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- Équations de droites
a) Paramètres des équations de droite en relation et géométrie analytique
a) Paramètres des équations de droite en relation et géométrie analytique
En géométrie analytique le vocabulaire change pour caractériser les paramètres m et b de l'équation: y = mx + b
Paramètre Géométrie analytique Relation
m pente Taux de variation
b ordonnée à l'origine Valeur initiale
Relation
Relation
Géométrie analytique
Géométrie analytique
b) Trois types de droite
b) Trois types de droite
Droite oblique, m # 0
Droite oblique, m # 0
Équation y = mx + b
Variation partielle : y = 2x + 3
Variation directe : y = 2x
Droite horizontale, m = 0
Droite horizontale, m = 0
Équation y = c point (a, c)
Y = 3 point (0, 3) sur la droite
Droite verticale, n'existe pas
Droite verticale, n'existe pas
Équation x = a point (a, c)
x = 3 point (3, 0) sur la droite
Exemple 1. - Écrire une droite à partir de sa représentation visuelle. Soit le graphique ci-après représentant une fonction affine. Écris l’équation de la droite .
Solution
Il s'agit d'une droite oblique à variation partielle d'équation y = mx + b
L' ordonnée à l'origine est : b = -6
Il faut maintenant déterminer m.
m = variation verticale / variation horizontale
On choisit deux points faciles à compter les variations, soit (3, 0 ) et (5, 4)
Variation horizontale: 5 - 3 = 2
Variation verticale : 4 - 0 = 4
m = 4 /2 = 2
Y= 2x - 6
L'équation de la droite est: y = 2x - 6
Exemple 2. Équation de droite passant par un point dont la pente est connue
Détermine, de façon algébrique, l’équation de la droite ayant une pente de -3 et qui passe par le point (5, -8)
Solution
On cherche l’équation : y = mx + b
On sait que m = -3
Donc, l’équation devient y = 3x + b
Le point (5, - 8) est sur la droite.
Donc : - 8 = 3(5) + b - 8 = 15 + b 7 = b
Donc, l’équation de la droite est y = 3x + 7
Exemple 3. Équation de droite passant par deux points connus
Détermine, l'équation de droite qui qui passe par les points (40, - 24) et (16, 12).
Solution
On cherche l’équation : y = mx + b
ici on détermine m = (y2 - y1)/ (x2 - x1)
m = (12 - (-24))/ 16 - 40 , m = 36 / - 24
m = -3/ 2 = -1,5
L'équation devient y = - 1,5x + b
Le point (16, 12 ) est sur la droite
12 = -1,5(16) + b 12 = - 24 + b 36 = b
Donc, l’équation de la droite est y = -1,5x + 36
Exemple 4. Pente nulle.
Détermine l’équation de la droite dont la pente est nulle et qui a pour ordonnée à l’origine 4.
Solution
Posons l'équation de droite y = mx + b
La pente étant nulle, droite horizontale, m = 0
L'équation devient y = 0x + 4
Réponse: y = 4
Exemple 5. Pente non définie
Détermine l’équation de la droite verticale qui passe par le point (-7, 2).
Solution
Posons l'équation de droite y = mx + b
pente non définie, droite verticale
L'équation devient x = -7
Réponse : x = -7
c) Équation forme pente -ordonnée et forme cartésienne
c) Équation forme pente -ordonnée et forme cartésienne
L' équation de droite peut s'écrire sous forme:
L' équation de droite peut s'écrire sous forme:
- Pente -ordonnée : y mx + b
- Équation cartésienne : Ax + By + C = 0
Exemple 6. Équation forme y = mx + b
Écrire l'équation cartésienne 4x + 3y - 12 = 0 sous la forme de y = mx + b
Solution
3y = - 4x + 12
y = -4x/3 + 12/3
y = -4x/3 + 4
Réponse: y = -4x/3 + 4
Exemple 7 . Équation forme Ax + By + C = 0
Écrire l'équation y = (2x/9)- 1 sous la forme cartésienne Ax + By + C = 0
Solution
y = (2x - 9)/9
9y = 2x - 9
-2x + 9y + 9 = 0
Réponse : -2x + 9y + 9 = 0
Pratique autonome
Pratique autonome
2. Droites parallèles et perpendiculaires
2. Droites parallèles et perpendiculaires
Visionne
Visionne
Droites parallèles
Droites parallèles
même pente
m1 = m2
Exemple
Y = 0,5x + 2 et y = 0,5x
Droites perpendiculaires
Droites perpendiculaires
Pentes inverses et de signes contraires. m1 x m2 = -1
Exemple
y = -0,5x + 2 et y = 2x
Droites sécantes
Droites sécantes
pentes différentes
m1# m2
Exemple
y = 2x et y = 0,5x - 2
Solution
Solution
Deux droites sont perpendiculaires, alors m1xm2 = -1
m1 = -2/3
m2 = (5 - k)/(3-5). m2 = (5-k)/-2
(-2/3) x (5-k)/-2 = -1
(-10 + 2k )/-6 = -1. - 10 + 2k = 6
2k = 16 k = 8. La réponse est d
Solution
Solution
d1 : 2x + 3y - 6 = 0
3y = -2x + 6. y = -2x/3 + 2
d1 à la même ordonnée à l'origine et est perpendiculaire à d2 , alors : m1xm2 = -1
m1 = -2/3 et m2 dans l'équation a est 3/ 2,
-2/3 x 3/2 = -1
La réponse est a
Pratique autonome
Pratique autonome
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