La topología diferencial estudia fenómenos topológicos usando las herramientas del cálculo, es decir, derivadas e integrales. Para poder usar estas herramientas es necesario considerar espacios donde tengan sentido las operaciones de diferenciación e integración: las variedades diferenciables (manifolds diferenciables).
Algunos ejemplos de cómo el cálculo refleja propiedades topológicas son los siguientes:
El teorema de Rolle: una función diferenciable periódica debe tener puntos críticos. En otras palabras, el hecho de que una función sobre los reales descienda al círculo impone la existencia de puntos donde la derivada se anula.
Las desigualdades de Morse: relacionan los índices de los puntos críticos de una función suave con la cohomología de la variedad, revelando la estructura topológica a partir del análisis de funciones diferenciables.
El teorema de Poincaré–Hopf: conecta los ceros de un campo vectorial con la característica de Euler de la variedad.
El teorema de Gauss–Bonnet: establece que la integral de la curvatura sobre una superficie cerrada determina la característica de Euler.
El teorema del punto fijo de Lefschetz: asegura que la acción inducida en la cohomología de de Rham por una función suave determina (mediante su número de Lefschetz) la existencia y cantidad de puntos fijos.
El objetivo de este curso es introducir los aspectos topológicos del estudio de las variedades diferenciables, mostrando cómo las herramientas del cálculo permiten descubrir invariantes y propiedades globales.
Nos reunimos los miércoles y viernes de 8:00 a 10:00 am en el Salón 11-125.
Todos están invitados.
La evaluación del curso será con 3 examenes de pesos iguales.