1/2, y 1/2 no es un número entero.

Como dato curioso, antes del año 1950 en algunos países y en muchos libros y artículos científicos escritos usaban una forma alternativa de notación científica que no usaremos acá: 0.1 x 101, 0.4 x 10-4 y 0.9 x 107, 0.160 217 663 4 x 10-18 y 0.597 22 x 1025. En esa época, el valor de «a» lo expresaban por medio de un número mayor que 0 pero menor que 1.

¿Cuál es el procedimiento para expresar un número muy pequeño en notación científica? 

El procedimiento es idéntico al descrito anteriormente. Por ejemplo, la masa de un electrón es aproximadamente 0.000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 911 kg. Obtenga «a» moviendo el punto decimal hasta que solo quede un dígito distinto de cero a la izquierda del punto (el valor es 9.11). Luego, para encontrar el valor del exponente «n» en x 10n se cuenta el número de lugares que se movió el punto decimal (en este caso, a la derecha) y se usa este número (es negativo: -31) como la potencia de diez (10-31). Expresada en notación científica, la masa de un electrón es: 9.11 x 10-31 kg.

Cualquier medida se puede expresar en notación científica. Un año bisiesto tiene 366 días. Sigamos el mismo procedimiento. Obtenga «a» moviendo el punto decimal (no aparece escrito, pero está a la derecha del último 6) hasta que solo quede un dígito distinto de cero a la izquierda del punto (3.66). Ahora, para encontrar el valor del exponente «n» en x 10n se cuenta el número de lugares que se movió el punto decimal (en este caso, a la izquierda) y se usa este número (es positivo: 2) como la potencia de diez (102). El resultado es: 3.66 x 102 días.

Elabora un reporte de laboratorio, respetando la nomenclatura del Sistema Internacional (SI) al presentar sus resultados.

Las actividades propuestas están dirigidas para estudiantes que finalizan antes el desarrollo de la unidad.

Elabora un reporte de laboratorio

A manera de orientación se presenta un formato de reporte de laboratorio, que los estudiantes pueden seguir para exponer qué se hizo, para qué, cómo, con qué resultados (cuidando de expresarlos solo con unidades del Sistema Internacional) y qué se aprendió de la medición de alguna propiedad.

Información general. Va en la portada el nombre y el número de laboratorio, los integrantes del grupo, el nombre del docente, la asignatura, la fecha de realización y la fecha de entrega.

Resumen. Se expone lo realizado en el laboratorio, su propósito y las conclusiones a las que llegó. Mínimo ocho líneas y máximo quince.

Palabras clave. Las palabras más importantes del laboratorio, máximo tres.

Objetivos. Se presentan los alcances que tiene la práctica en cuanto a la verificación de la hipótesis o la ecuación. Hacer que empiecen en verbos infinitivos: terminados en ar, er, ir.

Introducción. Resaltar la importancia del laboratorio y las aplicaciones cotidianas que trae.

Modelo teórico. Se presenta brevemente la teoría, ley o hipótesis que se va a comprobar, y que es la base para la realización de la práctica. Lo mencionado en esta parte debe referenciarlo.

Descripción del procedimiento. Se explican los métodos o pasos utilizados para realizar el laboratorio y se enumeran las ecuaciones (si las hay) empleadas para obtener el resultado final.

Resultados y análisis. Según convenga, la toma de los datos registrarla en tablas y presentar los gráficos (si los hay) con su respectivo análisis. Responde las preguntas planteadas. Por otro lado, si enfrentó dificultades o errores en el procedimiento, explica el porqué.

Conclusiones. Es el cierre del laboratorio. Redacta conclusiones coherentes que coinciden con el número de objetivos propuestos. Puede incluir sugerencias para mejorar el experimento.

Referencias. Por lo general, el estilo empleado en física y en las ciencias naturales es el estilo Harvard, pero queda a discreción de los requerimientos del docente. Por ejemplo: Ministerio de Educación, (2022, 1° Ed.). Libro de Texto de 5° grado de Ciencia y Tecnología. San Salvador, El Salvador.