Title: Sobre a lineabilidade do conjunto das funções contínuas que atingem um único máximo e se anulam no infinito

Abstract: Nesta apresentação, abordaremos o primeiro problema de lineabilidade formulado em 2004. Proposto por V. Gurariy, esse problema permaneceu sem solução por 15 anos, período em que diversas generalizações foram exploradas em diferentes direções. Sua resolução definitiva ocorreu apenas em 2020, utilizando ferramentas pouco convencionais da topologia, geometria e análise complexa. O objetivo da palestra é apresentar um caminho para uma generalização ainda parcialmente resolvida e incentivar o público a investigar esse novo problema, que parece apresentar uma ruptura na transição para dimensões superiores a 1.

Title: Some dynamical aspects of composition operators on reproducing kernel Hilbert spaces

Abstract: In this work, we present a complete characterization of positive expansiveness and absolutely Cèsaro bounded operators among composition operators induced by affine self-maps ϕ of the right half-plane C+ on the weighted Bergman space A²α(C+). Furthermore, we also present which of these operators have the positive shadowing property.

Title: Composition operators in weighted Hardy Spaces

Abstract: In this talk, our main subject is operator theory on the weighted Hardy space H^p(D,ω). After reviewing the basic framework, we focus on the role played by outer functions in this setting and provide a necessary and sufficient condition for the well-definedness of certain composition operators in the weighted context. We then present and discuss how the complex method of interpolation can be applied to weighted Hardy spaces; in particular, we will show an expected result that resembles the Coifman–Rochberg–Weiss commutator theorem.

Title: Dynamics of Operators Induced by Odometers

Abstract: We study the linear dynamics of composition operators induced by measurable transformations on finite measure spaces, with particular emphasis on operators induced by odometers. Our first main result shows that, on a finite measure space, supercyclicity of a composition operator implies hypercyclicity. We then show that many dynamical properties are equivalent for composition operators induced by odometers, in particular supercyclicity, Li-Yorke chaos, hypercyclicity and Devaney chaos. We also construct an example of a composition operator induced by an odometer that is mixing, Devaney chaotic and distributionally chaotic but fails to satisfy the Frequent Hypercyclicity Criterion.

Title: Supershadowing and Superciclicity on bounded operators

Abstract: In recent years, there has been growing interest in extending the scope of shadowing properties in dynamical systems, particularly through the study of weaker notions such as finite shadowing and \(L\)-shadowing. Motivated by the concept of supercyclicity, we introduce the \emph{super-shadowing property} and the \emph{weak super-shadowing property} within the framework of linear dynamics. In this setting, pseudotrajectories are approximated by sequences of the form \((\lambda_n T^n x)\), where \((\lambda_n)_{n \in \mathbb{N}}\) is a sequence of complex scalars. 

We investigate situations in which these new properties differ from the classical shadowing property, as well as cases in which they are equivalent. For compact operators on Banach spaces, we provide characterizations of those operators that possess the positive super-shadowing property and the positive limit super-shadowing property. Furthermore, we show that no surjective isometric operator on a separable Banach space \(X\) with \(\dim(X) > 1\) can satisfy the positive super-shadowing property. If time permits, we also comment on related results concerning upper frequently supercyclic and reiteratively supercyclic operators. This work is a collaboration with M.~Saavedra.

Title: Entropy for Compact Operators and Results on Entropy and Specification

Abstract: We investigate the topological entropy of operators. More precisely, in the Banach space setting, we show that compact operators have finite entropy, which depends solely on their point spectrum. Moreover, for operators on F-spaces, we explore the relationship between the specification property and entropy. In particular, we show that the specification property implies infinite topological entropy, while the operator specification property implies positive entropy.

Title: ε-hiperciclicidade: uma busca por aproximações

Abstract: Nesta palestra, discutiremos como órbitas de operadores  se aproximam de pontos do espaço e por que diferentes formas de "visita" levam a comportamentos dinâmicos não necessariamente distintos. Explicaremos como surgiu a noção de ε-hiperciclicidade, sua relação com a hiperciclicidade clássica e apresentaremos os principais avanços nessa linha ao longo dos últimos anos. Em seguida, mostraremos algumas das ideias centrais por trás da solução do problema em aberto recente, proposto por Frédéric Bayart, e encerraremos falando acerca da riqueza (no sentido topológico, probabilístico e algébrico) do conjunto de vetores com esse tipo de comportamento.

Title: Alguns resultados de spaceabilidade em dinâmica linear

Abstract: Nesta palestra, nosso objetivo principal é apresentar o fenômeno da spaceabilidade a partir de uma perspectiva estrutural intrínseca ao operador linear contínuo em questão. Essa abordagem unifica e estende as teorias clássicas de subespaços hipercíclicos e subespaços recorrentes, que anteriormente haviam sido estudadas separadamente. Este trabalho é em colaboração com Manuel Stadlbauer.

Title: Entre sombras e frequências: uma visão dinâmica de operadores lineares

Abstract: Estudar as propriedades topológicas de um sistema contribui significativamente para a compreensão de seu comportamento dinâmico. Um exemplo notável dessas propriedades é a hiperciclicidade frequente, que se manifesta quando um ponto no espaço adjacente visita com frequência positiva todos os seus subconjuntos abertos. Esta característica está intimamente ligada à presença de medidas de probabilidade ergódica e invariante para o sistema.

Neste contexto, exploraremos diversas propriedades dinâmicas, tais como sombreamento, transitividade por cadeia, hiperciclicidade e hiperciclicidade frequente, dentro da dinâmica linear. Demonstraremos que há sempre uma decomposição espectral do conjunto recorrente por cadeia de operadores lineares contínuos, sendo esta decomposição trivial.

Adicionalmente, evidenciaremos que todo sistema dinâmico linear transitivo por cadeia, ao possuir a propriedade de sombreamento, é frequentemente hipercíclico. Como corolário, concluímos que qualquer sistema dinâmico linear hipercíclico que possui a propriedade de sombreamento também demonstra ser frequentemente hipercíclico. Este estudo foi desenvolvido em colaboração com Régis Varão (UNICAMP) e Gabriel Mantovani.

Title: Large subspaces of non-cyclic operators

Abstract: We consider the strong operator topology (SOT) on the space L(X) of continuous linear operators on an infinite-dimensional Fréchet Banach space X. The existence of SOT-dense subspaces as well as SOT-closed infinite-dimensional subspaces within the family of all non-cyclic operators is established. Other classes of operators, such as those with non-dense range or non-injective operators, are also studied from this perspective. Moreover, for the sequence space ℓ_p (0 < p < ∞), we prove that the family of all non-cyclic members of L(ℓ_p) contains an isometric copy of ℓ_p.

Title: Sobre extensão de subespaços hipercíclicos

Abstract: Vamos discutir a extensão de subespaços hipercíclicos para operadores que satisfazem o critério de Kitai. Um subespaço clássico que nossas técnicas permitem estender é o espaço formado por todos os vetores f(T)x onde x é um vetor hipercíclico fixado, T satisfaz o critério de Kitai e f varia nas funções holomorfas. Este é um trabalho em conjunto com Felipe Carvalho Silva (Unicamp) e Geivison Ribeiro (Unicamp).

Title: Coneability of a family of bi-Lipschitz embeddings, with applications

Abstract: We show that the a of Lipschitz embeddings from [0, ∞) to ℝ is coneable, i.e., it contains an infinite dimensional cone. We apply that to the study of twisted Hilbert spaces (Banach spaces containing an isomorphic copy of ℓ2, such that the corresponding quotient is isomorphic to ℓ2). Using the coneability result, we obtain a large family of mutually non-isomorphic twisted Hilbert spaces sharing properties with the celebrated Kalton-Peck space Z2.