Algoritmos en Excel
Están disponibles unas instrucciones detalladas (en PDF, en Word o sin un lector), actualizadas el 26 de enero de 2021, para usar las hojas de cálculo primal.xls, dual.xls y primaldual.xls. Los ejemplos tratados en la tesis están contenidos en el archivo comprimido ejemplos.zip.
Instrucciones breves para resolver el modelo Von Neumann
El modelo Von Neumann (VN)
Para una introducción al modelo para no matemáticos véase el capítulo 1 de Computando a Von Neumann.
Supongamos que tenemos tres procesos: el primer proceso utiliza como insumos 280 arrobas de trigo y 12 toneladas de hierro para producir 575 arrobas de trigo; el segundo proceso consume 120 arrobas de trigo y 8 toneladas de hierro para producir 20 toneladas de hierro; el tercer proceso usa, como el primero, 280 arrobas de trigo y 12 toneladas de hierro pero produce 400 arrobas de trigo. Los productos se obtienen un instante posterior al consumo de los insumos. Escribiremos estos procesos en unas tablas o matrices de insumos A y productos B, en donde cada proceso ocupa una fila y cada materia una columna:
Resolver VN consiste en calcular cuánto tiene que operar cada proceso para que el sistema crezca de forma proporcional lo máximo posible. En un crecimiento proporcional los procesos muestran la misma tasa de expansión, y para cada materia el consumo total en un instante es igual a la producción total desde el instante anterior.
Resolver VN en Excel
Seguiremos los siguientes pasos:
1º. Comprobaremos que nuestro Excel tenga cargado el complemento Solver. Solver está disponible en todos los Excel bajo Windows o Mac, pero tiene que estar cargado para poder usarlo.
2º. Abriremos el archivo primal.xls y veremos una hoja de cálculo como (la apariencia puede variar levemente dependiendo de la versión de Excel)
Si aparece un mensaje similar a “Tenga cuidado: los archivos de Internet pueden contener virus. Si no tiene que editarlo, es mejor que siga en Vista protegida”, haremos clic en el botón “Habilitar edición”.
3º. Ajustaremos el número de filas al de procesos y el número de columnas al de materias. La hoja muestra originalmente 16 procesos o filas, y 6 materias o columnas. En nuestro ejemplo ajustaremos el número de procesos a 3, eliminando de la hoja de cálculo las filas 7 a 19, y el de materias a 2, eliminando las columnas E a H.
4º. Escribiremos en las celdas amarillas las fórmulas de los flujos para cada proceso y cada materia, actualizados según el instante en el que se realizan, y poniendo los consumos con signo negativo y las producciones con signo positivo. Anotando como k el factor de expansión (1 más la tasa de crecimiento o expansión), las fórmulas resultan –A + B/k. Por lo tanto escribiremos en las celdas amarillas (en Excel las fórmulas se inician con =)
=-280+575/k =-12+0/k
=-120+0/k =-8+20/k
=-280+400/k =-12+0/k
5º. Haremos clic en “Solver”. En las versiones modernas de Excel lo encontraremos en la pestaña “Datos” como un icono a la derecha, y en Excel 2004 y versiones anteriores como una opción en el menú “Herramientas”. Se desplegará un cuadro, cuyos parámetros no necesitaremos definir ni modificar, parecido a
y haremos clic en el botón “Resolver”.
6º. Si Solver ha conseguido encontrar una solución aparecerá un cuadro similar a
Haremos clic en el botón “Aceptar” y la hoja de cálculo quedará
Las celdas en azul nos informan de la solución de VN. La celda bajo la etiqueta k nos indica que el factor de expansión máximo es 1.25, que el sistema se expande un 25% cada paso temporal. Las celdas bajo la etiqueta X nos indican las intensidades; esto es, que el primer proceso opera 0.4 veces, que el segundo proceso opera 0.6 veces, y que el tercer proceso opera 0 veces o no opera.
Aquí hemos planteado VN suponiendo que no está disponible la eliminación gratuita; si estuviera disponible, que es como John von Neumann definió el modelo en el artículo original, añadiremos un proceso de eliminación gratuita para cada materia. En nuestro ejemplo tendríamos que añadir los procesos
=-1 =0
=0 =-1
Para obtener los precios, para plantear problemas en tiempo continuo, o para ilustrar algunas de las simetrías de los modelos, consúltense las instrucciones detalladas.