A singular foliation on a Riemannian manifold M is called singular Riemannian foliation (SRF for short) if their leaves are locally equidistant, i.e., if each geodesic that is perpendicular to one leaf is perpendicular to every leaf it meets. A typical example is a partition of M into orbits of an isometric action. There are infinitely many examples of SRF with non homogenous leaves, among them the so called holonomy foliation, the natural singular foliation contained in each Euclidean fiber bundle with a connection compatible with the metric.

In this mini-course, we will scratch the surface of the beautiful theory of SRF, hoping to make it accessible to a wide audience of geometers. It will be divided into three one-hour-lectures:

1. A few words about geometric control theory, isometric actions and singular Riemannian foliations.

2. Connections, holonomy foliations and Ambrose Singer’s theorem.

3. Semi-local models of S.R.F: Merging the previous topics and applying them in analysis.

En esta charla recabaremos resultados conocidos que muestran que es posible acotar el número

de finales (es decir, componentes conexas al infinito) de espacios no compactos que tienen curvatura no

negativa fuera de un conjunto compacto. Platicaremos una versión de dicho resultado para espacios que

satisfacen la condición CD(0,N) (en el sentido de Lott-Villani-Sturm) fuera de un conjunto compacto. Basado

en una colaboración con J. Núñez-Zimbrón.

In the theory of submanifolds of a space form, Asperti-Lobos-Mercuri introduced in Asperti et al. (1999) pseudo-parallel submanifolds as a direct generalization of semi-parallel submanifolds in the sense of Deprez (1985), which in turn, are a generalization of parallel submanifolds (extrinsically symmetric in Ferus’ terminology) Ferus (1980) (in particular, of umbilical and totally geodesic submanifolds), and as extrinsic analogues of pseudo-symmetric spaces in the sense of Deszcz (1992). They studied pseudo-parallel surfaces of a space form in Asperti et al. (2002), and proved that they are surfaces with flat normal bundle or λ-isotropic surfaces in the sense of O’Neill (1965) (i.e. surfaces whose ellipse of curvature in any point is a circle). In particular, they proved that pseudo-parallel surfaces of space forms with non vanishing normal curvature in codimension 2 are superminimal surfaces in the sense of Bryant (1982) (i.e. surfaces which are minimal and λ-isotropic).

In this talk we give a characterization of Lorentzian pseudo-parallel surfaces in pseudo-Riemannian space forms, extending an analogous result by Asperti-Lobos-Mercuri for the pseudo-parallel case in Riemannian space forms. For Lorentzian pseudo-parallel surfaces in pseudo-Riemannian space forms with non-flat normal bundle we give a characterization using the concept of hyperbola of curvature. In particular, we get a non-existence result for Lorentzian pseudo-parallel surfaces with non-flat normal bundle in Lorentzian space forms. Also, in codimension two, we show that locally any Lorentzian pseudo-parallel surface with non-flat normal bundle and constant pseudo-parallelism function is congruent to a piece of a Lorentzian surface of the Veronese type. Finally, an example of an extremal Lorentzian pseudo-parallel surface with non-flat normal bundle which is not a semi-parallel surface is given in codimension three.

This is joint with Mynor Melara (UFSCar, Brazil) and Oscar Palmas (UNAM, México)

Esta charla trata sobre subvariedades normales inmersas en una variedad riemanniana. Más

precisamente, dada una subvariedad M, estudiamos las superficies formadas por geodésicas ortogonales a

M, y la llamamos superficie reglada normal a M. Analizamos estas subvariedades y establecemos algunas

propiedades geométricas de las mismas, incluyendo algunas identidades donde está involucrada la

curvatura media y la curvatura seccional. Finalizamos la plática con algunos resultados similares para las

subvariedades tangenciales.

Vamos describir a las hipersuperficies de translación en el espacio euclidiano $\R^{n+1}$. Esta familia de hipersuperficies son la gráfica de la suma de dos funciones en $p$ y $q$ variables independientes, respectivamente y con $n=p+q$.

En especial vamos a considerar las hipersuperficies de translación cuya curvatura de Gauss-Kronecker depende solamente en $p$ de las variables. Bajo esa hipótesis demostraremos que la curvatura de Gauss-Kronecker es constante cero. Podemos obtener la misma conclusión bajo otra hipótesis: cuando la curvatura media depende de $q$ de las variables y la curvatura media nunca vale cero.

Si M es una superficie en R^3 y α una curva en dicha superficie, se define la superficie normal a lo largo de α como la superficie Σ_α que consta de geodésicas del ambiente, rectas en este caso, ortogonales a M con condiciones iniciales a lo largo de α. Definido este objeto, se puede enunciar el Teorema de Bonnet para superficies en R^3, que afirma que una curva α en una superficie M es línea de curvatura si y sólo sí la superficie normal Σ_α es plana.

¿Qué sucede cuando el espacio ambiente es una variedad lorentziana?

Si el espacio ambiente es el espacio de Minkowski R^3_1 y α es una curva tipo luz en una superficie tipo tiempo M, existe un enunciado similar al Teorema de Bonnet sólo que en esta ocasión el enunciado se encuentra en términos de la causalidad de la curva y la superficie normal, de tal forma que la curva α es una línea de curvatura tipo luz de M si y sólo si la superficie Σ_α es un plano tipo luz de R^3_1.

Además, considerando el marco de Frenet para una curva α tipo luz y adaptándolo a la superficie M en la cual se encuentra contenida la curva α, se puede demostrar que la superficie M es paralela si y sólo si las geodésicas tipo luz que pasan por cada punto de M tienen curvaturas constantes, estableciendo un vínculo fuerte entre las curvas de una superficie y el operador de forma de la misma.

Se dice que una superficie temporal Σ, en una 3-variedad de Lorentz N, tiene dirección nula canónica respecto a un campo vectorial Z ∈ TN, si su parte tangente a Σ es un campo vectorial nulo, es decir, (Z^T,Z^T)=0 con Z^T distinto de cero.

En esta charla se presentarán los avances de investigación de estas superficies como parte de mis estudios de doctorado que realizo en el IM-UNAM (Juriquilla) bajo la dirección del Dr. Gabriel Ruiz Hernández, la cual se centrará en los siguientes casos:

1. Σ en el producto N × R, donde N es una superficie de Lorentz, y Z = ∂t ∈ TR campo vectorial paralelo.

2. Σ en el espacio de Minkowski R^3_1 y Z un campo vectorial radial.

3. Σ en una 3-variedad de Lorentz N y Z un campo vectorial cerrado y conforme.

Se expondrán los resultados más importantes como: propiedades, caracterizaciones y ejemplos.

En esta conferencia establecemos un marco general para el estudio de solitones

del flujo por la curvatura media en espacios producto warped. Nuestro enfoque nos permite identificar ciertas cantidades geométricas naturales que satisfacen determinadas ecuaciones o desigualdades diferenciales elépticas para las cuales se verifican principios del máximo débiles. Tales principios del máximo serán una de las principales herramientas que aplicaremos para obtener varios resultados nuevos sobre caracterización y rigidez de solitones del flujo por la curvatura media que extienden a nuestro contexto general propiedades ya conocidas, por ejemplo, en el espacio euclídeo. Además, los solitones del flujo por la curvatura media son también puntos críticos de un funcional volumen con peso. Bajo este punto de vista, podemos encontrar condiciones que garantizan cuándo el índice es finito, así como algunas caracterizaciones de solitones estables.

Estos resultados han sido obtenidos en colaboración con los profesores Jorge H. de Lira, de la Universidade Federal do Ceará en Fortaleza (Brasil), y Marco Rigoli, de la Universitá degli Study di Milano (Italia), y se pueden encontrar en las siguientes referencias:

(1) L.J. Alías, J.H. de Lira y M. Rigoli, Mean curvature flow solitons in the presence of conformal vector fields, The Journal of Geometric Analysis 30 (2020), 1466–1529.

(2) L.J. Alías, J.H. de Lira y M. Rigoli, Stability of mean curvature flow solitons in warped product spaces. Revista Matem ́atica Complutense 35 (2022).

En esta plática hablaremos de la estabilidad con respecto a la distancia intrínseca plana del teorema de la masa positiva para una clase de variedades asintóticamente planas definida por Huang-Lee-Sormani. Si el tiempo lo permite mencionaremos un resultado análogo para una clase de variedades asintóticamente hiperbólicas. Partes de esta presentación provienen de trabajo en conjunto con Allen, Huang-Lee y Cabrera Pacheco-Graf.

Desde hace años, los métodos sintéticos han jugado un rol muy importante en el estudio de la geometría. Este impulso se vio reflejado en la geometría lorentziana en los últimos años gracias al trabajo de Kunzinger y Sämann con su introducción de los espacios de longitud lorentzianos. Estos espacios recuperan la estructura causal de manera axiomática proporcionando un nuevo abanico de herramientas geométricas útiles cuando no es posible garantizar la diferenciabilidad de un espacio-tiempo, como es común al obtener soluciones de las ecuaciones de Einstein. Otra herramienta importante en el estudio de la Relatividad General ha sido el borde causal desde su introducción en el trabajo seminal de Geroch, Kronheimer y Penrose hasta alcanzar la definición final, y más aceptada, en el trabajo de Flores, Herrera y Sánchez. En esta charla abordaremos el problema de construir la completación causal de un espacio de longitud lorentziano, lo que nos permitirá obtener un nuevo conjunto de ejemplos de estos espacios además de una aproximación sintética a estudiar la información causal relevante en espacios de baja regularidad.

Se presenta el análisis de la deformación de una membrana fluida esférica a lo largo de su ecuador causada por la acción de un anillo circular rígido. Las deformaciones consideradas preservan la simetría axial y el área total de la membrana. La simetría rotacional de la membrana permite determinar una primera integral de la ecuación de Euler-Lagrange, la cual se emplea en la determinación de las configuraciones de la membrana. La fuerza ejercida por el anillo sobre la membrana se determina de las condiciones de frontera en la región de contacto. Dicha fuerza origina una discontinuidad en la derivada de la curvatura a lo largo del meridiano. Al reducir el radio del anillo, la construcción ocasiona que la membrana adopte una forma prolata, seguida de una transición hacia una forma no convexa, la cual en el límite de un radio infinitesimal se degenera en dos esferas conectada por un cuello muy pequeño. La fuerza de constricción tiene un comportamiento no monotónico al reducir el radio del anillo y es finita para la constricción máxima. Al aumentar el radio del anillo la membrana se elonga adoptando una forma convexa que es cada vez más oblata, la cual se degenera en dos discos unidos a lo largo de su frontera. La fuerza de dilatación se incrementa monotónicamente al aumentar el radio del anillo, divergiendo en el límite de los discos unidos.

Las líneas de curvatura principal máxima y mínima en una vecindad de un punto umbílico aislado forman la configuración principal de una superfice inmersa en un espacio euclidiano. G. Darboux encontró 3 soluciones a la ecuación diferencial de líneas de curvatura en 1879 alrededor de un punto umbílico aislado simple. Poco más de un siglo después, C. Gutiérrez y J. Sotomayor demostraron que las soluciones de Darboux constituyen una clase abierta y densa en cierto espacio de inmersiones de superficies en el 3-espacio euclidiano aplicando la teoría cualitativa de ecuaciones diferenciales. Muchos trabajos posteriores han sido publicados extendiendo el estudio de las configuraciones principales en diversos contextos y ambientes. En 2010, P. Bayard y F. Sánchez-Bringas probaron que existen configuraciones Darbouxianas aun cuando la superficie se encuentra inmersa en un espacio de Minkowski. En esta plática veremos la clasificación del tipo de configuración principal darbouxiana de una superficie tipo espacio inmersa en el 3-cono de luz del 4-espacio de Minkowski, un trabajo del 2019 en colaboración con O. Palmas y D. Solís.

Given an ambient space such as a Space Form or a Symmetric space is natural to look for submanifolds as simple as possible. Rotation hypersurfaces play an interesting role in this search. We outline in this talk how to build a Rotation hypersurface in a semi-Riemannian space form of arbitrary index. Then, we describe some of its properties.

A Rotation hypersurfaces belong to the set of examples of hypersurfaces with at most two different principal curvatures.

Los espacios de Alexandrov son espacios métricos con una noción de "curvatura seccional" acotada por debajo. En esta charla hablaré de una clasificación equivariante y una clasificación parcial topológica para espacios de Alexandrov de dimensión 4 que admiten acciones por isometrías del toro. Este trabajo es una colaboración con Diego Corro y Masoumeh Zarei.

En está plática presentó el concepto de foliaciones singulares Riemannianas en variedades Riemannianas. Presentaré ejemplos de por que estas foliaciones pueden ser pensadas como generalización de la idea de "simetría", y también mostraré que tienen una fuerte conexión con la geometría de espacios de Alexandrov. En particular en está plática presentamos un resultado conjunto con A. Moreno, que nos permite dar condiciones suficientes para que el espacio de hojas de una foliación tenga frontera.

En esta charla veremos que el crecimiento exponencial del volumen nos permite identificar variedades y saber si admiten métricas de Einstein. En geometría diferencial y física matemática, una variedad Einstein es una variedad diferenciable riemanniana cuyo tensor de Ricci es proporcional a la métrica.

Resulta que gran parte de las teorías de Geometría Diferencial y Análisis Geométrico se pueden generalizar a los espacios que aparecen al pensar en límites de sucesiones de variedades lisas con curvaturas acotadas. Si la curvatura acotada en la sucesión es la seccional, llegamos a lo que se conoce como espacios de Alexandrov. Si pedimos que la curvatura de Ricci esté acotada, llegamos a una clase de espacios que han sido ya ampliamente estudiados, llamados Ricci límites. Estos están a su vez incluidos en unos espacios que se definen usando el espacio de todas las medidas conocido como el espacio de Wasserstein, que tienen un tipo de curvatura de Ricci acotada por debajo por una constante real K y son de dimensión a lo más N, llamados espacios RCD(K,N). Aquí empezamos a ver cómo se relacionan estos conceptos y objetos geométricos con temas de Transporte Óptimo.

La entropía de volumen de una métrica es la entropía del volumen de una bola en cubriente universal de una variedad Riemanniana. Este concepto también se puede definir para los espacios métricos medibles RCD(K,N). Junto con varios colaboradores demostramos que es posible caracterizar a los espacios RCD(K,N) que son isomorfos a variedades hiperbólicas usando la entropía del volumen (ver Maximal volume entropy rigidity for RCD*(−(N −1),N) spaces, con C. Connell, X. Dai, J. Núñez-Zimbrón, R. Perales, G. Wei, Journal of the London Mathematical Society, 104 (2021), 1615–1681).

Por otro lado, podemos usar el crecimiento exponencial del grupo fundamental para dar restricciones a la existencia de métricas de Einstein en variedades lisas de dimensión 4. Esto es parte de un trabajo reciente en colaboración con Haydée Contreras Peruyero ( ver Collapsing and group growth as obstructions to Einstein metrics on some smooth 4-manifolds, con Haydeé Contreras Peruyero, New York Journal of Mathematics 28 (2022) 659–671.)

Estudiamos los minimizantes globales de la accion para lagrangianos definidos en el haz horizontal de una variedad subriemanniana, así como su relación con soluciones débiles de la ecuación de Hamilton Jacobi.

Los órbifolds pueden ser pensados como generalizaciones de las variedades que admiten singularidades bien estructuradas. Localmente, un orbifold es el cociente de un abierto de $\mathbb R^n$ por la acción de un grupo finito. Una pregunta clásica en geometría espectral es la siguiente: ¿podemos conocer la forma de una variedad estudiando el espectro de Hodge-Laplace? Dado que un órbifold está determinado por su conjunto de singularidades, es natural preguntarnos en este contexto si el espectro de Hodge-Laplace puede distinguir a un órbifold de una variedad. En esta plática daremos una breve introducción a los órbifolds y su teoría espectral. Veremos que, bajo ciertas condiciones, el espectro de Hodge-Laplace sí puede detectar las singularidades de los órbifolds. Esta plática está basada en dos trabajos en colaboración con Katie Gittins, Carolyn Gordon, Magda Khalile, Juan Pablo Rosetti, Mary Sandoval y Liz Stanhope.