Uno de los primeros teoremas de geometría del colegio afirma que la suma de los ángulos de un triángulo es π . Euler y Schläfli se dieron cuenta de que este teorema admite una generalización en tres dimensiones: la suma de las curvaturas en los vértices de un politopo es siempre 4 π. Puede verificar el teorema aquí.
En el límite continuo, la fórmula de Gauss-Bonnet afirma que la integral de la curvatura gaussiana sobre una superficie es la característica de Euler.
La teoría de clases características y la teoría de Chern-Weil son las respuestas a las preguntas: ¿Qué pasa en dimensiones mayores a dos? ¿Cuales invariantes topológicos se pueden escribir como la integral de cantidades geométricas? Estas preguntas han motivado una parte muy importante de la geometría y topología del siglo XX, como los teoremas de la signatura, Hirzebruch-Riemann-Roch, la K teoría, los anillos de cobordismo y el teorema de Atiyah-Singer.
Este curso es una introducción a la teoría de Chern-Weil y a una de sus principales aplicaciones, el Teorema de Chern-Gauss-Bonnet, que es la formula integral para la característica de Euler en dimensiones arbitrarias.
Nos reunimos los miércoles y viernes a las 12:00 pm en el 43-310. Todos están invitados.
Hay muchos buenos textos sobre clases características y teoría de Chern-Weil. Para este curso, recomendamos los siguientes:
El libro clásico de Milnor y Stasheff, pdf
Para la introducción general al lenguaje de la geometría diferencial, la parte de geometría de nuestro libro de relatividad
Notas del curso de topología diferencial pdf
Notas del curso de teoría de Lie pdf
El artículo original de Chern
Las notas de Nicolaescu
las notas de Bauer
El libro de Tu
El libro de Dupont
El libro de Madsen y Tornehave book
Las notas de Li
Clase 1: Introducción general al teorema de Chern-Gauss-Bonnet
Clase 2: Grupos de Lie
Clase 3: Álgebras de Lie
Clase 4: El álgebra de Lie de un grupo
Clase 6: Vector bundles, ejemplos, el fibrado tangente, la cinta de Moebius
Clase 7: El teorema de la bola peluda: los fibrados tangentes de las esferas de dimensión par son no triviales
Clase 8: Campos vectoriales y formas diferenciales
Clase 9: Cohomología de de-Rham
Clase 10: Principio de Mayer-Vietoris
Clase 11: Cohomología con soporte compacto. El bracket de Lie de campos vectoriales
Clase 12: Flujos, Derivadas de Lie y las relaciones de Cartan
Clase 13: Acciones de grupos y fibrados principales
Clase 14: Formas básicas en un fibrado principal
Clase 15: Conexiónes en fibrados principales
Clase 16: Examen
Clase 17: La curvatura de una conexión
Clase 18: El álgebra de Weil y el homomorfismo de Chern-Weil
Clase 19: Clases características: Chern, Pontriagyn y Euler
Clase 20: Dualidad de Poincaré y la clase topológica de Euler
Clase 21: El teorema de Hopf y el teorema de Gauss Bonnet topológico
La evaluación del curso sera así:
Tarea 1 (15 %)
Parcial 1 (35%)
Tarea 2 (15%)
Parcial 2 (35%)