Title: Multidimensional contracted rotations

Abstract: We study the dynamics of multidimensional contracted rotations and address a problem posed by Y. Bugeaud and J.-P. Conze in Acta Arithmetica (1999). More precisely, we show that if A is an invertible linear contraction of ℝᵈ, then the map f : [0, 1)ᵈ → [0, 1)ᵈ, defined by f(x) = Ax + b (mod ℤᵈ), is asymptotically periodic for Lebesgue almost all b ∈ ℝᵈ.

This is joint work with José Pedro Gaivão (Universidade de Lisboa).

Title: Stable/unstable holonomies of Anosov diffeomorphisms and conformal hyperbolic distances

Abstract: In this talk, I will explain how conformal hyperbolic distances can be used in the study of stable/unstable holonomies of Anosov diffeomorphisms. The main result is that stable/unstable holonomies are isometries when analyzed in a conformal hyperbolic distance with well-defined length of pw-C1 stable/unstable curves. I will also discuss ways of constructing conformal hyperbolic distances.

Title: Sobre a complexidade de palavras infinitas

Abstract: Caracterizamos as funções de complexidade de palavras infinitas (e subshifts) módulo a relação de equivalência assintótica, na qual duas funções não decrescentes f, g : ℕ → ℕ são equivalentes se existe uma constante C ≥ 1 tal que
f(n) ≤ C · g(Cn) e g(n) ≤ C · f(Cn), para todo n ∈ ℕ.

A função de complexidade de toda sequência não periódica é estritamente crescente, submultiplicativa e cresce pelo menos linearmente. Demonstramos que, inversamente, toda função que satisfaz essas propriedades — mais precisamente, basta assumir que f é não decrescente, f(n) ≥ n + 1 e f(2n) ≤ f(n)² para todo n ∈ ℕ — é assintoticamente equivalente à função de complexidade de uma palavra infinita recorrente (equivalentemente, de um subshift recorrente).

A demonstração baseia-se em uma construção algorítmica explícita que utiliza certos “conjuntos de Cantor de inteiros”, cujas lacunas correspondem a blocos de zeros.

Mostramos ainda que toda função submultiplicativa não decrescente é assintoticamente equivalente, a menos de um termo de erro linear, à função de complexidade de um subshift estritamente ergódico (em particular, minimal) associado a uma palavra infinita.

Se houver tempo, abordaremos também tópicos relacionados à complexidade de sequências infinitas, como o crescimento de funções de recorrência de palavras infinitas com complexidade linear e uma resposta parcial a uma pergunta de Cassaigne sobre o crescimento das derivadas discretas de funções de complexidade.

Este é um trabalho conjunto com Be’eri Greenfeld e Efim Zelmanov.

Title: Regularidade Lipschitz para a medida invariante de sistemas dinâmicos aleatórios

Abstract: Nesta palestra mostraremos como dinâmicas aleatórias admitem uma medida invariante cuja desintegração tem regularidade Lipschitz em um espaço natural de medidas, a saber, espaços de medidas com sinal com uma métrica do tipo Wasserstein-Kantorovich. O objeto principal estudado é o operador de transferência que age nos espaços que construímos de modo adequado e possui propriedades espectrais “boas”, como o clássico gap espectral. Se houver tempo, apresentaremos uma aplicação dos resultados obtidos. Trabalho em colaboração com Rafael Lucena (UFAL).

Title: Extraindo decomposição dominada

Abstract: Ferraduras aparecem como elemento central no estudo de sistemas com comportamento hiperbólico. Essas objetos caóticas são caracterizados por exibirem uma estrutura fractal rica a qual é tema de estudo ativo pelos últimos 60 anos. 

Nessa palestra discutiremos como métodos probabilísticos podem ser utilizados para obter subferraduras com propriedades geométricas desejáveis. Indicaremos como aplicar essas idéias para extrair subferraduras com decomposição dominada sem perder muita “dimensão”.

Title: Folheações invariantes, expoentes de Lyapunov e rigidez dinâmica sob uma perspectiva de desintegração de medidas

Abstract: Difeomorfismos de Anosov que preservam volume são ergódicos e a prova passa por entender a desintegração da medida de volume nas folhas estáveis e instáveis. Num espírito muito parecido nós queremos olhar como a desintegração da medida invariante em certas folheações invariantes para uma dinâmica (em geral um parcialmente hiperbólico) fornecem informações sobre a dinâmica. Além disso vamos olhar como a própria desintegração se relaciona com a holonomia da folheação em algumas situações, como por exemplo em contextos de desintegração atômica. 

Title: Thermodynamic Formalism and Statistical Properties for Discontinuous Partially Hyperbolic Systems

Abstract: We discuss the existence and statistical properties of equilibrium states for a class of piecewise partially hyperbolic maps. By developing a specialized functional-analytic framework, we obtain the regularity of disintegrations and uniqueness of equilibrium states without requiring local invertibility or global smoothness. We establish exponential decay of correlations and other limit theorems for these measures. The versatility of this framework is illustrated through several examples, such as non-invertible systems admitting semi-conjugacy to intermittent maps (e.g., Manneville-Pomeau) and fat solenoidal attractors. This is a joint work with Rafael Bilbao.

Title: On the infimum of the difference between the Markov and Lagrange spectra

Abstract: The Lagrange and Markov spectra L and M encode the best constants in Diophantine approximation for irrational numbers and for indefinite binary quadratic forms. In a classical result from 1880, Markov showed that the initial portions of these spectra coincide: indeed, L ∩ (0, 3) = M ∩ (0, 3), and this set consists of explicit quadratic irrationals accumulating only at 3. In this talk, we discuss why this coincidence ceases to hold immediately after 3. More precisely, for every ε > 0 one has L ∩ (3, 3 + ε) ≠ M ∩ (3, 3 + ε), and therefore inf(M \ L) = 3.