A atividade proposta revela-se adequada para o Ensino Médio, com a possibilidade de adaptação conforme a faixa etária e nível de habilidade dos estudantes. Seu objetivo central é realizar disparos de flechas em distintos ângulos de inclinação do arco, visando analisar as distâncias percorridas em cada tiro e desenvolver um modelo que descreva o comportamento dessa variável.

Essa abordagem proporciona uma experiência prática e envolvente, integrando conceitos matemáticos e físicos. A análise dos dados coletados permitirá aos estudantes explorar padrões e relações, contribuindo para o desenvolvimento de habilidades investigativas e a compreensão mais profunda dos princípios científicos envolvidos.

Dividiremos a proposta dessa atividade em dois momentos, o primeiro momento será destinado para Modelagem Matemática, contendo as fases dessa alternativa pedagógica e como realizar cada uma delas. O segundo momento será destinado para a Análise de Modelos, contento todas as etapas dessa alternativa pedagógica e como avaliar criticamente o modelo obtido a partir da Modelagem Matemática. 

❗Sempre convide os alunos a tomarem frente de todas as etapas da atividade❗

Modelagem Matemática

Primeira Etapa: Seleção de Ambiente

Escolha um ambiente apropriado para a coleta de dados, como a quadra da escola, campo de futebol ou outro espaço isolado (certificando-se da segurança dos alunos, e que não tenha a circulação de pessoas ou animais).

Posicione cones (ou marcadores similares) em unidades de distância, por exemplo, a cada 10, 20, 30... metros, dependendo da potência do arco escolhido.

Segunda Etapa: Execução dos Disparos

Realize uma série de disparos de flechas, mantendo constante o tensionamento do arco (recomenda-se cerca de 5 disparos).

Varie os ângulos de inclinação, sugerindo cinco diferentes, como 15°, 30°, 45°, 60° e 70°.

Utilize um transferidor ou o aplicativo "Protactor" para ajustar com precisão a inclinação do arco, garantindo segurança ao realizar esse processo, idealmente conduzido pelo professor. O celular com o aplicativo aberto pode ser posicionado sobre a flecha e ir ajustando a angulação até se obter o ângulo desejado.

Após cada disparo, vá ao local de queda da flecha e messa a distância percorrida por ela e anote (sugiro realizar no mínimo três disparos por ângulo, para obterem dados homogêneos, no fim basta realizar média aritmética simples para cada ângulo). 

Terceira etapa: Matematização dos Dados

Com dados coletados realize uma síntese dos dados (pode ser uma média aritmética simples), obtendo-se assim a distância percorrida pela flecha em cada ângulo coletado.

Como o objetivo é criar um modelo (Função) que represente o comportamento do fenômeno em estudo, recomendo o uso do GeoGebra, ele pode ser utilizado a partir do próprio navegador de forma online (https://www.geogebra.org/graphing?lang=pt).

Com o GeoGebra aberto plote 5 pontos (ou mais caso tenha coletado outros ângulos), sendo o eixo x, ângulo de lançamento da flecha, e o eixo y a distância percorrida pela flecha.

Plotado os pontos o próximo passo é realizar o ajuste de curvas, para isso basta escrever regressão de curvas no GeoGebra, esse momento é muito importante, pois precisa ser definido uma função que se adeque ao fenômeno em estudo, existem diversas opções de funções, e deve ser escolhida em conjunto com os alunos a que melhor representa o fenômeno (sugiro uma função de grau 2, do tipo parábola). 

Quarta etapa: Interpretação de resultados e validação

Para se iniciar a interpretação de resultados e validação, o primeiro passo é verificar os resultados que o modelo apresenta, com dados empíricos coletados, para verificar se tais resultados condizem com o fenômeno estudado.

Por fim, interpretar tais resultados, se eles forem condizentes a realidade do fenômeno estudado, basta validá-lo com os alunos. 

Análise de Modelos

Para a análise crítica do modelo desenvolvido pelos alunos, a partir da Modelagem Matemática, dividiremos essa tarefa em seis etapas, de acordo com referencial teórico proposto nesse site. 

Estudo do fenômeno em questão

Essa etapa deve ocorrer naturalmente, pois de fato os alunos já coletaram os dados e desenvolveram o modelo matemático, mas cabe sempre a intervenção do professor, para relembrar todos os acontecimentos já desenvolvidos (como se trata de uma atividade longa, desenvolvida em várias aulas, é sempre bom relembrar 😁). 

Estudo das hipóteses consideradas para a elaboração do modelo 

Nesse momento será verificado quais hipóteses foram consideradas para elaboração do modelo, nesse caso dessa atividade, foi sempre o mesmo aluno a realizar o disparo? Estava ventando muito no dia? Qual arco foi utilizado? Qual a potência de disparo dele? Quais dados foram considerados para a coleta e o que foi desconsiderado da coleta? (É importante relembrar todos os detalhes, para ir construindo a ideia de avaliação na mente dos alunos). 

Entendimento do que cada termo do modelo diz sobre o fenômeno 

Nesse momento, os alunos irão olhar para o modelo (função), e ver o que cada elemento (parâmetros, variáveis, etc.), representa, qual a função de cada elemento que compõe o modelo? O que representa os resultados? 

Estudo do comportamento da(s) solução(ões) do modelo, relacionando este comportamento com o fenômeno e com as hipóteses consideradas

Entendendo para que serve o modelo, e sabendo quais foram a hipóteses consideradas, está na hora de entender as soluções que esse modelo apresenta, elas condizem com a realidade do fenômeno em estudo? É importante testar vários valores nesse momento. 

Estudo da influência dos parâmetros do modelo no comportamento de sua(s) solução(ões), o que permite fazer previsões e analisar a influência de possíveis intervenções no fenômeno 

Essa fase está muito ligada a fase anterior, olhando a partir das soluções que modelo apresenta e a da influência dos parâmetros, pode-se perceber limitações no modelo, olhar para representação gráfica do modelo a partir do GeoGebra é interessante nesse momento, pois o modelo pode apresentar resultados para valores negativos de ângulo ou valores maiores que de 90º, então é importante verificar isso e se preciso adequar novas hipóteses ao modelo, limitando tais valores em intervalos. Discutir também quanto ao domínio desse modelo pode levar a agregação de novos conhecimentos interessante para os alunos. 

Análise das limitações do modelo 

Por fim, essa etapa mais interessante, que a partir da junção das anteriores, leva a conclusões interessantes por parte dos alunos, deve-se questionar se esse modelo condiz bem com a realidade do fenômeno investigado? Ele pode ser generalizado para outras situações? Ou serve apenas para essa? Se mudar tipo do arco, o ambiente escolhido ele aina apresenta soluções confiáveis? Será que influencia do vento no dia coletado, altera os resultados? Existe algum modelo clássico que representa já essa situação? Se sim, quais limitações e potencialidades do modelo dos alunos se comparado a esse modelo clássico? 

É importante destacar esse lado crítico dos alunos, e pode-se buscar na literatura modelos clássicos que representam esse fenômeno, no caso dessa atividade existe um modelo da Física que representa, mas ele foi pensado e desenvolvido no vácuo, onde não existe a influência do atrito do ar, trazer esse modelo para os alunos realizarem a Análise de Modelos, pode agregar ainda mais conhecimento para os alunos, e ajudar a perceber limitações e potencialidades de ambos os modelos.