Ayuda en línea: versión 2

Para utilizar las funciones puede consultarse una ayuda en línea con el comando help seguido del nombre la función. Por ejemplo, para consultar la ayuda en línea de la función autovalor hay que escribir en Octave o Matlab el comando

help autovalor

Detallamos a continuación las ayudas en línea para cada función en la versión mejorada en pruebas.

autovalor

[K, X, Y] = autovalor(F)

Resuelve el problema de autovalores en el caso cuadrado

X F(k) = 0

F(k) Y = 0

Según se escriba F, el problema puede ser:

* polinómico, F(k) = f0 + f1 /k + f2/k^2 + f3/k^3 + ..., por ejemplo

F(:,:,1) = [-280,0;-120,0]

F(:,:,2) = [0,-12;0,15]

F(:,:,3) = [575,0;0,-8]

F(:,:,3) = [0,0;0,5]

* no polinómico, F(k) = int F(r)/k^r dr, por ejemplo

F = '[-280+575/k^2.42299,-12/k^0.5;-120,15/k-8/k^2+5/k^3]'

Si se dispone de una versión moderna de Matlab u Octave y del Symbolic

Math Toolbox, además pueden buscarse soluciones con precisión variable

o exacta:

[K, X, Y] = autovalor(F, precision, algoritmo)

F problema de autovalores

precision 1 double, 2 variable (vpa), 3 exacta (sym)

algoritmo algoritmo a aplicar, [] para selección automática

K autovalores

X autovectores por la izquierda (en filas)

Y autovectores por la derecha (en columnas)

Señalamos los algoritmos disponibles indicando si pueden tratar el caso

no-polinómico, la precisión con la que pueden trabajar, y la versión

inferior de Matlab u Octave con la que se han testado.

no-polinómico precisión Matlab Octave

1. eig No double 8.4 4.2

2. fsolve-null Sí double 5.0 3.2

3. solve-null Sí variable o exacta 9.6 5.1

4. vpasolve-null Sí variable 9.6 5.1

5. eig-null No double 5.0 3.2

6. autovalor-vpasolve-null Sí variable 9.6 5.1

7. roots-null No double, variable o exacta 5.0 9.6 3.2 5.1

8. solve Sí variable o exacta 9.6 5.1

La selección automática escoge el algoritmo según el tipo de problema,

la precisión que se solicita y el software disponible:

* polinómico, precisión double

En Matlab 8.4 y Octave 4.2 y superiores eig

En Matlab 5.0 y Octave 3.2.4 y superiores eig-null

* no-polinómico, precisión double

En Matlab 5.0 y Octave 3.2.4 y superiores fsolve-null

* no-polinómico, precisión variable

En Matlab 9.6 (Symbolic Math Toolbox 8.3) vpasolve-null

En Octave 5.1 (Symbolic Math Toolbox 2.7.1) autovalor-vpasolve-null

* no-polinómico, precisión exacta

En Matlab 9.6 (SMT 8.3) y Octave 5.1 (SMT 2.7.1) solve-null

En el caso polinómico double, la función nativa eig calcula los

autovalores y autovectores. Pero las versiones antiguas de Matlab y

Octave sólo devuelven el autovector por la derecha; para estas

versiones eig-null primero calcula los autovalores con eig y después

los autovectores con nullrational.

En el caso no-polinómico numérico, fsolve-null calcula los autovalores

resolviendo det(F(k))=0 con fsolve; para facilitar encontrar todos los

autovalores, se parte de las raíces de una aproximación polinómica a

det(F(k)). Los autovectores se calculan con nullrational.

Si se dispone del package simbólico, n el caso no-polinómico

vpasolve-null y solve-null calcula los autovalores resolviendo

det(F(k))=0, con precisón variable e infinita. Los autovectores se

calculan con nullrational.

autovalorq

[K, X, Y] = autovalorq(F)

Resuelve el problema de autovalores en el caso cuadrado con variables

internas

X F(k, Q) = 0

F(k, Q) Y = 0

1 + X dF/dk Y = 0

X dF/dq Y = 0

Si se dispone de una versión moderna de Matlab u Octave y del Symbolic

Math Toolbox, además pueden buscarse soluciones con precisión variable

o exacta.

[k, X, Y, Q] = autovalorq(F, LB, UB, precision)

F problema de autovalores con variables internas

LB intervalo inferior de las variables internas; por defecto Q >= 0

UB intervalo superior de las variables internas; por defecto Q <= 1

precision 1 double, 2 variable (vpa), 3 exacta (sym)

k, X, Y, Q autovalores, autovectores por la izquierda y derecha, variables internas

condicionesvn

solucion = condicionesvn(k, X, Y, F, signoX, signoXF)

Comprueba si se cumplen las condiciones de primer orden para VN

X ~ 0 <-> F(k) Y ~ 0 X .* F(k) Y = 0

X F(k) ~ 0 <-> -Y ~ 0 X F(k) .* Y = 0

k > 0 1 + X F'(k) Y = 0

[solucion, distancia, distabs] = condicionesvn(k,X,Y,F,signoX,signoXF,cero)

Devuelve la tabla con las distancias al cumplimiento de las condiciones

[X~0, dL/dX~0, X·dL/dX; -Y~0, dL/dY~0, dL/dY·Y; k>0, dL/dk, k·dL/dk]

k, X, Y factor, intensidades y valores solución

F recetas en tiempo discreto o continuo

signoX signo de las intensidades; por defecto X >= 0

signoXF signo de los balances materiales; por defecto X F(k) = 0

cero precisión del cero (1e-10 por defecto)

solucion es 1 si se cumplen las condiciones y 0 si no se cumplen

distancia tabla con las distancias a las condiciones

distabs suma de la magnitud absoluta de las distancias

cpbusqueda

[k, X, Y] = cpbusqueda(F, signoX, signoXF)

Busca un k para el que existe un crecimiento proporcional usando

cpdistancia.

[k, X, Y, u, pasos, kno, Xno, Yno, uno] = cpbusqueda(F, signoX, signoXF, k0)

F recetas en tiempo discreto o continuo

signoX signo de las intensidades; por defecto X >= 0

signoXF signo de los balances materiales; por defecto X F(k) = 0

k0 factor con el que se inicia la iteración; por defecto 1

k factor para el que existe un crecimiento proporcional

X intensidades para las que existe un crecimiento proporcional

Y multiplicadores de Lagrange del juego correspondiente

u valor del juego para k

pasos número de iteraciones

kno factor el que no existe un crecimiento proporcional

Xno intensidades para las que no existe un crecimiento proporcional

Yno multiplicadores de Lagrange del juego correspondiente

uno valor del juego para kno

cpdistancia

u = cpdistancia(Fact)

Determina la distancia a un crecimiento proporcional con la matriz

numérica de fujos actualizados para un factor, transformando el

problema a la forma canónica y resolviendo el juego con la matriz de

pagos correspondiente.

[u, X, Y] = cpdistancia(Fact, signoX, signoXF)

Fact matriz numérica con los flujos actualizados

signoX signo de las intensidades; por defecto X >= 0

signoXF signo de los balances materiales; por defecto X F(k) = 0

u si u >= 0 existe un crecimiento proporcional, si u < 0 no

X intensidades o variables

Y valores o multiplicadores de Lagrange

Si escribimos

[u, X, Y] = cpdistancia(forman(F,k), signoX, signoXF)

nos informará de si existe un crecimiento proporcional para unas recetas

con el factor k, cuando u >= 0. Si u <= 0 entonces existirá una valoración

proporcional. También si escribimos

[u, X, Y] = cpdistancia(P, 1, 1)

obtendremos el valor u y las estrategias X e Y del juego para la matriz

de pagos P.

ej

ej - Ejemplos de problemas

Almacena ejemplos que pueden encontrarse en la literatura.

[flujos, funcion, signoX, signoXF, signok, internas, LB, UB] = ej(ejemplo, par1, par2, ...)

flujos flujos del ejemplo

funcion 0 para autovalor, 1 para vn, 2 para te, 3 para vnq

signoX signos de las intensidades del ejemplo

signoXF signos de los balances materiales del ejemplo

signok signo del factor del ejemplo

internas nombre de las variables internas (en vnq)

LB intervalos inferiores de las variables internas (en vnq)

UB intervalos superiores de las variables internas (en vnq)

Escribiendo F = ej(10) definimos en F los flujos del problema

décimo, y con [k,X,Y] = vn(ej(10)) obtenemos la solución de VN.

En la forma canónica deben resolverse como [k,X,Y] = vn(ej(88),1,1)

En algunos casos, como el 17, se señala la posibilidad de usar

parámetros, como por ejemplo F = ej(17, 5)

Si se desea localizar los ejemplos por su nombre basta con escribir el

inicio del mismo entre comillas; por ejemplo, para localizar los

ejemplos de Leontief basta con escribir ej('Leo')

Ejemplos incluidos en ej (número, función que lo resuelve: referencia)

1, vn: Tesis, 2.5, Primer ejemplo de VN

2, te: Tesis, 3.5, Primer ejemplo de TE

3, te: Tesis, 4.1, Cantidades de trabajo necesario

4, te: Tesis, 4.2, Tipos de trabajo

5, vn: Tesis, 4.3, Productivo e improductivo

6, vn: Tesis, 4.4, Materias "escasas"

7, vn: Tesis, 4.4, Materias "escasas" sin el cuarto proceso

8, vn: Tesis, 4.4, Materias "escasas" sin los procesos tercero y cuarto

9, te: Tesis, 4.4, Materias "escasas" sin el cuarto proceso

10, vn: Tesis, 4.5, Valores negativos

11, vn: Tesis, 4.5, Valores con el proceso de eliminación gratuita

12, te: Tesis, 4.5, Valores negativos

13, te: Tesis, 4.5, Valores con el proceso de eliminación gratuita

14, vn: Tesis, 4.6, Multiples tasas de beneficio

15, vn: Tesis, 5.1, Espacio

16, te: Tesis, 5.1, Espacio

17, vn: Tesis, 5.1, Espacio (puntos entre localidades=par1, coste transporte=par2)

18, te: Tesis, 5.1, Espacio (puntos entre localidades=par1, coste transporte=par2)

19, vn: Tesis, 5.1, Espacio, tres localidades

20, vn: Tesis, 6.1, Depreciación con eficiencia constante (edades = par1)

21, te: Tesis, 6.1, Desvalorización con eficiencia constante (edades = par1)

22, te: Tesis, 6.1, Método de edades (edades = par1)

23, te: Tesis, 6.1, Método de la carga de desvalorización (edades = par1)

24, vn: Tesis, 6.1, Método de edades (edades = par1)

25, vn: Tesis, 6.1, Método de la carga de depreciación (edades = par1)

26, te: Tesis, 6.4, Materia de vida cíclica

27, vn: Tesis, 6.4, Materia de vida cíclica

28, vn: Tesis, 7.1, Problema de los conejos de Fibonacci

29, vn: Tesis, 7.1, Demografía

30, vn: Tesis, 7.1, Demografía con br/1.34659988411590

31, vn: Tesis, 7.1, Demografía con br/2

32, vn: Tesis, 7.1, Demografía como flujos en el tiempo

33, vn: Tesis, 7.3, Colmena

34, vn: Tesis, 8.1, Procesos duraderos con un paso temporal

35, vn: Tesis, 8.1, Procesos duraderos con los procesos que se inician

36, te: Tesis, 8.1, Procesos duraderos con un paso temporal

37, vn: Tesis, 8.2, Procesos duraderos con varios pasos temporales

38, vn: Tesis, 8.3, Tiempo continuo

39, vnq: Tesis, 9.3, Funciones de producción (variables internas)

40, vn: Tesis, 10.4, Población con ciclo anual

41, vn: Tesis, 10.4, Matriz cíclica, p = 1

42, vn: Tesis, 10.4, Matriz cíclica, p = 2

43, vn: Tesis, 10.4, Matriz cíclica, p = 3

44, vn: Tesis, 10.4, Matriz cíclica, p = 4

45, vn: Tesis, 10.4, Matriz cíclica (p = par1)

46, vn: Tesis, 12.2, Intercambios con el primer proceso

47, vn: Tesis, 12.2, Intercambios con el segundo proceso

48, vn: Tesis, 12.2, Intercambios con el tercer proceso

49, vn: Tesis, 12.2, Intercambios con precios [1;12], primer proceso

50, vn: Tesis, 12.2, Intercambios con precios [1;12], segundo proceso

51, vn: Tesis, 13.3, Flujos impuestos

52, te: Tesis, 13.3, Flujos impuestos

53, vn: Tesis, 13.3, Flujos impuestos con precios [1,15,2]

54, vn: Tesis, 13.3, Imposición prefijada en Depreciación con eficiencia constante (imposición = par1)

55, vn: Tesis, 13.4, Colmena con extracción de miel (miel retirada = par1)

56, vn: Tesis, 14.1, Solución múltiple

57, vn: Tesis, 15.1, Perturbación h = 0

58, vn: Tesis, 15.1, Perturbación h = 0.01

59, vn: Tesis, 15.1, Perturbación h = 0.1

60, vn: Tesis, 15.1, Perturbación h = 1

61, vn: Tesis, 15.1, Perturbación h = 10

62, vn: Tesis, 15.1, Perturbación h = 100

63, vn: Tesis, 15.1, Perturbación (h = par1)

64, vn: Tesis, 15.2, Solución múltiple

65, vn: Tesis, 15.2, Antigua solución múltiple con proceso añadido

66, vn: Tesis, 19.2, Economía robótica

67, vn: Tesis, 19.2, Economía robótica incluyendo los procesos con trabajo

68, te: Tesis, 19.2, Economía robótica

69, vn: Tesis, 21.5, Ecosistema (forma canónica; a2=par1, a3=par2, b1=par3, b2=par4, b3=par5)

70, vn: Tesis, 21.5, Ecosistema con edades (forma canónica)

71, vn: Tesis, 21.5, Ecosistema complejo con edades

72, te: Tesis, 23.6, Teoría de explotación Trigo

73, te: Tesis, 23.6, Teoría de explotación Hierro

74, te: Tesis, 23.6, Teoría de explotación Miel

75, te: Tesis, 23.6, Teoría de la cosecha extrayendo una edad (edad = par1)

76, te: Tesis, 23.6, Teoría de la cosecha extrayendo todas las edades

77, vn: Tesis, 24.1, Tableau de Quesnay

78, vn: Tesis, 24.2, Esquemas de reproducción de Marx (C+V -> B)

79, te: Tesis, 24.2, Esquemas de reproducción de Marx

80, vn: Tesis, 24.2, Esquemas de reproducción de Marx (C+V+S -> B)

81, vn: Herramientas para la solución y el análisis del modelo económico de Von Neumann, p. 24

82, vnq: Herramientas para la solución y el análisis del modelo económico de Von Neumann, p. 25 (variables internas)

83, vnq: Herramientas para la solución y el análisis del modelo económico de Von Neumann, p. 56 (variables internas)

84, vn: Abramov; Balanced and Cyclical Growth in Models of Decentralized Economy, p. 11 (forma canónica)

85, vn: Abramov; Balanced and Cyclical Growth in Models of Decentralized Economy, p. 13 (forma canónica)

86, vn: Abramov; Balanced and Cyclical Growth in Models of Decentralized Economy, p. 13 (forma canónica)

87, vn: Barceló; Juegos de simulación con modelos económicos reproductivos, p. 550

88, vn: Barceló; Juegos de simulación con modelos económicos reproductivos, p. 552

89, vn: Barceló; Juegos de simulación con modelos económicos reproductivos, p. 555

90, vn: Barceló; Juegos de simulación con modelos económicos reproductivos, p. 559 (procesos considerados = par1)

91, vn: Barceló; comunicación personal (forma canónica)

92, te: Barceló; Larga vida a la economía crítica, p. 279 (materia subsistema = par1)

93, vn: Barceló y Sánchez; Teoría económica de los bienes autorreproducibles, p. 21

94, vn: Barceló y Sánchez; Teoría económica de los bienes autorreproducibles, p. 21

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96, vn: Bidard; Is von Neumann Square?, p. 412 (forma canónica)

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102, te: Bródy; Proportions, Prices and Planning, p. 32

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104, vn: Bródy; Proportions, Prices and Planning, p. 58 (k>=<0; A=par1, b=par2, c=par3 del programa lineal max c´x, Ax=b, x>=0)

105, vn: Bródy; Proportions, Prices and Planning, p. 153

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118, vn: Dantzig; Linear Programming and Extensions, p. 290 (forma canónica; k=0; A=par1, b=par2, c=par3 del programa lineal x>=0, A´x<=c, b´x=z(Max) )

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186, vn: Morgenstern y Thompson; Mathematical Theory of Expanding and Contracting Economies, p. 25 (forma canónica)

187, vn: Morgenstern y Thompson; Mathematical Theory of Expanding and Contracting Economies, p. 26 (forma canónica)

188, vn: Morgenstern y Thompson; Mathematical Theory of Expanding and Contracting Economies, p. 27 (forma canónica)

189, vn: Morgenstern y Thompson; Mathematical Theory of Expanding and Contracting Economies, p. 54 (forma canónica)

190, vn: Morgenstern y Thompson; Mathematical Theory of Expanding and Contracting Economies, p. 164 (forma canónica)

191, vn: Morgenstern y Thompson; en Bruckmann y Weber: Contributions to the Von Neumann Growth Model, p. 27 (forma canónica)

192, vn: Morgenstern y Thompson; Private and Public Consumption and Savings, p. 13 (forma canónica)

193, vn: Morgenstern y Thompson; Private and Public Consumption and Savings, p. 14 (forma canónica; c=par1)

194, vn: Morgenstern y Thompson; en Deistler, Fürst y Schwödiauer: Games, Economic Dynamics, and Time Series Analysis, p. 262 (forma canónica)

195, vn: Morgenstern y Thompson; en Deistler, Fürst y Schwödiauer: Games, Economic Dynamics, and Time Series Analysis, p. 263 (forma canónica)

196, vn: Morishima; Theory of Economic Growth, p. 194 (forma canónica)

197, vn: Morishima; Theory of Economic Growth, p. 300 (forma canónica)

198, te: Morishima y Catephores; Value, Exploitation and Growth, p. 31

199, vn: Morishima y Catephores; Value, Exploitation and Growth, p. 31 y 32

200, te: Morishima y Catephores; Value, Exploitation and Growth, p. 34 (forma canónica)

201, vn: Neumann; A Model of General Economic Equilibrium, p. 5 (forma canónica; par1=matriz de pagos de un juego)

202, vn: Neumann y Morgenstern; Theory of Games and Economic Behaviour, p. 175 (forma canónica)

203, vn: Neumann y Morgenstern; Theory of Games and Economic Behaviour, p. 176 (forma canónica)

204, vn: Neumann y Morgenstern; Theory of Games and Economic Behaviour, p. 177 (forma canónica)

205, autovalor: Nikaidô; Convex Structures and Economic Theory, p. 110

206, vn: Nikaidô; New aspects of Von Neumann´s Model with special regard to computational problems, p. 229 (forma canónica)

207, vn: Quesnay; Physiocratie ou Constitution naturelle du gouvernement le plus avantageux au genre humain I, p. 61

208, vn: Remak; Kann die Volkswirtschaftslere eine exakte Wissenschaft werden?, p. 732

209, vn: Robinson; Shadow Prices for Measures of Effectiveness, I: Linear Model, p. 532 (forma canónica)

210, vn: Robinson; Computational Solution of Ratio Games by Iteractive Linear Programming, p. 289 (forma canónica)

211, vn: Robinson; Irreducibility in the von Neumann model, p. 571 (forma canónica)

212, vn: Robinson; Irreducibility in the von Neumann model, p. 573 (forma canónica)

213, vn: Robinson; en Los y Los: Computing Equilibria: How and Why, p. 177 (forma canónica)

214, vn: Samuelson; en Dore, Chakravarty y Goodwin: John von Neumann and Modern Economics, p. 102 (forma canónica)

215, vn: Samuelson; en Dore, Chakravarty y Goodwin: John von Neumann and Modern Economics, p. 111 (forma canónica)

216, vn: Samuelson; Understanding the Marxian Notion of Exploitation, p. 419

217, te: Samuelson; Understanding the Marxian Notion of Exploitation, p. 419

218, vn: Samuelson; The Collected Scientific Papers I, p. 477 (forma canónica)

219, vn: Solow; On the Structure of Linear Models, p. 32

220, vn: Sosnowska; en Los, Los y Wieczorek: Warsaw Fall Seminars in Mathematical Economics 1975, p. 125 (forma canónica)

221, vn: Sosnowska; en Los, Los y Wieczorek: Warsaw Fall Seminars in Mathematical Economics 1975, p. 127 (forma canónica)

222, vn: Sosnowska; en Los, Los y Wieczorek: Warsaw Fall Seminars in Mathematical Economics 1975, p. 127 (forma canónica)

223, vn: Sraffa; Production of Commodities by Means of Commodities, p. 3

224, vn: Sraffa; Production of Commodities by Means of Commodities, p. 4

225, vn: Sraffa; Production of Commodities by Means of Commodities, p. 7

226, vn: Sraffa; Production of Commodities by Means of Commodities, p. 19

227, vn: Steedman; Positive Profits with Negative Surplus Value, p. 115

228, te: Steedman; Positive Profits with Negative Surplus Value, p. 116

229, vn: Steenge; en Simonovits y Steenge: Prices, Growth and Cycles, p. 244

230, vn: Steenge y Konijn; A New Approach to Irreducibility in Multisectoral Models with Joint Production, p. 128 (forma canónica)

231, vn: Straatman, White y Banzhaf; An Artificial Chemistry-based Model of Economies, p. 593 (forma canónica)

232, vn: Thompson; en Kuhn y Tucker: Linear Inequalities and Related Systems, p. 278 (forma canónica; n = par1)

233, vn: Thompson; en Kuhn y Tucker: Linear Inequalities and Related Systems, p. 279 (forma canónica; par1,par2)

234, vn: Thompson; en Kuhn y Tucker: Linear Inequalities and Related Systems, p. 279 (forma canónica)

235, vn: Thompson; Computing the Natural Factors of a Closed Expanding Economic Model, p. 66 (forma canónica)

236, vn: Thompson y Weil; en Bruckmann y Weber: Contributions to the Von Neumann Growth Model, p. 147 (forma canónica)

237, vn: Thompson y Weil; en Bruckmann y Weber: Contributions to the Von Neumann Growth Model, p. 148 (forma canónica)

238, vn: Thompson y Weil; en Bruckmann y Weber: Contributions to the Von Neumann Growth Model, p. 148 (forma canónica)

239, vn: Thompson y Weil; en Bruckmann y Weber: Contributions to the Von Neumann Growth Model, p. 149 (forma canónica)

240, vn: Thompson y Weil; The Roots of Matrix Pencils (Ay = ?By): Existence, Calculations, and Relations to Game Theory, p.215 (forma canónica)

241, vn: Thompson y Weil; The Roots of Matrix Pencils (Ay = ?By): Existence, Calculations, and Relations to Game Theory, p.215 (forma canónica)

242, vn: Thompson y Weil; The Roots of Matrix Pencils (Ay = ?By): Existence, Calculations, and Relations to Game Theory, p.219 (forma canónica)

243, vn: Truchon; en Morgenstern y Thompson: An Open Expanding Economy Model, p. 456 (forma canónica)

244, vn: Tugan-Baranovsky; Los fundamentos teóricos del marxismo, p. 186

245, te: Tugan-Baranovsky; Los fundamentos teóricos del marxismo, p. 186

246, te: Vegara; Economía política y modelos multisectoriales, p. 62

247, te: Vegara; Economía política y modelos multisectoriales, p. 62 (insumo k = par1)

248, te: Vegara; Economía política y modelos multisectoriales, p. 128

249, vn: Vegara; Economía política y modelos multisectoriales, p. 133

250, vn: Weil; Solutions to the Decomposable Von Neumann Model, p. 278 (forma canónica)

251, vn: Weil; Solutions to the Decomposable Von Neumann Model, p. 278 (forma canónica)

252, vn: Weil; The Decomposition of Economic Production Systems, p. 263 (forma canónica)

253, vn: Weil; The Decomposition of Economic Production Systems, p. 269 (forma canónica)

254, autovalor: Wilkinson; The Algebraic Eigenvalue Problem, p. 90

255, vn: Ye; On the von Neumann Economic Growth Problem, p. 620 (forma canónica)

formaab

[A, B] = formaab(F)

Convierte unas recetas en tiempo discreto a la forma de matrices de

insumos A y productos B.

[A, B] = formaab(F, concluir, nonegativo)

F matrices escalares, numéricas o simbólicas

concluir si 1 no incluye los procesos después de su último flujo

nonegativo si 1 define las matrices salida como no-negativas

A matriz de insumos

B matriz de productos

Si nonegativo es [] ordena las filas para el conjunto de procesos, de

manera que los flujos iniciales de todos los procesos ocupan las

primeras filas, los flujos siguientes las segundas, etc.

| -F0 0 0 0 0 | | F1 I 0 0 0 |

| 0 I 0 0 0 | | F2 0 I 0 0 |

A = | 0 0 I 0 0 | B = | F3 0 0 I 0 |

| 0 0 0 I 0 | | F4 0 0 0 I |

| 0 0 0 0 I | | F5 0 0 0 0 |

Si nonegativo es 1 ordena las filas para cada proceso, de manera que el

primer proceso ocuparía las primeras filas, el segundo las siguientes,

etc.

|-(F0 ) 0 0 0 0 | |(F1+) I 0 0 0 |

|-(F1-) I 0 0 0 | |(F2+) 0 I 0 0 |

A = |-(F2-) 0 I 0 0 | B = |(F3+) 0 0 I 0 |

|-(F3-) 0 0 I 0 | |(F4+) 0 0 0 I |

|-(F4-) 0 0 0 I | |(F5+) 0 0 0 0 |

Si sólo se solicita una variable de salida devuelve el tamaño de A.

formaciclos

G = formaciclos(F, p)

Construye las matrices cíclicas de período p para una F constante. Por

ejemplo, si p fuera 4 nos quedaría

|F0 F1 F2 F3| |F4 F5 F6 0 | |0 0 0 0 |

G0 = |0 F0 F1 F2| G1 = |F3 F4 F5 F6| G2 = |0 0 0 0 |

|0 0 F0 F1| |F2 F3 F4 F5| |F6 0 0 0 |

|0 0 0 F0| |F1 F2 F3 F4| |F5 F6 0 0 |

[G, iniciales] = formaciclos({F_1, F_2, F_3, ...}, [p_1, p_2, p_3, ...])

F_i recetas i

p_i número de instantes en los que se usan las recetas i

G recetas salida

iniciales lista con los primeros procesos en cada instante

Construye las matrices cíclicas de período p para unas F que cambian en

el tiempo. F debe escribirse entre llaves y p entre corchetes. Si p es

un escalar se aplica a todas las recetas.

formaconv

Fn = formaconv(F, tiposalida)

Convierte la forma de escribir los procesos.

Según esté definido tiposalida, la salida será:

0. no-polinómico numérico (cadena) F = '[-280+575/k,-12;-120,-8+20/k]'

1. polinómico numérico F = cat(3,[-280,-12;-120,-8],[575,0;0,20])

2. no-polinómico numérico (celda) F = {'-280+575/k','-12';'-120','-8+20/k'}

7. polinómico numérico (celda)

Con Matlab y el package simbólico también están disponibles:

3. polinómicas simbólicas F = cat(3,sym([-280,-12;-120,-8]),sym([575,0;0,20]))

4. no-polinómicas simbólicas F = str2sym('[-280+575/k,-12;-120,-8+20/k]')

5. polinómicas precisión variable F = cat(3,vpa([-280,-12;-120,-8]),vpa([575,0;0,20]))

6. no-polinómicas precisión variable F = vpa(str2sym('[-280+575/k,-12;-120,-8+20/k]'))

Con Octave y el package simbólico están disponibles los tipos 4 y 6.

Desde no-polinómicas a polinómicas se usa formapolinomica, por lo que

la conversión es aproximada.

Si tiposalida no está definido devuelve el tipo de entrada.

formainicio

formainicio is a function.

[F, signoX, signoXF, LB, UB, precision, numvariables, variables, filas, columnas, ancho, numvarQ] = formainicio(F, signoX, signoXF, LB, UB, precision, numvariables, variables)

formamuestras

[Fn, Vn] = formamuestras(F, LB, UB, numvariables, variables, sistematicas, aleatoriasproceso)

Obtiene unos procesos sin variables internas con muestras de las variables

internas.

forman

M = forman(F, k)

Calcula la matriz de flujos actualizados F(k), para un k dado.

M = forman(F, k, n)

Calcula la matriz de las derivadas de los flujos actualizados F(k) con

respecto a k de orden n, para un k dado.

Si F se escribe como un problema no polinómico numérico, para

establecer las derivadas calcula una aproximación mediante diferencias

finitas válida sólo para grados pequeños.

formankq

M = formankq(F, [k,Q], derivadakQ, variables)

Calcula la matriz F(k, Q), para k y unas variables internas Q.

formanq

forman

M = forman(F, Q)

Calcula la matriz F(k, Q), para unas variables internas Q.

formapolinomica

F = formapolinomica(Fentrada)

Aproxima matrices no polinómicas como matrices polinómicas.

F = formapolinomica(Fentrada, K, grado)

Fentrada procesos en tiempo continuo

K factores sobre los que se calcula la aproximación

grado número de pasos temporales de la salida

F aproximación en tiempo discreto

Si K es un escalar la aproximación se hace en [K/2:K/6:K*3/2]

formaprecios

Fn = formaprecios(F, Pc, Pv)

Añade a unas recetas en tiempo discreto F procesos de intercambio con

los precios de compra Pc y de venta Pv correspondientes.

| F 0 |

Fn = | I -Pc |

| -I Pv |

formaproblema

Fn = formaproblema(F, signoX, signoXF, problema)

Convierte unas recetas a la forma estándar, X >= 0 y X F(k) = 0, o a la

forma canónica, X >=0 y X F(k) >= 0.

F recetas originales

signoX signo de las intensidades; por defecto X >= 0

signoXF signo de los balances materiales; por defecto X F(k) = 0

problema [] para la forma estándar y 1 para la forma canónica

Fn recetas transformadas

formasolucion

[X, Y] = formasolucion(Xn, Yn, signoX, signoXF, problema)

Convierte una solución transformada a la forma estándar o canónica a la

forma original.

Xn, Yn intensidades y valores transformados

signoX signo de las intensidades

signoXF signo de los balances materiales

problema [] desde la forma estándar y 1 desde la forma canónica

X, Y intensidades y valores originales

maxbeneficio

[Q, maxben] = maxbeneficio(F)

Calcula las variables internas Q con la maximización local de los procesos

para k e Y dadas.

[Q, maxben] = maxbeneficio(F, LB, UB, precision, numvariables, variables, k, Y, Q0double)

nullrational

[Y, Tabla, pivotes] = nullrational(F, cero)

Resuelve un sistema de ecuaciones lineales homogéneas F Y = 0.

perturbacion

[sk, sX, sY] = perturbacion(F, G, k, X, Y)

Obtiene las series perturbativas para el problema de autovalores, para

VN o para TE.

[sk, sX, sY, sm, U, iU] = perturbacion(F, G, k, X, Y, problema, grado)

F matriz polinómica original

G perturbación como matriz polinómica

k autovalor para F

X autovector por la izquierda para F

Y autovector por la derecha para F

problema para autovalores 0, para VN 1 (por defecto), y para TE 2

grado grado de la serie (por defecto 5)

sk serie para el autovalor

sX serie para el autovector por la derecha

sY serie para el autovector por la izquierda

sm serie para el multiplicador de la normalización

U matriz de coeficientes del sistema lineal

iU inversa de la matriz de coeficientes

F y G deben tener la misma dimensión. Las series usan el formato de los

polinomios en Matlab-Octave.

perturbacionode

[k, X, Y] = perturbacionode(F, G, k0, X0, Y0)

Integra las ecuaciones diferenciales perturbativas para el problema de

autovalores, para VN o para TE. A partir de la solución del problema

original para la matriz F, obtiene la solución del problema para la

matriz F + G integrando las ecuaciones diferenciales perturbativas. F y

G deben ser matrices polinómicas con la misma dimensión.

[k, X, Y, T, V] = perturbacionode(F, G, k0, X0, Y0, problema)

F matriz polinómica original

G perturbación como matriz polinómica

k0 autovalor original para F

X0 autovector por la izquierda original para F

Y0 autovector por la derecha original para F

problema para autovalores 0, para VN 1 (por defecto), y para TE 2

k autovalor final para F + G

X autovector por la izquierda final para F + G

Y autovector por la derecha final para F + G

T puntos de análisis

V magnitud de k, X e Y en cada punto de análisis

perturbacionodefile

dVdh = perturbacionodefile(h, V, flag, F, G, problema)

Derivada del factor, intensidades y valores ante la perturbación.

h punto de integración

V variables V = [k; X'; Y]

flag parámetro sin uso incluido para compatibilidad con Matlab

F procesos de producción

G perturbación

problema para autovalores 0, para VN 1, y para TE 2

dVdh derivada de las variables dVdh = [dkdh; dXdh'; dYdh]

Se usa la sintaxis de Matlab. El parámetro flag está incluido para

garantizar la compatibilidad con Matlab y puede definirse como [].

programalineal

[X, Y] = programalineal(F, C, D)

Lanza las funciones correspondientes en cada software para obtener la

solución del programa lineal

Max X C Min D Y

D + X F ~ 0 <-> -Y ~ 0 (D + X F) .* Y' = 0

X ~ 0 <-> C + F Y ~ 0 X' .* (C + F Y) = 0

[X, Y, exit] = programalineal(F, C, D, signoX, signoXF)

F matriz m*n

C vector columna m*1

D vector fila 1*n

signoX signo de las variables; por defecto X >= 0

signoXF signo de las restricciones; por defecto D + X F = 0

X vector fila 1*m de variables

Y vector columnas n*1 de multiplicadores de Lagrange

exit si es 1 la solución cumple las condiciones del programa

Los códigos para los signos son 0 = 1 >= 2 <= 3 >=<

programalinealaux

Función auxiliar de programalineal.m

subs2

X = subs2(X, a, b)

Substituye el vector a por el vector b en X.

te

[k, X, Y] = te(F)

Resuelve la Teoría de la explotación

Max

X (D-C+k(W-V)) ~ 0 <-> -Y ~ 0 X (D-C+k(W-V)) .* Y = 0

X ~ 0 <-> (D-C+k(W-V)) Y ~ 0 X .* (D-C+k(W-V)) Y = 0

k > 0 1 + X (W-V) Y = 0

Los procesos deben escribirse como

F(:,:,1) = W - V

F(:,:,2) = D - C

[k, X, Y, pasos, distancias] = te(F, signoX, signoXF, precision, algoritmo)

F procesos de producción

signoX signo de las intensidades; por defecto X >= 0

signoXF signo de los balances materiales; por defecto X(D-C+k(W-V))=0

precision 1 para double, 2 para variable (vpa), 3 para exacta (sym)

algoritmo especifica el algoritmo que se usará

k factor de explotación

X intensidades-trabajo

Y valores-trabajo

pasos número de iteraciones efectuadas

distancias distancia de la solución a las condiciones

Esta función opera usando vn y normalizando los valores-trabajo. Véase

la ayuda de vn.

vn

[k, X, Y] = vn(F)

Resuelve el modelo Von Neumann sin variables internas

Max k

X F(k) ~ 0 <-> -Y ~ 0 X F(k) .* Y = 0

X ~ 0 <-> F(k) Y ~ 0 X .* F(k) Y = 0

k > 0 1 + X F'(k) Y = 0

[k, X, Y, pasos, distancias] = vn(F, signoX, signoXF, precision, algoritmo)

F procesos de producción

signoX signo de las intensidades; por defecto X >= 0

signoXF signo de los balances materiales; por defecto X F(k) = 0

precision 1 para double, 2 para variable (vpa), 3 para exacta (sym)

algoritmo especifica el algoritmo que se usará; por defecto 0

k, X, Y factor, intensidades y precios solución

pasos número de iteraciones efectuadas

distancias distancia de la solución a las condiciones

Los códigos para los signos son 0 = 1 >= 2 <= 3 >=<

Si se escribe un escalar para signoX o signoXF se aplica a todos; así

vn(F, 1, 0) resuelve la forma estándar, X >= 0, X F(k) = 0.

vn(F, 1, 1) resuelve la forma canónica, X >= 0, X F(k) >= 0.

Según definamos algoritmo se usará:

0 selección automática (por defecto)

1 vnautovalor

2 vnautovalor mayor orden

3 vnbiseccion

4 vnnewton

5 vnpls

6 vnsimplex

7 vnnolineal

8 vnbrody

9 cpbusqueda -> vnbiseccion

10 cpbusqueda -> vnpls

11 vnpls; cpbusqueda -> vnpls; cpbusqueda -> vnbiseccion

12 vn (double) -> vnsimplex (sym)

Con precisión double, la selección automática escoge el algoritmo 1

para los problemas pequeños, el 2 para los problemas casi-cuadrados

medianos y para los problemas cuadrados grandes en la forma estándar,

el 11 para los problemas rectangulares grandes, y el 6 para los muy

grandes.

Con precisión variable o exacta, la selección automática escoge el

algoritmo 1 para los problemas pequeños y el 12 para los demás.

El algoritmo 12 primero resuelve el problema con precision double, y

después lanza vnsimplex con los procesos básicos encontrados.

Sólo los algoritmos 1, 6 y 12 pueden encontrar soluciones exactas. Los

algoritmos 9 a 11 ejecutan sucesivamente los algoritmos indicados hasta

encontrar una solución.

vnautovalor

[k, X, Y] = vnautovalor(F)

Construye todos los menores cuadrados posibles, calcula los autovalores

y autovectores por la izquierda y la derecha de cada menor y muestra

las soluciones que cumplen las condiciones de VN.

[k, X, Y] = vnautovalor(F, signoX, signoXF, precision, algoritmo, orden, numsol)

F procesos de producción

signoX signo de las intensidades; por defecto X >= 0

signoXF signo de los balances materiales; por defecto X F(k) = 0

precision 1 para double, 2 para variable (vpa), 3 para exacta (sym)

algoritmo véase la ayuda de autovalor para los disponibles

orden si = [] todos los ordenes, si = 0 los de mayor orden

numsol si = [] busca todas las soluciones, si = n busca sólo n

k, X, Y factor, intensidades y precios solución

Los códigos para los signos son 0 = 1 >= 2 <= 3 >=<

Por defecto busca todas las soluciones en todos los menores.

vnautovalorq

[k, X, Y, Q] = vnautovalorq(F)

Resuelve el modelo Von Neumann con variables internas.

Construye todos los menores cuadrados posibles, calcula los autovalores

y autovectores por la izquierda y la derecha de cada menor y muestra

las soluciones que cumplen las condiciones de VN.

[k, X, Y, Q] = vnautovalorq(F, signoX, signoXF, LB, UB, precision)

F procesos con variables internas

signoX signo de las intensidades; por defecto X >= 0

signoXF signo de los balances materiales; por defecto X F(k) = 0

LB intervalo inferior de las variables internas; por defecto Q >= 0

UB intervalo superior de las variables internas; por defecto Q <= 1

precision 1 para double, 2 para variable (vpa), 3 para exacta (sym)

k, X, Y, Q factor, intensidades, valores y variables internas solución

Los códigos para los signos son 0 = 1 >= 2 <= 3 >=<

Por defecto busca todas las soluciones en todos los menores.

vnbiseccion

[k, X, Y] = vnbiseccion(F)

Busca la solución de VN con el método de bisección. Se parte de un ksi

para el que existe un crecimiento proporcional y de un kno mayor que

ksi para el que no. Se procede comprobando si en el medio del intervalo

[ksi, kno) existe un crecimiento proporcional y bisecando el intervalo

en consecuencia hasta que kno-ksi sea menor que una cota.

[k, X, Y] = vnbiseccion(F, signoX, signoXF, signok, ksi, kno)

F procesos de producción

signoX signo de las intensidades; por defecto X >= 0

signoXF signo de los balances materiales; por defecto X F(k) = 0

signok signo del factor; por defecto k > 0

ksi factor para el que existe un crecimiento proporcional

kno factor, mayor que ksi, para el que no existe

k, X, Y factor, intensidades y precios solución

Los códigos para los signos son 0 = 1 >= 2 <= 3 >=<

vnbrody

[k, X, Y] = vnbrody(F)

Formatea el problema y lanza un código de Bródy para resolver VN.

[k, X, Y] = vnbrody(F, signoX, signoXF)

F procesos de producción en tiempo discreto

signoX signo de las intensidades; por defecto X >= 0

signoXF signo de los balances materiales; por defecto X F(k) = 0

k, X, Y factor, intensidades y precios solución

Los códigos para los signos son 0 = 1 >= 2 <= 3 >=<

El algoritmo puede consultarse en:

András Bródy, "The implicit dynamics of the Neumann growth model", Acta

Oeconomica, Vol. 54 (1) pp. 63-72 (2004)

http://www.akademiai.com/content/x71485711558/

vndivideetimpera

[k, X, Y, Q] = vndivideetimpera(F)

Resuelve el modelo Von Neumann con variables internas

Se parte de un factor y valores iniciales. Calcula las variables

internas en cada proceso para las que se maximiza el beneficio con ese

factor y valores; para esas variables internas, resuelve el problema

sin variables resultante, y obtiene un nuevo factor y valores; itera el

procedimiento.

[k, X, Y, Q, pasos, distancias] = vndivideetimpera(F, signoX, signoXF, LB, UB, precision, numvariables, variables, k0, Y0)

F procesos con variables internas

signoX signo de las intensidades; por defecto X >= 0

signoXF signo de los balances materiales; por defecto X F(k) = 0

LB intervalo inferior de las variables internas; por defecto Q >= 0

UB intervalo superior de las variables internas; por defecto Q <= 1

precision 1 para double, 2 para variable (vpa), 3 para exacta (sym)

numvariables vector con el número de variables internas en cada proceso

variables nombre de las variables internas

k0 factor con el que se inicia la iteración

Y0 valores con los que se inicia la iteración

k, X, Y, Q factor, intensidades, valores y variables internas solución

Los códigos para los signos son 0 = 1 >= 2 <= 3 >=<

Si se escribe un escalar para signoX o signoXF se aplica a todos; así

vn(F, 1, 0) resuelve la forma estándar, X >= 0, X F(k) = 0.

vn(F, 1, 1) resuelve la forma canónica, X >= 0, X F(k) >= 0.

vndivideetimpera2

[k, X, Y, Q] = vndivideetimpera2(F)

Resuelve el modelo Von Neumann con variables internas

Se parte de unas variables internas iniciales. Para esas variables

internas, resuelve el problema sin variables resultante, y obtiene un

factor y valores; calcula las variables internas en cada proceso para

las que se maximiza el beneficio con ese factor y valores, obteniendo

unas nuevas variables internas; se itera el procedimiento.

[k, X, Y, Q, pasos, distancias] = vndivideetimpera2(F, signoX, signoXF, LB, UB, precision, numvariables, variables, Q0)

F procesos con variables internas

signoX signo de las intensidades; por defecto X >= 0

signoXF signo de los balances materiales; por defecto X F(k) = 0

LB intervalo inferior de las variables internas; por defecto Q >= 0

UB intervalo superior de las variables internas; por defecto Q <= 1

precision 1 para double, 2 para variable (vpa), 3 para exacta (sym)

numvariables vector con el número de variables internas en cada proceso

variables nombre de las variables internas

Q0 variables internas con las que se inicia la iteración

k, X, Y, Q factor, intensidades, valores y variables internas solución

Los códigos para los signos son 0 = 1 >= 2 <= 3 >=<

Si se escribe un escalar para signoX o signoXF se aplica a todos; así

vn(F, 1, 0) resuelve la forma estándar, X >= 0, X F(k) = 0.

vn(F, 1, 1) resuelve la forma canónica, X >= 0, X F(k) >= 0.

vnmaxk

[k, X, Y, Q] = vnmaxk(F)

Resuelve el modelo Von Neumann con variables internas.

Se resuelve el problema auxiliar

Max k(Q)

LB <= Q <= UB

donde k(Q) es una función cuya magnitud es el factor solución del

modelo VN para la matriz de flujos que se corresponde a las variables

internas Q.

[k, X, Y, Q, pasos, distancias] = vnmaxk(F, signoX, signoXF, LB, UB)

F procesos con variables internas

signoX signo de las intensidades; por defecto X >= 0

signoXF signo de los balances materiales; por defecto X F(k) = 0

LB intervalo inferior de las variables internas; por defecto Q >= 0

UB intervalo superior de las variables internas; por defecto Q <= 1

k, X, Y, Q factor, intensidades, valores y variables internas solución

Los códigos para los signos son 0 = 1 >= 2 <= 3 >=<

Si se escribe un escalar para signoX o signoXF se aplica a todos; así

vn(F, 1, 0) resuelve la forma estándar, X >= 0, X F(k) = 0.

vn(F, 1, 1) resuelve la forma canónica, X >= 0, X F(k) >= 0.

En Matlab se usa la función fmincon y en Octave la función sqp, con

precisión double.

vnmuestras

[k, X, Y, Q] = vnmuestras(F)

Resuelve el modelo Von Neumann con variables internas.

Extrae unas muestras para Q; resuelve el problema sin variables

internas resultante; extrae otra muestra para Q en un intervalo

alrededor de la solución obtenida; resuelve el problema sin variables

internas resultante, etc.

[k, X, Y, Q, pasos, LBn, UBn] = vnmuestras(F, signoX, signoXF, LB, UB, precision, numvariables, variables, tipomuestreo, muestrassis, muestrasale, pasosmax)

F procesos con variables internas

signoX signo de las intensidades; por defecto X >= 0

signoXF signo de los balances materiales; por defecto X F(k) = 0

LB intervalo inferior de las variables internas; por defecto Q >= 0

UB intervalo superior de las variables internas; por defecto Q <= 1

precision 1 para double, 2 para variable (vpa), 3 para exacta (sym)

numvariables vector con el número de variables internas en cada proceso

variables nombre de las variables internas

tipomuestreo 0 simple, 1 iterado 2 iterado y acumulado

muestrassis vector de muestras sistemáticas por variable interna

muestrasale vector de muestras aleatorias por proceso

pasosmax número de iteraciones máximas

k, X, Y, Q factor, intensidades, valores y variables internas solución

pasos número iteraciones efectuadas

LBn intervalo inferior de las variables internas solución

UBn intervalo superior de las variables internas solución

Los códigos para los signos son 0 = 1 >= 2 <= 3 >=<

Si se escribe un escalar para signoX o signoXF se aplica a todos; así

vn(F, 1, 0) resuelve la forma estándar, X >= 0, X F(k) = 0.

vn(F, 1, 1) resuelve la forma canónica, X >= 0, X F(k) >= 0.

Si tipomuestreo es 0 se realiza un muestreo simple sin iterar; si es 1

se itera el muetreo con intervalos cada vez más pequeños para

incrementar la precisión; si es 2 se itera el muestreo con intervalos

más pequeños y acumulando las muestras anteriores.

vnnewton

[k, X, Y] = vnnewton(F)

busca la solución de VN intentando resolver la ecuación u(k) = 0

mediante el método de Newton, donde u(k) es la distancia al crecimiento

proporcional establecida como el valor del juego para la matriz de

pagos F(k) convertida a la forma canónica.

[k, X, Y] = vnnewton(F, signoX, signoXF, k0)

F procesos de producción

signoX signo de las intensidades; por defecto X >= 0

signoXF signo de los balances materiales; por defecto X F(k) = 0

k0 factor con el que se inicia la iteración; por defecto 1

k, X, Y factor, intensidades y precios solución

Los códigos para los signos son 0 = 1 >= 2 <= 3 >=<

vnnolineal

[k, X, Y] = vnnolineal(F)

Resuelve VN utilizando las funciones para programas no lineales fmincon

en Matlab y sqp en Octave.

[k, X, Y] = vnnolineal(F, signoX, signoXF, k0, X0)

F procesos de producción

signoX signo de las intensidades; por defecto X >= 0

signoXF signo de los balances materiales; por defecto X F(k) = 0

k0 factor con el que se inicia la iteración

X0 intensidades con las que se inicia la iteración

k, X, Y factor, intensidades y precios solución

Los códigos para los signos son 0 = 1 >= 2 <= 3 >=<

vnnolinealq

[k, X, Y, Q] = vnnolinealq(F)

Resuelve el modelo Von Neumann con variables internas utilizando las

funciones para programas no lineales fmincon en Matlab y sqp en Octave.

[k, X, Y, Q] = vnnolineal(F, signoX, signoXF, LB, UB)

F procesos con variables internas

signoX signo de las intensidades; por defecto X >= 0

signoXF signo de los balances materiales; por defecto X F(k) = 0

LB intervalo inferior de las variables internas; por defecto Q >= 0

UB intervalo superior de las variables internas; por defecto Q <= 1

k, X, Y, Q factor, intensidades, valores y variables internas solución

Los códigos para los signos son 0 = 1 >= 2 <= 3 >=<

Si se escribe un escalar para signoX o signoXF se aplica a todos; así

vn(F, 1, 0) resuelve la forma estándar, X >= 0, X F(k) = 0.

vn(F, 1, 1) resuelve la forma canónica, X >= 0, X F(k) >= 0.

En Matlab se usa la función fmincon y en Octave la función sqp, con

precisión double.

vnpls

[k, X, Y] = vnpls(F)

Busca la solución de VN mediante la programación lineal secuencial.

Resuelve sucesivamente la aproximación lineal de VN

max k min -mu

X F(kn) + k Xn F'(kn) - kn Xn F'(kn) ~ 0 -Y ~ 0

sum(X) - 1 = 0 -mu >=< 0

X ~ 0 F(kn) Y + mu ~ 0

k >= 0 1 + Xn F'(kn) Y <= 0

hasta que las variables converjan.

[k, X, Y] = vnpls(F, signoX, signoXF, k0, X0)

F procesos de producción

signoX signo de las intensidades; por defecto X >= 0

signoXF signo de los balances materiales; por defecto X F(k) = 0

k0 factor con el que se inicia la iteración

X0 intensidades con las que se inicia la iteración

k, X, Y factor, intensidades y precios solución

Los códigos para los signos son 0 = 1 >= 2 <= 3 >=<

vnq

[k, X, Y, Q] = vnq(F)

Resuelve el modelo Von Neumann con variables internas

Max k

X F(k, Q) ~ 0 <-> -Y ~ 0 X F(k, Q) .* Y = 0

X ~ 0 <-> F(k, Q) Y ~ 0 X .* F(k, Q) Y = 0

LB <= Q <= UB X dF/dq Y = 0

k > 0 1 + X F'(k, Q) Y = 0

[k, X, Y, Q, pasos, distancias] = vnq(F, signoX, signoXF, LB, UB, precision, numvariables, variables, algoritmo)

F procesos con variables internas

signoX signo de las intensidades; por defecto X >= 0

signoXF signo de los balances materiales; por defecto X F(k) = 0

LB intervalo inferior de las variables internas; por defecto Q >= 0

UB intervalo superior de las variables internas; por defecto Q <= 1

precision 1 para double, 2 para variable (vpa), 3 para exacta (sym)

numvariables vector con el número de variables internas en cada proceso

variables nombre de las variables internas

algoritmo especifica el algoritmo que se usará (0 por defecto)

k, X, Y, Q factor, intensidades, valores y variables internas solución

pasos número de iteraciones efectuadas

distancias distancia de la solución a las condiciones

Los códigos para los signos son 0 = 1 >= 2 <= 3 >=<

Si se escribe un escalar para signoX o signoXF se aplica a todos; así

vn(F, 1, 0) resuelve la forma estándar, X >= 0, X F(k) = 0.

vn(F, 1, 1) resuelve la forma canónica, X >= 0, X F(k) >= 0.

Según definamos algoritmo se usará:

0 selección automática (por defecto)

1 vnmuestras

2 vndivideetimpera

3 vndivideetimpera2

4 vnautovalorq

5 vnsimplexq

6 vnnolinealq

7 vnmaxk

8 vndivideetimpera -> vmaxk -> vnmuestras

9 vndivideetimpera -> vnmuestras

10 vnq (double) -> vnsimplexq

Con precisión double, la selección automática escoge el algoritmo 8

para los problemas pequeños y el 5 para los demás.

Con precisión variable o exacta, la selección automática escoge el

algoritmo 10 y, para resolver el problema con los procesos básicos, el

algoritmo 4.

El algoritmo 10 primero resuelve el problema con precision double, y

después lanza vnsimplexq con los procesos básicos encontrados.

Los algoritmos 4, 5 y 10 pueden encontrar soluciones con precisión

exacta, y los algoritmos 1, 2, 3, 4, 5, 9, 10 pueden encontrar

soluciones con precisión variable.

Los algoritmos 8 y 9 ejecutan sucesivamente los algoritmos indicados

hasta encontrar una solución.

vnsimplex

[k, X, Y] = vnsimplex(F)

Busca la solución de VN mediante el algoritmo simplex.

Se parte de unos procesos básicos. Se resuelve VN para esos procesos;

se descartan de los básicos los procesos con pérdidas; si ningún

proceso tiene rentabilidad positiva se ha encontrado una solución; en

caso contrario se incorpora a los básicos el proceso más rentable y se

itera el procedimiento.

[k, X, Y] = vnsimplex(F, signoX, signoXF, precision, basicos, algoritmo)

F procesos de producción

signoX signo de las intensidades; por defecto X >= 0

signoXF signo de los balances materiales; por defecto X F(k) = 0

precision 1 para double, 2 para variable (vpa), 3 para exacta (sym)

basicos procesos básicos con los que se inicia la iteración

algoritmo número del algoritmo para resolver los problemas básicos

k, X, Y factor, intensidades y precios solución

Los códigos para los signos son 0 = 1 >= 2 <= 3 >=<

Si basicos = [] escoge como básicos los últimos procesos.

Si algoritmo = [] escoge automáticamente el algoritmo para resolver los

sucesivos sistemas básicos.

vnsimplexq

[k, X, Y] = vnsimplexq(F)

Resuelve el modelo Von Neumann con variables internas.

Se parte de unos procesos básicos. Se resuelve VN para esos procesos;

se descartan de los básicos los procesos con pérdidas; si ningún

proceso tiene rentabilidad positiva se ha encontrado una solución; en

caso contrario se incorpora a los básicos el proceso más rentable y se

itera el procedimiento.

[k, X, Y] = vnsimplex(F, signoX, signoXF, LB, UB, precision)

F procesos con variables internas

signoX signo de las intensidades; por defecto X >= 0

signoXF signo de los balances materiales; por defecto X F(k) = 0

LB intervalo inferior de las variables internas; por defecto Q >= 0

UB intervalo superior de las variables internas; por defecto Q <= 1

precision 1 para double, 2 para variable (vpa), 3 para exacta (sym)

k, X, Y, Q factor, intensidades, valores y variables internas solución

Los códigos para los signos son 0 = 1 >= 2 <= 3 >=<

Si basicos = [] escoge como básicos los últimos procesos.

Si algoritmo = [] escoge automáticamente el algoritmo para resolver los

sucesivos sistemas básicos.

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