Programma

Programma a.a. 2018/2019 (titolare A. Gabrielli)

(in corsivo il programma ipotetico delle lezioni ancora da svolgere)

  1. 24/9/2018 Introduzione al corso - Movimento Browniano: trattazione di Einstein (soluzione dell'equazione di diffusione) e equazione di Langevin. Trattazione naif delle equazioni stocastiche. [AB1]
  2. 26/9/2018 Paradosso di Bertrand - Assiomi della probabilità e loro interpretazione - Probabilità congiunta - Indipendenza - Probabilità condizionata e formula di Bayes - Esempio: test medico. [AB2]
  3. 1/10/2018 Variabili casuali - Valori aspettati - Distribuzioni di probabilità. Momenti, correlazioni e covarianza - Disuguaglianza di Chebishev - Funzione caratteristica e sue prime proprietà. - Valori medi e legge dei grandi numeri [AB3]
  4. 3/10/2018 Somma di variabili casuali indipendenti e convoluzione di distribuzioni di probabilita': caso gaussiano - (vedi anche le note introduttive sulla teoria della probabilità di M. Falcioni e A.Vulpiani) - Teorema del limite centrale - Caso di variabili iid con varianza finita - Controesempio: distribuzione di Cauchy - Generalizzazione del Teorema del limite centrale a variabili indipendenti con varianza finita. - Cenni sulle distribuzioni di Levy [AB4]
  5. 8/10/2018 Condizione di Lindeberg per la validita' del teroema del limite centrale - Processo Poissoniano (nascita puro) e distribuzione di Poisson. - Funzione generatrice per variabili casuali discrete - Stabilità della distribuzione di Poisson rispetto alla somma. Limiti di sequenze di variabili casuali: principali tipi di convergenze e loro relazione [AB5]
  6. 10/10/2018 Esempi e controesempi di limiti di sequenze di variabili casuali. Introduzione ai processi di Markov ed equazione di Chapman-Kolmogorov. Catene di Markov. [AB6]
  7. 15/10/2018 Esempi: catena a due stati, RW su n-ciclo. RW su spazio infinito: soluzione con funzione generatrice e soluzione geometrica. Problema del giocatore (RW con barriera assorbente). [AB7]
  8. 17/10/2018 Persistenza del RW. Definizione di stato transiente, stato persistente. Definizione di siti accessibili, catena irriducibile e catena ergodica. Teorema ergodico. [AB8]
  9. 22/10/2018 Conseguenze dell'ergodicità, lemma di Kac. Processi reversibili e bilancio dettagliato. Metodo Monte Carlo. Limite di tempo continuo per le catene di Markov e Master equation. [AB9]
  10. 24/10/2018 Esempio: processo di nascita e morte. Definzione di processi markoviani continui. Esempio (Gaussiana) e controesempio (Cauchy). Derivazione della Equazione integro-differenziale di Chapman-Kolmogorov. [AB10]
  11. 29/10/2018 [Lezione annullata per chiusura università]
  12. 31/10/2018 Interpretazione della equazione differenziale di Chapman-Kolmpogorov. Discussione dei vari casi limite: master equation, equazione di Liouville, equazione della diffusione, equazione di Fokker-Planck. Backward equation. [AB11]
  13. 5/11/2018 Processi stocastici stazionari. Processi Markoviani stazionari. Legame tra leggi dei grandi numeri deboli e forti e teoremi di ergodicità. Formulazione del teorema di Birkhoff ed ergodicità completa di un processo stocastico. Formulazione e dimostrazione teoremi di ergodicità per processi stocastici per il valore medio a singolo tempo e per la funzione di correlazione a due tempi con convergenza in valore quadratico medio. [AG1]
  14. 7/11/2018 Teorema ergodico per la distribuzione di probabilità a singolo tempo di un processo stocastico e definizione di processo stocastico Markoviano stazionario completamente ergodico. Definizione di processi Markoviani omogenei e loro legame con i processi stazionari. Limite stazionario di un processo Markoviano omogeneo ed ergodico e produzione di entropia.
  15. 12/11/2018 Funzione di correlazione a due tempi per processi stazionari, spettro di potenza e teorema di Khinchin. Legame tra funzione di correlazione a due tempi e valore medio di un processo condizionato ad un tempo precedente nel caso generale e nel caso Markoviano. Teorema di regressione per sistemi markoviani con comportamento lineare. Processo di Ornstein-Uhlenbeck 1d omogeneo in formulazione Fokker-Planck: Soluzione dell'eq.ne di FP per il propagatore e transizione al sistema stazionario.
  16. 14/11/2018 Metodo delle caratteristiche per l'eq. di FP per il modello di Ornstein-Uhlenbeck (OU) 1d omogeneo. Funzione di correlazione temporale e suo limite stazionario. Gaussianità del modello OU e teorema di Doob. Formulazione naive delle equazioni differenziali stocastiche (EDS) per processi markoviani a traiettorie continue. Studio del termine di rumore, sua funzione di correlazione e implicazioni della continuità del suo integrale. Riformulazione in termini del processo di Wiener.
  17. 19/11/2018 Integrale differenziale stocastico rispetto al processo di Wiener e rapporto con integrale di Riemann-Stieltjes. Ambiguità dell'integrale e convenzioni di Ito e Stratonovich. Integrale del processo di Wiener rispetto a se stesso à la Ito. Funzioni non anticipanti. Condizioni di esistenza per l'integrale alla Ito. Integrazione di polinomi del processo di Wiener.
  18. 21/11/2018 Potenze del differenziale del processo di Wiener. Regole di differenziazione alla Ito. Formula di correlazione di integrali stocastici à la Ito. Reinterpretazione delle EDS. Teorema di esistenza ed unicità delle soluzioni. Formula di Ito in 1 e d dimensioni.
  19. 26/11/2018 Connessione tra EDS à la Ito ed equazione di Fokker Planck in 1 e d dimensioni. Relazione tra EDS à la Ito e à la Stratonovich in 1 e d dimensioni. Dipendenza continua della traiettoria soluzione di una EDS dalle condizioni iniziali. Esempi: EDS a coefficienti indipendenti dal processo, equazione del processo moltiplicativo à la Ito.
  20. 28/11/2018 Equazione di Langevin per il processo di Ornstein-Uhlenbeck 1d a coefficienti indipendenti dal tempo. Struttura matematica dell'equazione di Fokker-Planck (FP) come equazione di continuità in d dimensioni. Problema delle condizioni al contorno dell'eq.ne di FP d-dimensionale forward. Condizioni al contorno riflettenti ed assorbenti. Condizioni di raccordo in caso di discontinuità dei coefficienti dell'eq.ne di FP. Condizioni al contorno periodiche.
  21. 3/12/2018 Soluzione stazionaria dell'equazione di Fokker-Planck, esempi di soluzioni stazionarie e condizioni al contorno per la Fokker Planck backward
  22. 5/12/2018 Problema del primo passaggio: Richiamo dell'equazione di FP e sue condizioni al bordo; definizione dei tempi di primo passaggio; uscita da un intervallo (a,b), con a e b entrambi assorbenti; equazione di evoluzione per la probabilita' di permanenza nell'intervallo G(x,t); Tempo medio di uscita T(x) e sua equazione. Tempo medio di uscita da un intervallo con un estremo assorbente e uno rilfettente. Problema della doppia buca: tempo medio di uscita dallo "stato metastabile" e legge di Arrhenius [AB12]
  23. 10/12/2018 Probabilita' e tempo medio di uscita da un estremo dell'intervallo: splitting probabilities; tempo medio di uscita condizionale. Cenni sulla classificazione dei bordi nell'equazione di FP in una dimensione: bordi regolari e naturali; punti naturalmente attrattivi, repulsivi, adesivi. (Riferimenti per queste ultime due lezioni: splitting probabilities e classificazione dei boundaries: van Kampen p.312, Karlin & Taylor p.226) [AB13]
  24. 12/12/2018 Tecnica degli autovalori e delle autofunzioni per l'equazione di Fokker-Planck 1d omogenea: operatore associato hermitianizzato e legame con la meccanica quantistica 1d
  25. 17/12/2018 Tecnica degli autovalori e delle autofunzioni per l'equazione di Fokker-Planck 1d omogenea (seconda parte): limite asintotico e legame l'equazione di Schrodinger 1d.
  26. 19/12/2018 Statistica Gaussiana multivariata, processi stocastici Gaussiani e trasformazione di Hubbard Stratonovich
  27. 7/1/2019 Processi stocastici Gaussiani (seconda parte): algoritmo di generazione di un processo stocastico stazionario con funzione di correlazione a due tempi arbitraria, limite di tempo continuo e tempo infinito e legame con la teoria dei campi.







Programma svolto negli anni precedenti

Programma a.a. 2017/2018 (titolare A. Baldassarri)


  • 25/9/2017 Introduzione al corso - Movimento Browniano: trattazione di Einstein (soluzione dell'equazione di diffusione) e equazione di Langevin. Trattazione naif delle equazioni stocastiche.
  • 29/9/2017 Paradosso di Bertrand - Assiomi della probabilità e loro interpretazione - Probabilità congiunta - Indipendenza - Probabilità condizionata e formula di Bayes - Variabili casuali - Valori aspettati - Distribuzioni di probabilità. Momenti, correlazioni e covarianza
  • 2/10/2017 Disuguaglianza di Chebishev - Valori medi e legge dei grandi numeri - Somma di variabili casuali indipendenti e convoluzione di distribuzioni di probabilita': caso gaussiano - (vedi anche le note introduttive sulla teoria della probabilità di M. Falcioni e A.Vulpiani) - Funzione caratteristica e sue prime proprietà.
  • 6/10/2017 Teorema del limite centrale - Caso di variabili iid - variabili id e condizione di Lindeberg. Controesempio: distribuzione di Cauchy - Generalizzazione del Teorema del limite centrale a variabili con varianza infinita. - Cenni sulle distribuzioni di Levy - Altre proprietà della funzione caratteristica.
  • 9/10/2017 Processo Poissoniano (nascita puro) e distribuzione di Poisson. - Funzione generatrice per variabili casuali discrete - Stabilità della distribuzione di Poisson rispetto alla somma. Limiti di sequenze di variabili casuali: principali tipi di convergenze e loro relazione
  • 13/10/2017 Introduzione ai processi di Markov ed equazione di Chapman-Kolmogorov.
    • Catene di Markov. Esempi: catena a due stati, RW su n-ciclo.
  • 20/10/2017 RW, soluzione con funzione generatrice. Problema del giocatore (RW con barriera assorbente). Persistenza del RW.
  • 23/10/2017 Definizione di stato transiente, stato persistente. Definizione di siti accessibili, catena irriducibile e catena ergodica. Teorema ergodico. Processi reversibili e bilancio dettagliato. Metodo Monte Carlo. Limite di tempo continuo per le catene di Markov e Master equation. Esempio: processo di nascita e morte.
  • 27/10/2017 Equazione integro-differenziale di Chapman-Kolmogorov e sua interpretazione. Discussione dei vari casi limite: master equation, equazione di Liouville, equazione della diffusione, equazione di Fokker-Planck.
  • 30/10/2017 Backward equation. Processi di Markov stazionari. Proprietà ergodiche. Processi Markoviani omogenei. Problema dell'ergodicità. Condizioni sufficienti su dCK per ergodicità processo markoviano omogeneo - Processo di Ornstein-Uhlenbeck.
  • 3/11/2017 Processo di Wiener "w" e sue proprieta', problema generale dell'integrazione stocastica, integrale stocastico alla Ito, funzioni non-anticipanti, proprieta' dell'integrale di Ito (ordine del differenziale dw, regola di differenziazione di Ito per funzioni di w)
  • 6/11/2017 Proprieta' dell'integrale di Ito (media, correlazione temporale), calcolo di int(w dw); equazione differenziale stocastica, formula di ito generale, derivazione dell'eq. di Fokker-Planck dall'eq. diff. stoc
  • 10/11/2017 Integrale di Stratonovich e sue proprieta', differenze (e relazioni) di integrazione tra ito e Stratonovich, regola di differenziazione di Stratonovic, Eq. di FP multivariata
  • 13/11/2017 Valor medio del meansquare limit, rotazione del proc di Wiener mutivariato, FP dalla stratonovich, esempio di sde moltiplicativa, esempio di sde con entrambi i coefficienti non dipendenti da x, sde di Ornstein-Uhlenbeck e calcolo dei correlatori, discussione dei sistemi fisici che sono descrivibili con O-U
  • 17/11/2017 Discussione dei significati fisici dei coeff di diffusione in Ornstein-Uhlenbeck, Discussione dell'eq. per l'energia cinetica media, Eq. FP come equazione di continuita', condizioni al bordo classiche (riflett, assorb, periodiche); stati stazionari in 1d omogenei: soluzione potenziale e soluzione a corrente finita
  • 20/11/2017 Esempi di soluz di FP omogenea in 1d: pot. gravitazionale con cond. riflettenti o periodiche, potenziale armonico (ornstein-uhlenbeck). Metodi operatoriali per FP omogenea in 1d: operatore Hermitiano associato, positivita' degli autovalori, base ortonormale e completezza
  • 24/11/2017 Base dell'op di FP, espansione del propagatore e sua dipendenza dal tempo, simmetria della prob. congiunta nel caso staz. a corrente nulla, espansione dell'autocorrelazione, traduzione del problema di FP in problema di Sturm-Liouville e Schroedinger; esempi: Wiener con barriere riflettenti, Wiener con barriere assorbenti, Ornstein-Uhlenbeck, risommazione dell'espansione (dai pol. di Hermite al propagatore Gaussiano)
  • 27/11/2017 Problema dei processi continui multivariati, presenza di correnti, caso (generale) di O-U multivariato, esempio O-U con due variabili e rumore anisotropo (correnti dipendono dalla "termodinamica"), primi rudimenti di separazione dell'operatore di FP in parte simmetrizzabile e parte antisimmetrizzabile
  • 1/12/2017 Bilancio dettagliato (BD), condizione equivalente per i processi continui (drift reversibile e irreversibile, corrente reversibile e irreversibile), eq. di Klein-Kramers, prima parte della dimostrazione della condizione equivalente di BD per processi continui
  • 4/12/2017 *** salta ***
  • 11/12/2017 Conclusione della dimostrazione della condizione equivalente di BD per processi continui, Cenni alla teoria della risposta lineare e teorema di fluttuazione dissipazione
  • 15/12/2017 Probabilita' di un cammino (traiettoria di un processo markoviano continuo) e sua scrittura alla "onsager-machlup", discussione del limite di rumore piccolo, funzionale "produzione di entropia", e sue proprieta' (asimmetria detta "relazione di fluttuazione" e positivita' della media), esempio di equazione sovrasmorzata con forza esterna con condizioni periodiche
  • 18/12/2017 PARTE PRIMA Digressione sulla definizione di lavoro, sistema di Klein-Kramers con termini non-conservativi (potenziale variabile nel tempo e forze non-conservative generiche), energetica stocastica (def. di lavoro e calore, primo principio), legame tra calore e parte condizionale del funzionale di produzione di entropia, bilancio dettagliato locale, entropia stocastica e sue proprieta', secondo principio e sue violazioni, relazione di Jarzynski (tutta questa parte si trova ad esempio in U. Seifert - Rep. Progr. Phys. 75, 126001 (2012)
  • 18/12/2017 PARTE SECONDA Problema del primo passaggio: Richiamo dell'equazione di FP e sue condizioni al bordo; definizione dei tempi di primo passaggio; uscita da un intervallo (a,b), con a e b entrambi assorbenti; equazione di evoluzione per la probabilita' di permanenza nell'intervallo G(x,t); Tempo medio di uscita T(x) e sua equazione. Tempo medio di uscita da un intervallo con un estremo assorbente e uno rilfettente. Problema della doppia buca: tempo medio di uscita dallo "stato metastabile" e legge di Arrhenius.
  • 22/12/2017 Probabilita' e tempo medio di uscita da un estremo dell'intervallo: splitting probabilities; tempo medio di uscita condizionale. Cenni sulla classificazione dei bordi nell'equazione di FP in una dimensione: bordi regolari e naturali; punti naturalmente attrattivi, repulsivi, adesivi. Approccio "renewal time" al problema del primo passaggio. (Riferimenti per queste ultime due lezioni: splitting probabilities e classificazione dei boundaries: van Kampen p.312, Karlin & Taylor p.226; renewal theory: van Kampen p.310, Redner p.5)
  • 8/1/2018 Moto Browniano granulare: recenti sviluppi, teorici e sperimentali
  • 12/1/2018 Incontro con Andrea Gabrielli che illustra temi recenti di ricerca e discussione alla luce degli argomenti trattati nel corso
  • 15/1/2018 Attrito granulare e sua modellizzazione stocastica
  • 19/1/2018 Incontro con Alessandro Sarracino che illustra temi recenti di ricerca e discussione alla luce degli argomenti trattati nel corso



Programma a.a. 2016/2017 (titolare A. Puglisi)

  • 04/10/2016 Introduzione al corso - Movimento Browniano: trattazione di Einstein (soluzione dell'equazione di diffusione) e equazione di Langevin. Trattazione naif delle equazioni stocastiche.
  • 06/10/2016 Introduzione al concetto di eventi casuali e probabilità. - Definizione di spazi misurabili e sigma-algebre di insiemi. - Assiomi della probabilità e loro illustrazione. - Probabilità congiunta e condizionata. - Diverse definizioni del concetto di probabilità: classica, frequentista, soggettiva. - Variabili random numeriche. - Distribuzione e densità di probabilità.
  • 11/10/2016 Valori medi. - Media e varianza di una variabile random scalare. - Momenti generalizzati, correlazione e covarianza di variabili random vettoriali. - Significato dei concetti di dipendenza e correlazione statistica. - Funzione caratteristica e funzione generatrice dei momenti. - Distribuzioni binomiale, di Poisson e Gaussiana.
  • 13/10/2016 Distribuzione Gaussiana multivariata. - Trasformazione di Hubbard-Stratonovich e funzione caratteristica di una Gaussiana. - Cumulanti come deviazione dalla Gaussianità.
  • 18/10/2016 Tipi di convergenza in probabilità: quasi certa, in media quadratica, in probabilità ed in distribuzione. Legge dei grandi numeri debole per variabili correlate e dimostrazione. Enunciato legge dei grandi numeri forte. Teorema del limite centrale (TLC) per variabili i.i.d. a varianza finita e dimostrazione.
  • 20/10/2016 Validità del TLC per variabili debolmente correlate. Teorema limite per variabili i.i.d. con distribuzione a potenza. Stabilità delle distribuzioni di probabilità sotto somma. Introduzione alle Catene di Markov (CdM). Definizione di Markovianità. Definizione di distribuzione di probabilità degli stati ad un dato tempo e di probabilità di transizione tra stati. Classificazione degli stati di una CdM.
  • 25/10/2016 Proprietà generali di ricorrenza, transitorietà e periodicità degli stati di una CdM. Separabilità e irriducibilità di una catena di Markov. Catena di Markov stazionaria. Teoremi sull'esistemza della soluzione stazionaria e significato. Significato di autovalori ed autovettori della matrice di transizione.
  • 27/10/2016 Teorema ergodico per CdM finite. Introduzione ai processi stocastici in tempo continuo.
  • 03/11/2016 Definizione e teorema di Kolmogorov sui processi stocastici separabili. Processi stocastici stazionari
  • 08/11/2016 Equazione maestra per il processi Markoviani di salto in tempo continuo. Condizione forte di continuità delle traiettorie di un processo stocastico Markoviano in tempo continuo e spazio continuo.
  • 10/11/2016 Equazione integro-differenziale di Chapman - Kolmogorov e suo significato. Analisi dei singoli coefficienti dell'equazione. Equazione di Fokker Planck. Equazione backward integro-differenziale di Chapman - Kolmogorov e suo significato. Processi stocastici Markoviani stazionari ed omogenei. Condizioni di asintoticità della soluzione stazionaria.
  • 15/11/2016 Funzione di correlazione a due tempi e spettro di potenza per processi Markoviani. Processo di Wiener e processo di Ornstein-Uhlenbeck in formalismo Fokker-Planck e loro significato. Accenni al teorema di Doob sui i processi Markoviani e Gaussiani stazionari.
  • 17/11/2016 Processo di Wiener "w" e sue proprieta', problema generale dell'integrazione stocastica, integrale stocastico alla Ito, funzioni non-anticipanti [Gardiner 4.1 - 4.2.(1,2,4,5,6)]
  • 22/11/2016 Proprieta' dell'integrale di Ito (ordine del differenziale dw, regola di differenziazione di Ito per funzioni di w, media, correlazione temporale), calcolo di int(w dw); equazione differenziale stocastica, formula di ito generale [Gardiner 4.2.(3,7)-4.3.(1-6)]
  • 24/11/2016 Derivazione dell'eq. di Fokker-Planck dall'eq. diff. stoc., caso multivariato, integrale di Stratonovich e sue proprieta', differenze (e relazioni) di integrazione tra ito e Stratonovich, regola di differenziazione di Stratonovich [Gardiner 4.3.6 - 4.4]
  • 28/11/2016 Esempi di equaz. diff. stoc.: sde totalmente omogenea, sde moltiplicativa lineare, (ito e stratonovich), sde di Ornstein Uhlenbeck (e spiegazione dei problemi fisici attinenti: velocita' del moto Browniano, posizione del moto overdampato in buca armonica) [Gardiner 4.5.(1,2,4,7,9)]
  • 29/11/2016 Definizione di processo omogeneo, stazionario ed ergodico e condizione di ergodicita', Scrittura dell'eq. di Fokker-Planck come eq. di continuita' e significato della corrente di probabilita', condizioni al contorno tipiche, soluzione stazionaria in una dimensione (omogenea) con corrente nulla e non nulla [Gardiner 3.7 --- 5.1, 5.2, 5.3]
  • 1/12/2016 Esempi di sol. stazionarie di eq. di Fokker-Planck in 1d: Ornstein-Uhlenbeck, equaz della sedimentazione con cond. riflettente o periodica; non-hermitianita' dell'operatore di Fokker-Planck, operatore ausiliario hermitiano, autovalori positivi, completezza [Gardiner 5.3 - Risken 5.4 ]
  • 5/12/2016 Soluzione generale time-dependent in 1d come sovrapposizione di autofunzioni, prob. congiunta con corrente nulla, autocorrelazione con corrente nulla, equivalenza con Sturm-Liouville/Schroedinger, esempi di soluzione alle autofunzioni: wiener con barriere riflettenti o assorbenti [Risken 5.5.(1,3)]
  • 13/12/2016 Esempio di Ornstein-Uhlenbeck con metodo alle autofunzioni (equivalenza con oscillatore armonico quantistico); problema generale dei tempi di primo passaggio e formula per il tempo medio [Gardiner 5.4, 5.5.1, 5.5.2]
  • 15/12/2016 Tempo di prima uscita da una buca con barriera finita (legge di Arrhenius), ornstein-uhlenbeck multivariato (covarianza e correlazioni stazionarie), potenziale che non genera la forzanon nulla) [Gardiner 5.5.3 - 4.5.6]
  • 20/12/2016 Problema generale dei processi multivariati (corrente non nulla): parte simmetrizzabile e antisimmetrizzabile del drift, della corrente e dell'operatore; parte reversibile e irreversibile del drift, della corrente e dell'operatore; condizione di bilancio dettagliato per processi continui [Risken 6.(3,4,5)]
  • 22/12/2016 Condizione di bil. dett. per Ornstein-Uhlenbeck (relazioni di Onsager); esempio di sist. al bilancio dettagliato: Klein-Kramers; cenni di teoria della risposta lineare e applicazione ai processi Markoviani continui [Risken 7.1-7.2]
  • 10/1/2017 Teorema d Fluttuazione dissipazione generalizzato per processi continui. Esempi di applicazioni.






Programma a.a. 2015/2016 (titolare A. Gabrielli)

  • 01/10/2015 Introduzione al corso - Movimento Browniano: trattazione di EinProcesso Poissoniano e distribuzione di Poisson. - Funzione generatrice per variabili casuali discrete - Stabilità della distribuzione di Poisson rispetto alla somma stein (soluzione dell'equazione di diffusione) e equazione di Langevin. Trattazione naif delle equazioni stocastiche e primi paradossi.
  • 06/10/2015 Introduzione al concetto di eventi casuali e probabilità. - Definizione di spazi misurabili e sigma-algebre di insiemi. - Assiomi della probabilità e loro illustrazione. - Probabilità congiunta e condizionata. - Diverse definizioni del concetto di probabilità: classica, frequentista, soggettiva. - Variabili random numeriche. - Distribuzione e densità di probabilità.
  • 08/10/2015 Valori medi. - Media e varianza di una variabile random scalare. - Momenti generalizzati, correlazione e covarianza di variabili random vettoriali. - Significato dei concetti di dipendenza e correlazione statistica. - Funzione caratteristica e funzione generatrice dei momenti. - Cumulanti e funzione generatrice dei cumulanti.
  • 13/10/2015 Distribuzione Gaussiana unidimensionale e multivariata. - Trasformazione di Hubbard-Stratonovich e funzione caratteristica di una Gaussiana. - Cumulanti come deviazione dalla Gaussianità. - Bernoulli trials, random walk binario e distribuzione binomiale. - Teorema di De Moivre-Laplace e limite Gaussiano.
  • 15/10/2015 Processo di Poisson e distribuzione Poissoniana. - Limite Gaussiano del processo di Poisson. - Range di validità dell'approssimazione Gaussiana. - Random walk moltiplicativo. - Differenze tra posizione media e posizione più probabile per il random walk moltiplicativo.
  • 19/10/2015 Limite a grandi tempi del random walk moltiplicativo e distribuzione log-normale. - Legge dei grandi numeri per variabili correlate con varianza finita - Teorema del limite centrale per variabili indipendenti a varianza finita. - Cenni ad altre formulazioni della legge dei grandi numeri e del teorema del limite centrale.
  • 22/10/2015 Teorema del limite centrale per variabili correlate e varianza finita ed esempio di successione di variabili correlate a blocchi - Teorema del limite centrale per variabili a varianza infinita - Distribuzioni di Levy e distribuzioni stabili sotto somma di variabili - tipi di convergenza ad un limite per successioni di variabili aleatorie.
  • 26/10/2015 Introduzione al concetto di processo stocastico. Descrizione statistica completa di un processo stocastico. Processo stocastico separabile e teorema di Kolmogorov.
  • 29/10/2015
  • 29/10/2015
  • 02/11/2015
  • 05/11/2015
  • 12/11/2015
  • 16/11/2016
  • 17/11/2015
  • 19/11/2015 Inconsistenza della definizione di rumore bianco, Integrazione stocastica alla ito, Regola di differenziazione di Ito (semplice) [Gardiner 4.1 - 4.2.(1,2,4,5,6)]
  • 23/11/2015 Media e Autocorrelazione dell'integrale di Ito, Calcolo esplicito dell'integrale di WdW, Equazioni Differenziali Stocastiche (SDE), Formula di Ito, Equazione di Fokker-Planck [Gardiner 4.2.(3,7)-4.3.(1-6)]
  • 26/11/2015 Sde e Fokker-Planck per processi a più variabili, Integrazione di Stratonovich, Passaggio da Ito a Stratonovich, Differenziale di Stratonovich [Gardiner 4.3.6 - 4.4]
  • 30/11/2015 Esempi di SDE (in una dim.): equazione totalmente omogenea, eq. moltiplicativa lineare, eq. di Ornstein-Uhlenbeck con coeff. costanti e dipend. dal tempi [Gardiner 4.5.(1,2,4,7,9)]
  • 7/12/2015 Equazione di Fokker-Planck (FP) come eq. di continuità, condizioni al contorno (assorbenti, riflettenti, periodiche, speciali), soluzioni stazionarie in una dim.: soluzione potenziale [Gardiner 5.1, 5.2, 5.3]
  • 10/12/2015 Sol. stazionarie di FP in una dim: soluzione con corrente non nulla; esempio di Orntein-Uhlenbeck; es. di Klein-Kramers nel caso overdampato; mancanza di hermitianità dell'op di FP, sua ermitianizzazione [Gardiner 5.3 - Risken 5.4 ]
  • 14/12/2015 Metodo operatoriale per la soluzione dip. dal tempo di FP, equivalenza con Sturm-Liouville e Schroedinger, esempio del proc. di Wiener con bordi riflettenti [Risken 5.5.(1,3)]
  • 15/12/2015 Altri esempi di soluz. dip. dal tempo di FP: Esempio del proc. di Wiener con bordi assorbenti, esempio del proc. di Ornstein-Uhlenbeck; introduzione generale al problema dei tempi di primo passaggio [Gardiner 5.4, 5.5.1, 5.5.2]
  • 17/12/2015 Tempi di primo passaggio: esempio del superamento di una barriera (legge di Arrhenius); introduzione al problemi dei processi multivariati: esempio di Ornstein-Uhlenbeck in più dimensioni [Gardiner 5.5.3 - 4.5.6]
  • 21/12/2015 Problema delle correnti nei processi multivariati, impossibilità (nel caso generale) dell'hermitianizzazione di FP, condizione di bilancio dettagliato con corrente reversibile e irreversibile. [Risken 6.(3,4,5)]






Programma a.a. 2014/2015 (titolare A. Baldassarri)

  • 29/9/2014 Introduzione al corso - Movimento Browniano: trattazione di Einstein (soluzione dell'equazione di diffusione) e equazione di Langevin. Trattazione naif delle equazioni stocastiche e primi paradossi.
  • 2/10/2014 Paradosso di Bertrand - Assiomi della probabilità e loro interpretazione - Probabilità congiunta - Indipendenza - Probabilità condizionata e formula di Bayes - Variabili casuali - Valori aspettati
  • 6/10/2013 Distribuzioni di probabilità. Momenti, correlazioni e covarianza - Valori medi e legge dei grandi numeri - Disuguaglianza di Chebishev - Somma di variabili casuali indipendenti e convoluzione di distribuzioni di probabilita': caso gaussiano - (vedi anche le note introduttive sulla teoria della probabilità di M. Falcioni e A.Vulpiani)
  • 9/10/2014 Funzione caratteristica e sue proprietà. - Teorema del limite centrale - Caso di variabili iid - variabili id e condizione di Lindeberg
  • 13/10/2014 Controesempio: distribuzione di Cauchy - Generalizzazione del Teorema del limite centrale a variabili con varianza infinita. - Cenni sulle distribuzioni di Levy - Processo Poissoniano e distribuzione di Poisson. - Funzione generatrice per variabili casuali discrete - Stabilità della distribuzione di Poisson rispetto alla somma
  • 16/10/2014 Limiti di sequenze di variabili casuali: principali tipi di convergenze e loro relazione - Introduzione ai processi di Markov ed equazione di Chapman-Kolmogorov
  • 20/10/2014 Catene di Markov. Esempi: catena a due stati, RW su n-ciclo/ RW (libero): soluzione con funzione generatrice - Problema del giocatore (RW con barriera assorbente).
  • 23/10/2014 Tempi di ritorno del RW. Definizione di stato transiente, stato persistente, stato periodico.
  • 27/10/2014 Definizione di siti accessibili, catena irriducibile e catena ergodica. Teorema ergodico. Processi reversibili e bilancio dettagliato. Metodo Monte Carlo.
  • 30/10/2014 Equazione integro-differenziale di Chapman-Kolmogorov e sua interpretazione. Discussione dei vari casi limite: master equation, equazione di Liouville, equazione della diffusione, equazione di Fokker-Planck. Processo di Wiener: indipendenza degli incrementi; non differenziabilità.
  • 3/11/2014 Backward equation. Processi di Markov stazionari. Proprietà ergodiche. Processi Markoviani omogenei. Problema dell'ergodicità. Condizioni sufficienti su dCK per ergodicità processo markoviano omogeneo - Processo di Ornstein-Uhlenbeck
  • 6/11/2014 Lezione sospesa per maltempo. Verrà recuperata a fine corso.
  • 10/11/2014 Richiami sui processi stocastici stazionari e proprietà ergodiche: ergodicità del valor medio, della funzione di covarianza e dello spettro di potenza. Teorema di Wiener Khinchin per processi stocastici stazionari continui. Ergodicità della densità di probabilità ad un tempo e processi Markoviani stazionari ergodici. Processi Markoviani omogenei.
  • 13/11/2014 Approccio al processo stazionario di un processo Markoviano omogeneo e violazioni. Funzione di autocorrelazione di un processo Markoviano e legame con il propagatore e limite stazionario. Teorema della regressione per sistemi lineari (processo di Ornstein-Uhlenbeck).
  • 17/11/2014 Problema dell'esistenza di un equazione differenziale per l'evoluzione per le realizzazioni o traiettorie di un processo Markoviano continuo: Equazioni Differenziali Stocastiche. Rumore bianco e problemi di definizione e continuità. Rumore bianco come limite di un processo stazionario di Ornstein-Uhlenbeck. Euristica dell'Equazione Differenziale Stocastica con rumore come "derivata" di un processo di Wiener ed equazione integrale associata. Integrale stocastico rispetto ad un processo di Wiener e legame con l'integrale di Riemann-Stieltjes. Ambiguità della definizione: integrale à la Ito e à la Stratonovich. Funzioni non anticipatrici. Proprietà dell'integrale stocastico à la Ito: esistenza, continuità, regole di differenzianzione e valor medio.
  • 20/11/2014 Correlazione di integrali stocastici à la Ito e problema della delta di Dirac al bordo. Equazioni Differenziali Stocastiche (EDS) à la Ito ed equazione integrale associata. Equazione discretizzata e teorema di esistenza ed unicità per le soluzioni delle EDS à la Ito e violazioni. Markovianità delle soluzioni. Formula di Ito per i cambi di variabili nelle EDS. Corrispondenza tra EDS à la Ito ed equazioni di Fokker-Planck (FP) . Estensione multidimensionale
  • 24/11/12014 Relazione tra equazioni di Langevin à la Ito e à la Stratonovich. Dipendenza dalle condizioni iniziali. Esempi di eq.ni di Langevin: (i) coeff. indip. dal x, (ii) rumore moltiplicativo puro, (iii) modello di Ornestein-Uhlenbeck (OU) a coeff. costanti
  • 27/11/2014 Esempi di eq.ni di Langevin: (i) mod. di OU multidimensionale a coeff. costanti, (ii) mod. di OU con coeff. dipendenti dal tempo. Equanzione di FP come equazione di continuità, corrente di probabilità e condizioni al contorno per l'eq.ne forward: caso riflettente e caso assorbente
  • 1/12/2014 Condizioni al contorno ad un punto di discontinuità e periodiche. "Prescribed boundaries" e classificazione alla Feller dei punti singolari dell'eq.ne di FP. Condizioni al contorno naturali all'infinito.
  • 4/12/2014 Soluzione stazionaria dell'eq.ne di FP omogenea: soluzione potenziale e soluzione a corrente costante.Esempi: (i) Diffusione in campo gravitazionale, (ii) proc. di OU omogeneo, (iii) modello di reazione chimica. Condizioni al contorno per l'eq.ne di FP backward.
  • 8/12/2014 Metodo delle autofunzioni per l'eq.ne di FP omogenea in d=1. Metodo operatoriale e dipendenza dalle condizioni al contorno. Operatore aggiunto dell'operatore di FP e hermitiano associato. Spettro degli autovalori e degliautostati: non-negatività degli autovalori, completezza ed espansione in autofunzioni.
  • 15/12/2014 Comportamento a grandi tempi e rilassamento all'equilibrio nel caso potenziale. Espansione della probabilità congiunta e del propagatore. Forma esplicita dell'operatore hermitiano associato. Problema di Sturm-Liouville associato. Trasformazione dell'eq.ne di FP omogenea in quella di Schrodinger. Esempio: modello OU omogeneo.
  • 18/12/2014 Richiamo condizioni al bordo Eq. FP. Problemi di primo passaggio. Probabilità di uscita da un intervallo. Tempo medio di uscita. Esempio diffusione. Tempo medio di uscita da un segmento con un estremo riflettente. Problema della doppia buca. Legge di Arrhenius.
  • 22/12/2014 Teoria del bilancio dettagliato (BD) per problemi markoviani omogenei. Richiami sulle catene di Markov ergodiche. Differenza tra bilancio globale e dettagliato. Legame con il time-reversal e con l'equilibrio termodinamico. Comportamento di momenti e correlatori sotto time-reversal e condizione di BD. Condizioni di BD per l'eq.ne integro-differenziale di Champman-Kolmogorov e per quella di FP. Esempio: Moto browniano in potenziale locale.
  • 12/01/2015 Esempi: (i) Caso di moto deterministico: legame tra reversibilità microscopica e bilancio dettagliato sui parametri macroscopici, (ii) processo di OU omogeneo d-dimensionale: relazioni di Onsager e loro significato, (iii) Caso particolare di circuito RLC con rumore: relazioni di Onsager e teorema di Nyquist.






Programma a.a. 2013/2014 (titolare A. Puglisi)

  • 30/9/2013 Introduzione al corso - Movimento Browniano: trattazione di Einstein (soluzione dell'equazione di diffusione) e equazione di Langevin. Trattazione naif delle equazioni stocastiche e primi paradossi.
  • 3/10/2013 Paradosso di Bertrand - Assiomi della probabilità e loro interpretazione - Probabilità congiunta - Indipendenza - Probabilità condizionata e formula di Bayes - Variabili casuali - Valori aspettati
  • 7/10/2013 Distribuzioni di probabilità. Momenti, correlazioni e covarianza - Valori medi e legge dei grandi numeri - Disuguaglianza di Chebishev - Somma di variabili casuali indipendenti e convoluzione di distribuzioni di probabilita': caso gaussiano - Funzione caratteristica e sue proprietà. (vedi anche le note introduttive sulla teoria della probabilità di M. Falcioni e A.Vulpiani)
  • 10/10/2013 Teorema del limite centrale - Caso di variabili iid - variabili id e condizione di Lindeberg - Controesempio: distribuzione di Cauchy - Processo Poissoniano e distribuzione di Poisson. - Funzione generatrice per variabili casuali discrete - Stabilità della distribuzione di Poisson rispetto alla somma
  • 14/10/2013 Generalizzazione del Teorema del limite centrale a variabili con varianza infinita. - Cenni sulle distribuzioni di Levy. Limiti di sequenze di variabili casuali: principali tipi di convergenze e loro relazione - Introduzione ai processi di Markov ed equazione di Chapman-Kolmogorov
  • 17/10/2013 Catene di Markov. Esempi: catena a due stati, RW su n-ciclo/ RW (libero): soluzione con funzione generatrice
  • 21/10/2013 Problema del giocatore (RW con barriera assorbente). Tempi di ritorno del RW. Definizione di stato transiente, stato persistente, stato periodico. Definizione di siti accessibili, catena irriducibile e catena ergodica. Teorema ergodico.
  • 24/10/2013 Processi reversibili e bilancio dettagliato. Metodo Monte Carlo. Limite di tempo continuo per le catene di Markov e Master equation. Esempio: processo di nascita e morte.
  • 28/10/2013 Equazione integro-differenziale di Chapman-Kolmogorov e sua interpretazione. Discussione dei vari casi limite: master equation, equazione di Liouville, equazione della diffusione, equazione di Fokker-Planck.
  • 31/10/2013 Backward equation. Processi di Markov stazionari. Proprietà ergodiche. Processi Markoviani omogenei. Problema dell'ergodicità. Condizioni sufficienti su dCK per ergodicità processo markoviano omogeneo - Processo di Ornstein-Uhlenbeck.
  • 4/11/2013 Problemi nella scrittura di un'eq. diff. stocastica (non-differenziabilita' dell'integrale del noise bianco). Definizione dell'integrale alla Ito, sue proprieta' (esistenza, valor medio, correlazione). Formula di Ito per il differenziale.
  • 7/11/2013 Definizione di equazione differenziale stocastica (di Ito), condizioni per esistenza e unicita'. Formula di Ito per il differenziale di una funzione della soluzione di una s.d.e. Derivazione dell'eq. di Fokker-Planck dalla s.d.e. Caso multi-variato. Definizione dell'integrale di Stratonovich.
  • 11/11/2013 Relazione tra integrazione di Ito e di Stratonovich, tra i coefficienti delle s.d.e. corrispondenti e tra le eq. di Fokker-Planck corrispondenti. Differenziale di Stratonovich. Esempi di s.d.e.: totalmente omogenea, moltiplicativa lineare (differenza tra soluzione di Ito e soluzione di Stratonovich).
  • 14/11/2013 Processo di Ornstein-Uhlenbeck, in 1d e multivariato, matrice di covarianza e correlatori a 2 tempi (transienti e stazionari), spettro di potenza, "teorema" di regressione, esempi fisici (velocita' in assenza di potenziale, posizione e velocita' in presenza di potenziale nel limite sovra-smorzato). Discussione di <v^2> e <x^2> alla luce della differenza tra Ito e Stratonovich.
  • 18/11/2013 Sde non-omogenea lineare con coefficienti dipendenti dal tempo e caso di Ornstein-Uhlenbeck con coeff. dip. dal tempo. Equazione di Fokker-Planck, interpretazione come eq. di continuita', corrente di probabilita', condizioni al contorno tipiche. Soluzioni stazionarie in 1d senza corrente e con corrente (condiz. periodiche).
  • 21/11/2013 Esempi di soluz.staz. di FP in 1d. Costruzione (in 1d) dell'operatore Hermitiano associato all'operatore di FP, base di autofunzioni, soluzione generale dipendente dal tempo, autocorrelazione. Equivalenza con l'equazione di Schroedinger.
  • 25/11/2013 Esempi di soluzioni dipendenti dal tempo di FP in 1d, tramite equivalenza con Schroedinger: processo di Wiener e processo di Ornstein-Uhlenbeck. Problema di FP in d>1, assenza in generale di una soluzione a corrente nulla. Separazione dell'operatore in parte "simmetrica" e parte "antisimmetrica". Discussione della condizione di bilancio dettagliato nel caso di FP (condizione operatoriale).
  • 28/11/2013 Separazione della corrente di FP in parte reversibile e irreversibile, condizione di bil. dettagliato e conseguenze. Esempi: equazione di Klein-Kramers e processo di Ornstein-Uhlenbeck multidimensionale.
  • 2/12/2013 Commenti sui risultati di Ornstein-Uhlenbeck e relazioni di Onsager. Esempi di casi in cui la corrente reversibile e' assente. Esempio "fisico" di Ornstein-Uhlenbeck in 2d: circuito LRC accoppiato a bagno termico. Teoria della risposta lineare, definizione di funzione risposta.
  • 5/12/2013 Teoria della risposta lineare: correlatore imperturbato, teorema di fluttuazione-dissipazione generalizzato. Esempi all'equilibrio: caso sovrasmorzato e caso di Kramers-Klein 1d (relazione di Einstein). Esempio fuori equilibrio con due masse accoppiate a diversi bagni termici.
  • 9/12/2013 Richiamo condizioni al bordo Eq. FP. Problemi di primo passaggio. Probabilità di uscita da un intervallo. Tempo medio di primo passaggio. Probabilità di splitting. Equazioni aggiunte e loro soluzione.
  • 12/12/2013 Classificazione di Feller dei punti singolari della FP. Problema della doppia buca. Renewal approach (cenni).
  • 16/12/2013 Cenni su metodi perturbativi: limite di rumore piccolo (sia per s.d.e. che per Fokker-Planck, con discussione della differenza nei risultati) e limite di rumore bianco (con discussione dell'esempio della derivazione dell'eq. di Smoluchovski, ovvero Kramers-Klein sovrasmorzato)
  • 19/12/2013 Probabilità dei cammini per processi diffusivi, formula di Onsager-Machlup (e sua generalizzazione per processi non-lineari/non-gaussiani), reversibilità temporale e produzione di entropia, relazione di fluttuazione, esempio per un'equazione di Langevin 1d con forza non-conservativa.




Programma svolto a.a. 2012/2013 (titolare A. Gabrielli)

  • 3/10/2012 Introduzione al corso - Movimento Browniano: trattazione di Einstein (soluzione dell'equazione di diffusione) e equazione di Langevin
  • 4/10/2012 Processi di nascita e morte. Processo Poissoniano e distribuzione di Poisson. Trattazione naĩf del problema dello shot noise.
  • 10/10/2012 Paradosso di Bertrand - Assiomi della probabilità e loro interpretazione - Probabilità congiunta - Indipendenza - Probabilità condizionata e formula di Bayes
  • 11/10/2012 Variabili casuali - Valori aspettati - Distribuzioni di probabilità. Momenti, correlazioni e covarianza - Valori medi e legge dei grandi numeri - Disuguaglianza di Chebishev - Somma di variabili casuali indipendenti e convoluzione di distribuzioni di probabilita': caso gaussiano - Funzione caratteristica e sue proprietà. (vedi anche le note introduttive sulla teoria della probabilità di M. Falcioni e A.Vulpiani)
  • 17/10/2012 Teorema del limite centrale - Caso di variabili iid - variabili id e condizione di Lindeberg - Controesempio: distribuzione di Cauchy - Funzione generatrice per variabili casuali discrete - Stabilità della distribuzione di Poisson rispetto alla somma - Limiti di sequenze di variabili casuali: principali tipi di convergenze e loro relazione
  • 18/10/2012 Introduzione ai processi di Markov ed equazione di Chapman-Kolmogorov - Cenni sulle catene di Markov - Catena di Markov a 2 stati - Esempio RW su n-ciclo - Teorema ergodico - Continuità nei processi stocastici - Processi Markoviani continui: esempio del moto Browniano - controesempio Cauchy
  • 24/10/2012 Equazione di Chapman Kolmogorov differenziale - Interpretazione dell'equazione differenziale di CK - Casi particolari: Master equation, Equazione di diffusione, Equazione di Fokker-Planck, Equazione di Liouville - Backward equation
  • 25/10/2012 Processi di Markov stazionari - Proprietà ergodiche - Processi Markoviani omogenei - Problema dell'ergodicità - Condizioni sufficienti su dCK per ergodicità processo markoviano omogeneo
  • 31/10/2012 ...
  • 7/11/2012 Non-differenziabilita' del proc. di Wiener; integrazione stocastica alla Ito, definizione e proprieta'; differenziale stocastico
  • 8/11/2012 Equazioni differenziali stocastiche; cambio di variabile (formula di Ito); derivazione dell'eq. di Fokker-Planck dal differenziale di Ito; integrale di Stratonovich (definizione)
  • 14/11/2012 Proprieta' dell'int. di Stratonovich e confronto con Ito; esempi di equazioni differenziali stocastiche in 1d (totalmente omogenea, moltiplicativa lineare, ornstein-uhlenbeck)
  • 15/11/2012 Ornstein-Uhlenbeck in piu' dimensioni, eq. per la matrice di covarianza, teorema di regressione; eq. di Fokker-Planck come eq. di continuita' e condizioni al bordo semplici (riflettenti, assorbenti, periodiche); soluzione generica dell'eq. di Fokker-Planck in 1d con e senza corrente
  • 21/11/2012 Esempi di Eq. di Fokker-Planck in 1d: diffusione con gravita', processo di Ornstein-Uhlenbeck, cenno all'eq. di Klein-Kramers; metodo di soluzione per FP in 1d tramite ricerca delle autofunzioni dell'operatore hermitiano associato
  • 22/11/2012 Trasformazione dell'eq. di FP in 1d in equazione di Schroedinger; esempi di soluzione 1d tramite autofunzioni (proc. di Wiener con condizioni riflettenti e assorbenti, processo di Ornstein-Uhlenbeck); problema dell'eq. di FP in piu' dimensioni, separazione del drift in parte potenziale e parte con corrente
  • 28/11/2012 reversibilita' temporale, bilancio dettagliato, condizioni di b.d. per l'equazione di fokker-planck (sia per variabili posizioni che velocita'), esempio dell'eq. di Kramers
  • 29/11/2012 bilancio dettagliato nel processo di ornstein-uhlenbeck, relazioni di reciprocita' per la matrice di Onsager
  • 05/12/2012 Introduzione alla teoria del primo passaggio: caso del random walk simmetrico. Teoria del primo passaggio per l'eq. di Fokker-Planck unidimensionale con coefficienti regolari indipendenti dal tempo: Statistica del tempo di prima uscita da un'intervallo (intervallo tra due barriere assorbenti).
  • 06/12/2012 Teoria del primo passaggio per l'eq. di Fokker-Planck unidimensionale con coefficienti regolari indipendenti dal tempo: Statistica del tempo di prima uscita da un intervallo tra una barriera riflettente ed una assorbente. Applicazione al problema della doppia buca di potenziale e formula di Arrhenius. Probabilita' e tempo medio di uscita da un particolare estremo di un intervallo.
  • 12/12/2012 Classificazione e studio dei punti singolari di un'eq. di Fokker-Planck unidimensionale a coefficienti indipendenti dal tempo: teoria ed esempi di rumore moltiplicativo.
  • 13/12/2012 Introduzione alla teoria perturbativa per i processi stocastici markoviani continui. Considerazioni generali e sviluppo a piccolo rumore dell'equazione di Langevin.
  • 19/12/2012 Sviluppo a piccolo rumore dell'equazione di Langevin: limiti di applicabilita'.
  • Sviluppo a piccolo rumore dell'equazione di Fokker-Planck: formulazione generale.
  • 20/12/2012 Sviluppo a piccolo rumore dell'equazione di Fokker-Planck:equazioni perturbative. Approssimazione adiabatica: considerazioni generali sulle equazioni di Kramers e Smoluchowski e formulazioni in termini operatoriali nell'equazione di Fokker-Planck per il moto Browniano in un campo potenziale..

Programma svolto a.a. 2011/2012 (titolare A. Baldassarri)

  • 7/3/2012 Introduzione al corso - Movimento Browniano: trattazione di Einstein (soluzione dell'equazione di diffusione) e equazione di Langevin - Processo Poissoniano e distribuzione di Poisson.
  • 9/3/2012 Trattazione naĩf del problema dello shot noise - Paradosso di Bertrand - Assiomi della probabilità e loro interpretazione - Probabilità congiunta - Indipendenza - Probabilità condizionata e formula di Bayes - Variabili casuali - Valori aspettati - Distribuzioni di probabilità. (vedi anche le note introduttive sulla teoria della probabilità di M. Falcioni e A.Vulpiani)
  • 14/3/2012 Momenti, correlazioni e covarianza - Valori medi e legge dei grandi numeri - Disuguaglianza di Chebishev - Somma di variabili casuali indipendenti e convoluzione di distribuzioni di probabilita': caso gaussiano - Funzione caratteristica e sue proprietà - Cumulanti e loro funzione generatrice
  • 16/3/2012 Teorema del limite centrale - Caso di variabili iid - cariabili id e condizione di Lindeberg - Controesempio: distribuzione di Cauchy - Funzione generatrice per variabili casuali discrete - Stabilità della distribuzione di Poisson rispetto alla somma - Limiti di sequenze di variabili casuali: principali tipi di convergenze e loro relazione - Introduzione ai processi di Markov ed equazione di Chapman-Kolmogorov
  • 21/3/2012 Continuità nei processi stocastici - Processi Markoviani continui: esempio del moto Browniano - controesempio Cauchy - Equazione di Chapman Kolmogorov differenziale
  • 23/3/2012 Interpretazione dell'equazione differenziale di CK - Casi particolari: Master equation, Equazione di diffusione, Equazione di Fokker-Planck, Equazione di Liouville - Backward equation - Processi di Markov stazionari - Proprietà ergodiche
  • 28/3/2012 Processi Markoviani omogenei - Problema dell'ergodicità - Cenni sulle catene di Markov - Catena di Markov a 2 stati - Esempio RW su n-ciclo - Teorema ergodico - Condizioni sufficienti su dCK per ergodicità processo markoviano omogeneo
  • 30/3/2012 Problemi di differenziabilita' di un proc. stoc. - Funzioni anticipanti rispetto al processo di Wiener - Definizione di integrale stocastico di Ito - Sue proprieta' e regole di integrazione/differenziazione ("dW^2 = dt", autocorrelazione, termini spuri)
  • 4/4/2012 Corretta definizione di equaz. differenziale stocastica (sde) e suo significato - Formula di Ito - Derivaz. della Fokker-Planck dalla sde - Integrale e differenziale alla Stratonovich e relazioni con l'integrale/differenziale di Ito
  • 11/4/2012 Esempi di sde: coefficienti non dip. da x; Ornstein-Uhlenbeck in 1d e d>1 (spettro e teorema di regressione); esempi di sde moltiplicative
  • 13/4/2012 Eq. di Fokker-Planck come eq. di conservazione locale (corrente di probabilita'); condizioni al bordo riflettenti, assorbenti e periodiche; condiz. al bordo della backward FP; soluzioni stazionarie in 1d: caso generale con barriere riflettenti e condiz. periodiche; esempi: diffusione con gravita', Ornstein-Uhlenbeck, Klein-Kramers, Smoluchovski.
  • 18/4/2012 FP in 1d: non-hermitianita' dell'op. di FP, hermitianita' dell'op. "modificato", costruzione base completa (con autov. non-negativi) e soluzione generale time-dependent; espressione del bil. dettagliato; espansione dell' autocorrelazione in serie di esponenziali; esempio del processo di Wiener con bordi riflettenti.
  • 20/4/2012 altri esempi di soluzione alle autofunzioni: proc. Wiener con bordi assorbenti, Ornstein-Uhlenbeck; FP in piu' dimensioni, soluzione potenziale, bilancio dettagliato.
  • 27/4/2012 condizione di bilancio dettagliato come annullamento della corrente irreversibile; esempi (eq. Kramers ed eq. di Ornstein-Uhlenbeck, con conseguenze sulla matrice dei coefficienti di Onsager)
  • 2/5/2012 Introduzione ai problemi di primo passaggio nei procesi stocastici Markoviani continui: esempio del continuous time random walk spazialmente discreto; tempo di uscita da un intervallo con due barriere assorbenti nello schema di Fokker-Planck; tempo di uscita da un interrvallo con una barriera assorbente ed una riflettente.
  • 4/5/2012 Passaggio di una barriera di potenziale, problema della doppia buca e legge di Arrhenius nello schema di Fokker-Planck; probabilita' di "splitting" o probabilita' e tempi medi condizionali di uscita dall'estremo di un intervallo.
  • 9/5/2012 Classificazione dei punti e dei contorni singolari nell'eq.ne di Fokker-Planck in 1-dim: punti naturali repulsivi, naturali attrattivi, punti di entrata, punti di uscita e punti regolari. Esempi di rumore moltiplicativo. (Dal libro "Stochastic Processes in Physics and Chemistry", N.G. Van Kampen, North Holland, Cap XII).
  • 11/5/2012 Considerazioni generali sull'esistenza di una soluzione stazionaria normalizzabile dell'eq.ne di Fokker-Planck al variare dei punti di contorno (dal Van Kampen, cap. XII). Introduzione ai metodi di approssimazione per le eq.ni di Langevin e di Fokker Planck. Sviluppo a piccolo rumore nell'eq.ne di Langevin. Soluzione stazionaria, valor medio, varianza e funzione di correlazione temporale della traiettoria nello schema di piccolo rumore.
  • 16/5/2012 Limitazioni dello sviluppo a piccolo rumore dell'eq.ne di Langevin: processi non-lineari cubici, a potenza (dispari) e bistabili. Sviluppo a piccolo rumore dell'equazioni di Fokker-Planck. Cenni di approssimazioni adiabatiche nei processi stocastici markoviani.
  • 19/5/2012 Approssimazione adiabatica alle equazioni di Kramers ed equazione di Smoluchowski come approssimazione all'ordine più basso: approccio operatoriale al regime di grandi tempi.
  • 23/5/2012 Approssimazione adiabatica alle equazioni di Kramers: correzioni a tempo finito. Random walk in tempo continuo e processo omogeneo di Poisson come processi discreti di salto e problema limite di spazio continuo.