Équation de droite
- Équations de droites
a) Paramètres des équations de droite en relation et géométrie analytique
En géométrie analytique le vocabulaire change pour caractériser les paramètres m et b de l'équation: y = mx + b
Paramètre Géométrie analytique Relation
m pente Taux de variation
b ordonnée à l'origine Valeur initiale
Relation
Géométrie analytique
b) Trois types de droite
Droite oblique, m # 0
Équation y = mx + b
Variation partielle : y = 2x + 3
Variation directe : y = 2x
Droite horizontale, m = 0
Équation y = c point (a, c)
Y = 3 point (0, 3) sur la droite
Droite verticale, n'existe pas
Équation x = a point (a, c)
x = 3 point (3, 0) sur la droite
Exemple 1. - Écrire une droite à partir de sa représentation visuelle. Soit le graphique ci-après représentant une fonction affine. Écris l’équation de la droite .
Solution
Il s'agit d'une droite oblique à variation partielle d'équation y = mx + b
L' ordonnée à l'origine est : b = -6
Il faut maintenant déterminer m.
m = variation verticale / variation horizontale
On choisit deux points faciles à compter les variations, soit (3, 0 ) et (5, 4)
Variation horizontale: 5 - 3 = 2
Variation verticale : 4 - 0 = 4
m = 4 /2 = 2
Y= 2x - 6
L'équation de la droite est: y = 2x - 6
Exemple 2. Équation de droite passant par un point dont la pente est connue
Détermine, de façon algébrique, l’équation de la droite ayant une pente de -3 et qui passe par le point (5, -8)
Solution
On cherche l’équation : y = mx + b
On sait que m = -3
Donc, l’équation devient y = 3x + b
Le point (5, - 8) est sur la droite.
Donc : - 8 = 3(5) + b - 8 = 15 + b 7 = b
Donc, l’équation de la droite est y = 3x + 7
Exemple 3. Équation de droite passant par deux points connus
Détermine, l'équation de droite qui qui passe par les points (40, - 24) et (16, 12).
Solution
On cherche l’équation : y = mx + b
ici on détermine m = (y2 - y1)/ (x2 - x1)
m = (12 - (-24))/ 16 - 40 , m = 36 / - 24
m = -3/ 2 = -1,5
L'équation devient y = - 1,5x + b
Le point (16, 12 ) est sur la droite
12 = -1,5(16) + b 12 = - 24 + b 36 = b
Donc, l’équation de la droite est y = -1,5x + 36
Exemple 4. Pente nulle.
Détermine l’équation de la droite dont la pente est nulle et qui a pour ordonnée à l’origine 4.
Solution
Posons l'équation de droite y = mx + b
La pente étant nulle, droite horizontale, m = 0
L'équation devient y = 0x + 4
Réponse: y = 4
Exemple 5. Pente non définie
Détermine l’équation de la droite verticale qui passe par le point (-7, 2).
Solution
Posons l'équation de droite y = mx + b
pente non définie, droite verticale
L'équation devient x = -7
Réponse : x = -7
c) Équation forme pente -ordonnée et forme cartésienne
L' équation de droite peut s'écrire sous forme:
- Pente -ordonnée : y mx + b
- Équation cartésienne : Ax + By + C = 0
Exemple 6. Équation forme y = mx + b
Écrire l'équation cartésienne 4x + 3y - 12 = 0 sous la forme de y = mx + b
Solution
3y = - 4x + 12
y = -4x/3 + 12/3
y = -4x/3 + 4
Réponse: y = -4x/3 + 4
Exemple 7 . Équation forme Ax + By + C = 0
Écrire l'équation y = (2x/9)- 1 sous la forme cartésienne Ax + By + C = 0
Solution
y = (2x - 9)/9
9y = 2x - 9
-2x + 9y + 9 = 0
Réponse : -2x + 9y + 9 = 0
Pratique autonome
2. Droites parallèles et perpendiculaires
Visionne
Droites parallèles
même pente
m1 = m2
Exemple
Y = 0,5x + 2 et y = 0,5x
Droites perpendiculaires
Pentes inverses et de signes contraires. m1 x m2 = -1
Exemple
y = -0,5x + 2 et y = 2x
Droites sécantes
pentes différentes
m1# m2
Exemple
y = 2x et y = 0,5x - 2
Solution
Deux droites sont perpendiculaires, alors m1xm2 = -1
m1 = -2/3
m2 = (5 - k)/(3-5). m2 = (5-k)/-2
(-2/3) x (5-k)/-2 = -1
(-10 + 2k )/-6 = -1. - 10 + 2k = 6
2k = 16 k = 8. La réponse est d
Solution
d1 : 2x + 3y - 6 = 0
3y = -2x + 6. y = -2x/3 + 2
d1 à la même ordonnée à l'origine et est perpendiculaire à d2 , alors : m1xm2 = -1
m1 = -2/3 et m2 dans l'équation a est 3/ 2,
-2/3 x 3/2 = -1
La réponse est a