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BIENVENIDOS AL CURSO DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III
Grupo 4150, Facultad de Ciencias UNAM
Profesor: M. en C. Sergio Iker Martínez
E mail: iker@matem.unam.mx
Cubículo: Aula 3 del nuevo edificio, Instituto de Matemáticas UNAM.
Lunes a Viernes 17:00 hrs a 18:00 hrs. Sábado 7:00 hrs a 8:00 hrs. Salón: O 123
Ayudante: Mat. Andrés Ahumada
E mail: andres.19@ciencias.unam.mx
Lunes, Miércoles y Viernes 18:00 hrs a 19:00 hrs. Salón: O 123
INTRODUCCIÓN:
El curso de Cálculo Diferencial e Integral III es una herramienta esencial para varias disciplinas dentro de matemáticas, física, biología, optimización y muchas aplicaciones por ésto es un curso de suma importancia para cualquier científico.
Esencialmente el principal objetivo es extender las nociones del Cálculo Diferencial de funciones de la recta R en sí misma a mapeos diferenciables de Rn en Rm y ver las algunas de las aplicaciones y resultados entorno a éstas. Para esto comenzaremos estudiando la Topología (estándar) del espacio Euclidiano Rn , con ésto, entre otras cosas podremos definir continuidad de funciones de Rn en Rm . Luego la estrategia será definir la derivada para curvas en Rn, funciones de Rn y finalmente para mapeos de Rn en Rm . Los resultados centrales en estas partes son:
- La Desigualdad del Valor Medio,
- La Regla de la Cadena de Varias Variables
- El Teorema de la Formula de Taylor en Varias Variables
- El Teorema de la Función Inversa y el de la Función Implícita
- Multiplicadores de Lagrange
- El Teorema del Rango Constante
Finalmente veremos una breve introducción a las Subvariedades Diferenciables de Rn, éstos objetos son espacios donde tiene sentido definir la derivada de funciones entre ellos y que generalizan el caso de los espacios Euclidianos. Éstos espacios son sumamente relevantes en matemáticas y física, en particular nos servirá para poder resolver problemas de optimización vía multiplicadores de Lagrange.
TEMARIO:
Los temas que vayamos terminando de ver los marcaré con ✔
1. TOPOLOGÍA DE Rn ✔
- Rn como espacio vectorial ✔
- Producto interno y norma ✔
- Bolas y conjuntos acotados ✔
- Sucesiones en Rn ✔
- Puntos de acumulación ✔
- Aplicaciones continuas ✔
- Homeomorfismos ✔
- Límites ✔
- Conjuntos abiertos, cerrados y compactos ✔
- Conexidad ✔
2. CURVAS DIFERENCIABLES EN Rn ✔
- Caminos diferenciables ✔
- La integral de un camino ✔
- Teoremas clásicos del cálculo ✔
- Caminos rectificables ✔
- Longitud de arco ✔
3. FUNCIONES DIFERENCIABLES DE Rn ✔
- Derivadas parciales ✔
- Derivadas direccionales ✔
- Funciones diferenciables ✔
- La diferencial de una función ✔
- El gradiente de una función ✔
- La regla de Leibniz ✔
- El teorema de Schwarz ✔
- La fórmula de Taylor ✔
- Puntos críticos ✔
4. APLICACIONES DIFERENCIABLES DE Rn EN Rm ✔
- Diferenciabilidad de un aplicación ✔
- La regla de la cadena ✔
- El teorema de la serie de Taylor ✔
- Desigualdad del valor medio ✔
- Aplicaciones fuertemente diferenciables ✔
- El teorema de la aplicación inversa y el teorema de la aplicación implícita ✔
5. TÓPICOS DE CÁLCULO III ✔
- Subvariedades Diferenciables de Rn ✔
EVALUACIÓN:
Cada tema se evaluará con una tarea y un examen. El promedio de las calificaciones obtenidas en todos los temas conformará la calificación final conforme a los siguientes porcentajes:
Exámenes: 90%. Cada examen tendrá un problema opcional que contará como extra.
Tareas: 10%. Dejaré una lista de problemas la cual en algunos casos se podrá entregar en equipo. Aproximadamente 3/4 de los problemas de los exámenes serán problemas de la tarea.
De manera opcional, al finalizar el curso habrá un examen el cual cubrirá el contenido de todos los temas. En caso de decidir presentar éste examen la calificación obtenida será la correspondiente a la del curso.
Las participaciones durante las clases y ayudantías serán tomadas en cuenta como puntos extra en la evaluación de cada tema.
BIBLIOGRAFÍA:
- Courant, R., John, F., Introducción al Cálculo y al Análisis Matemático, Vol. II, México: Limusa, 1974.
- Lang S., Calculus of Several Variables, 3rd ed. Springer, 1987.
- Langes Lima E., Curso de Análise Vol. 2, 11 ed. Projeto Euclides IMPA, 2012.
- Spivak, M., Cálculo en Variedades. México: Ed. Reverté, 1987.
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